点线面之间的位置关系的知识点总结.docx

公理2作用：确定一个平面的依据。(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：PB =>aB=L,且PL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线异面直线：符号表示为:相交直线：同一平面内, 平行直线：同一平面内, 不同在任何一个平面内, 设a、b、C是三条直线有且只有一个公共点；没有公共点；没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边A的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为L、BLELCaIBa公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面a,使AWa、BEa、CWatI=>a7c2公理4：a7bocb强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上;两条异面直线所成的角O(O,)；当两条异面直线所成的角是直角时，啊就说这两条异面直线互相垂直，记作aJ_b；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3一2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表示Caua=a/a2. 2.直线、城面平行的判定及其性质2.1.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。简记为：线线平行，那么线面平行。符号表示：aa，bBU=>½zaabJ2.1.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示：a = b J卜作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：a Ba = aayb = b-作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2. 3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面C互相垂直，记作L_L ,直线L叫做平面的垂线，平面。叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。2、判断两平面平行的方法有三种：(1)用定义；(2)判定定理；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.1.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行那么线线平行。符号表示：VfaaaaCw'bJ2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。注意点：a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可无视：b）定理表达了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直02.1.4 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.例1在正方体ABCD-ABClDl中,0是底面ABCD的中心，M、N分别是棱D%、DR的中点，那么直线0M（）.A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN,但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.例2如图，在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，GJI分别是BC,CD上的点,且器=器=2,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：.EF分别是AB,AD的中点，/.EF/BD,EF=TBD,1又骁=倦=2,GH/7BD,GH=3BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,Vnr=2,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：EF分别是AB,AD的中点,£：.EFBD,EF=，BD,vBG-DH_-2乂GC-HC一乙，1GHBD,GH=3BD,.四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,EGU平面ABC,FHU平面ACD,(1) ATeffiABC,且TW面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,：.TAC,A直线EG,FH,AC相交于一点T.例3在立方体ABCDABCD中，找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；直线BDl和直线AC的位置关系如何？直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解:(D连结BD,交AC于点O.DDl_L平面Ac.8。就是斜线在平面ACJt的射影.(2)BDl和AC是异面直线.过O作BDl的平行线交DDl于点M,连结MA、MC,那么NMoA或其补角即为异面直线AC和BDl所成的角.不难得到MA=MC,而。为AC的中点，因此MoJ_AC,即NMoA=90。，J异面直线BDi与AC所成的角为90°.例4a和b为异面直线，那么过a与b垂直的平面().A.有且只有一个B.一个面或无数个C.可能不存在D.可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清.正解：C.例5在正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，0是底面ABCD的中点.求证：EF垂直平面BB1O.证明：如图,连接AC、BD,那么0为AC和BD的交点.VE.F分别是AB、BC的中点,EF是AABC的中位线，EFAC.B】B_L平面ABCD,ACu平面ABCDAC±B.B,由正方形ABCD知:AClBO,又BO与BBi是平面BBiO上的两条相交直线,AC_L平面BBQ（线面垂直判定定理）VACEF,EFJ_平面BBQ.例6如图，在正方体ABCD-ABCD中，E是BBl的中点，0是底面正方形ABCD的中心，求证：OEl平面ACDi.分析：此题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法，要证明OE_L平面ACD,只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直.证明：连结B山、D、BD,在aBRD中,VE,0分别是BB和DB的中点,EO/7B1D.VBiAil®lDD,ADA1为DBla三AA1D1D内的射影.又一ADIAJ),AAD1IDB1.同理可证RD_LDC.又.ADCD=A,ADbD1C面ACD,AB1Dl平面ACDi.AOEl平面ACR.点评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦在RC定理的应用.例7.如图，正方体ABCD-ABiCD中，点N在BD上,点M上，且CM=DN,求证:MN平面AA1B1B.证明：证法一.如图，作MEBC,交BB1于E,作NF/AD,交法于F,连EF那么EE平面.BB.ME=NF.ME_BN_NF_,BCBDD,又MEBCADNF,.MEFN为平行四边形,MN/7EF.MN平面AA1B1B.证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连BR那么BFU平面AA1B1B.DN_CN''NNDCSgJBP,.NBNP.CM_DN_CN又CM=DN,B1C=BD,西一雨一存.MN7BR.BFu平面AABB,.MN平面AAiBiB.证法三.如图,作UPBBi,交BC于点P,连NP.VMPBB1,=.VBD=B1C,DN=CM,/.BlM=BN.：.NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AABB.点、线、面之间的位置关系单元测试第1题.以下命题正确的选项是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：D.第2题.如图，空间四边形ABcD中，E,F,G,”分别是AB,BC,CD,D4的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.答案：证明：连接BO.因为EH是ZABD的中位线，所以EHBD,且E"='bO.2同理，FGBD,且尸G='bO.2因为E”/G,且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.第3题.如图，长方体ABC。一AMCZ>'中，AB=23,AD=23,A4'=2.(1)8。和Ac所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？答案：(1)4;(2)6.第4题.以下命题中正确的个数是()假设直线/上有无数个点不在平面。内，那么/.假设直线/与平面平行，那么/与平面内的任意一条直线都平行.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.假设直线/与平面平行，那么/与平面内的任意一条直线都没有公共点.A.OB.1C.2D.3答案：B.第5题.假设直线。不平行于平面,且Q(Z,那么以下结论成立的是()A. 内的所有直线与。异面B. 内不存在与。平行的直线C. 内存在唯一的直线与。平行D. a内的直线与。都相交答案：B.第6题.”,b,C是三条直线，角ab,且4与C的夹角为夕，那么b与。夹角为.答案：.第7题.如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条.答案：8条.第8题.如果。，6是异面直线，直线。与Zr都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个.答案：2个.第9题.两条相交直线4,b,a平面。那么b与。的位置关系是.答案：ba,或人与。相交.第10题.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个.第11题.如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中：与EO平行.CN与BE是异面直线.CN与成60°角.DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()A.，B.，C.，D.，答案：c.第12题.以下命题中，正确的个数为()两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行；平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；过空间四边形ABCO的顶点A引CO的平行线段AE,那么NBAE是异面直线AB与Co所成的角；四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形A.OB.1C.2D.3答案：B.第13题.在空间四边形ABCO中，N,M分别是5C,Ao的中点，那么2MN与A5+8的大小关系是.答案：2MN<AB+CD.第14题.b是一对异面直线，且8成70角，P为空间一定点，那么在过P点的直线中与口力所成的角都为70的直线有条.答案：4.第15题.平面/，P是平面,尸外的一点，过点P的直线机与平面,分别交于AC两点,过点P的直线与平面,/分别交于B。两点，假设Z4=6,AC=9,PD=S,24那么3。的长为.答案：24或一.5第16题.空间四边形ABCO中，E,F,G,”分别是A5,BC,CD,ZM的中点，假设AC=BD=a,且AC与8。所成的角为90,那么四边形瓦G”的面积是.答案：一。.4第17题.正方体ABCOAqGA中，E,尸分别为AG，G用的中点，ACfBD=PtACJEF=Q.求证：(1) D,B,F,E四点共面；(2)假设AC交平面03庄1于R点，那么P,Q,R三点共线.答案：证明：如图.(1).EF是ARBcl的中位线，；.EFBQ1.在正方体AG中，BRBD,EFBD.E尸确定一个平面，即。，B,FtE四点共面.(2)正方体AG中，设AACG确定的平面为。，又设平面50所为£.QAG，.Qsa.又QE"Q7.那么。是与尸的公共点，.'=PQ又ACl=R,.RwAC.Rwa,且Rw，那么RPQ.故P,Q,R三点共线.第18题.以下四个命题：很平的桌面是一个平面；一个平面的面积可以是4；平面是矩形或平行四边形；两个平面叠在一起比一个平面厚.其中正确的命题有()A.O个B.IjC.2个D.3个答案：A.第19题.给出以下命题：和直线。都相交的两条直线在同一个平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是()A.OB.1C.2D.3答案：A.第20题.宜线在4上取3点，6上取2点，由这5点能确定的平面有()A.9个B.6个C.3个D.1个答案：D.第21题.三条直线相交于一点，可能确定的平面有()A.1个B.2个C.3个D.1个或3个答案：D.第22题.以下命题中，不正确的选项是()一-条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；每两条都相交但不共点的四条直线一定共面；两条相交直线上的三个点确定一个平面；两条互相垂直的直线共面.A.与B.与C.与D.与答案：B.第23题.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是()A.异面直线B.相交直线C.不相交直线D.不平行直线答案：D.第24题.在长方体45COAgG。中，点O,O分别是四边形A8CQ,CIA的对角线的交点,点E,尸分别是四边形AA。，B&GC的对角线的交点，点G,“分别是四边形GCDDl的对角线的交点.求证：AOEGWAo、FH.D1答案：证明：如图，连结AA，AC,CD1,GA，C1B,BA1.由三角形中位线定理可知OE幺gCR,0xF又BA、与CD、,：.OEJLOxF.同理可证EG幺"/.由等角定理可得NoEG=Na/77.AOEGqAO】FH.第25题.假设。，人是异面直线，b,C也是异面直线，那么与C的位置关系是(A.异面B.相交或平行C.平行或异面D.相交或平行或异面答案：D.第26题.，人是异面直线，A,8是4上两点，C,。是人上的两点，M,N分别是线段AC和8。的中点，那么MN和。的位置关系是(D.平行、相交或异面A.异面直线B.平行直线C.相交直线答案：A.第27题.如以下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中BW与ED平行；CN与BE是异面直线：CN与成6角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()A.©©B.C.D.®答案：C.第28题.直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的()A.-条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线不相交D.无数条直线不相交答案：C.第29题.如果直线。平行于平面a,那么()A.平面内有且只有一直线与。平行B.平面a内有无数条直线与。平行C.平面a内不存在与。平行的直线D.平面a内的任意直线与直线。都平行答案：B.