点线面位置关系第一轮复习.docx

本课内容：点线面位置关系【空间中的平行问题】（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行。（线线平行f线面平行）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行f线线平行）（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行一面面平行）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行一面面平行）垂直于同一条直线的两个平面平行两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行一线面平行）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行一线线平行）【空间中的垂直问题】（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。【空间角问题】（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为O两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点。，分别作与两条异面直线a,b平行的直线，a',b,形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为O平面的垂线与平面所成的角：规定为90平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算二在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，解题时，注意挖掘题设中两个信息：斜线上一点到面的垂线；过斜线上的一点或过斜线的平面与面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角【例题分析】例1如图，在正方体CIDI中，E,F分别是48,的中点.求证：（I）E、C、Di.F四点共面；（11）CEDA、DIF三线共点.【分析】对于（I）中证明“£、C、5、F四点共面”，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于（II）中证明"8、DA.DIF三线共点”，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上.证明：（I）连接D1C、48、EF.,：E,F分另是48,AAl的中点，.,.EFAB,EF=LAB,2又4Di8C,A1D1=BC,.4DCB是平行四边形.A1B/D1C,EF/D1C,£、C、Di、F四点共面.（11）由（1）得小81，EF=；CD,直线CE与直线OIF必相交，记CErWIF=P,VP三D1FU平面AIADD1，PCEu平面48C。，：.点P是平面A1ADD1和平面ABCD的一个公共点.平面A1ADD1平面ABCD=AD,.PAD,£、DA.DIF三线共点.2、证明。，b,C三线交于一点的主要依据：（1）证明Q与b相交，C与b相交，再证明两交点重合；先证明。与b相交于点P,再证明Pc.例2在四棱锥PBCD中，底面A8CD是平行四边形，M,N分别是48,PC的中点，求证：MN平面PAD.【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造（添加）中位线辅助证明.证明：方法一，取P。中点E,连接AE,NE.V底面A8CD是平行四边形，M,N分别是48,PC的中点，：.MA/CD,MA=-CD.2TE是PD的中点，：.NE/CD,NE=-CD.2：,MA/NEt且MA=N£,:AENM是平行四边形，.MNAE.又AEU平面外D,MN<Z平面D,.MN平面PAD.方法二取C。中点F,连接MF,NF.,MFAD,NF/PD,，平面MNF平面PAD,.MN平面PAD.【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:证明线线平行：allc,bCyalla,au6all6a±a,b±aac=ba=,y116=b=Qllb=Qllb=>allb=>allb(2)证明线面平行:aca=0allballbua,ClaaGU6=>alla=Qlla=CHla证明面面平行:Ofn6=0all6,bll6a±a,a±all7,a,bua,arb=Anail=>allnailnail例3在直三棱柱4BC-4BC中，AA1=AC,AB±ACf求证：A1CYBCi.【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明4C垂直于经过8G的平面即可.证明：连接4G.,NBC4BlCl是直三棱柱，平面48C,.ABLAA1.又A8"L4C,平面4ACC,4C±4B.又4h=4C,侧面4ACJ是正方形，.A1C±AC.由，得4C_L平面A8G，.A1C±BC1.例4在三棱锥P48C中，平面力8_1_平面48C,ABLBCfAPI.PBf求证：平面%C_L平面P8C.【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化.证明：;平面外8_L平面A8C,5F三PAB5FffiABC=ABf且A8_L8C,，8C_L平面PABf：.APYBC.又APj_P8,4P_L平面PBC,又APU平面PAC,工平面以C_L平面P8C.【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:证明线线垂直：0±c,bctO-Labua=G-Lb=a_Lb证明线面垂直:a-LmfO-Lnallb,b,Laall,±Q_L6,QC6=/m,n,mn=AGU6,a±l=>a±a=>a±a=>a±anaJ_Q证明面面垂直:JL6,uana_L6例5如图，在斜三棱柱A8C4BC中，侧面/MB81是菱形，且垂直于底面ABC,ZA1AB=GQo,E,F分别是A8,8C的中点.(I)求证：直线EF平面AiACCu（三）在线段48上确定一点G,使平面EFG_L平面48C,并给出证明.证明：(I)连接4C,A1E.侧面4A8&是菱形，E是ABi的中点，£也是48的中点，又F是8C的中点，£F4C.'4CU平面AiACCi,EFZ平面AiACCi,，直线EF平面AiACCi.Rr1解：当一二一时，平面EFGJ_平面48。，证明如下：连接EG,FG.GA3;侧面44881是菱形，且NMB=60°,ZVMB是等边三角形.BG£是48的中点，=-,EG±AB.GA3;平面4MB8i_L平面ABC,且平面44881平面ABC=AB,£G_L平面ABC.又EGU平面EFG,，平面EFG_L平面ABC.课堂练习：一、选择题1 .各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4,体积为16,那么这个球的外表积是()A.6B.20C.24;TD.32%2 .在四面体ABCO中，旦尸分别是AC,8O的中点，假设A8=2,CO=4,EF_LA3,那么所与Co所成的角的度数为()A.90B.45C.60D.303 .三个平面把空间分成7局部时，它们的交线有（）A.1条B.2条C.3条D.1条或2条4 .在长方体ABCD-AgGR,底面是边长为2的正方形，高为4,那么点儿到截面ABQl的距离为5 .直三棱柱A8C-44G中，各侧棱和底面的边长均为。，点。是CG上任意一点，连接AiBiBDiAiD,AD,那么三棱锥A1BO的体积为（6 .以下说法不正确的选项是（）A.空间中，-组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B.同一平面的两条垂线一定共面；C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D.过一条直线有且只有一个平面与平面垂直.二、填空题1 .正方体各面所在的平面将空间分成局部。2 .空间四边形ABC。中，E,b,G,H分别是A8,8C,CD,OA的中点，那么BC与AO的位置关系是：四边形EFGZ/是形；当时，四边形EFG”是菱形；当时，四边形£：FG"是矩形；当时，四边形EFG”是正方形3 .四棱锥V-ABCD中，底面4BCO是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为巧的等腰三角形，那么二面角V-AB-C的平面角为。4 .三棱锥P-ABCiPA=PB=PC=73,B=10,BC=8,CA=6,那么二面角P-AC-B的大小为5,尸为边长为。的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC=,那么尸到AB的距离为三、解答题6 .如图，三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M,N分别为PA,BC的中点.(I )求MN的长;7 .如图，在四面体ABCD中,CB=CD,AD±BD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证:(I)直线EF平面ACD；B(II)平面EFC_L平面BCD.8 .如图，平面ABEF_L平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=90°,BC/7AD,G,H分别为FA,FD的中点.(I)证明：四边形BCHG是平行四边形；(II)C,D,F,E四点是否共面?为什么？(IlI)设AB=BE,证明：平面ADE_L平面CDE.课后作业:一、选择题1.设4是两条不同的直线，,7,y是三个不同的平面，给出以下四个命题:假设m_La,n/af那么机_L假设a/，/Iy,m1.a,那么ELy假设m,n/a,那么z/假设_Ly,Iy,那、么all其中正确命题的序号是（）A.和B.和C.和D.和2.假设长方体的三个面的对角线长分别是a,。,c,那么长方体体对角线长为（）A.7a2+Z?2+c2B.a2+b2+c2C.-Va2+Z?2÷c2D.-a2+b2-c22 23 .在三棱锥A-BCD中,AC_L底面BCD,BD1DC,BD=DCyAC=a,NABC=30°,那么点C到平面A3。的距离是（）5L5315A.aB.aC.ciD.Q55534 .在正方体A8COA4G0中，假设E是AlG的中点，那么直线CE垂直于（）A.ACB.BDC.AiDD.AR5 .三棱锥PA5C的高为尸，假设三个侧面两两垂直，那么H为的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心6 .在四面体ABCD中，棱AC的长为2,其余各棱长都为1,那么二面角A-CD-B的余弦值为（）1 132A.-B.-C.D.2 3337.四面体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，£厂分别是SC和AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于OA.90°B.60°C.450D.30°二、填空题1 .点AB到平面。的距离分别为4cm和6cm,那么线段AB的中点用到a平面的距离为2 .从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为O3 .一条直线和一个平面所成的角为60°,那么此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是.4 .正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12,底面对角线的长为2"，那么侧面与底面所成的二面角等于。5 .在正三棱锥PABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，A3=4,4=8,过A作与尸仇PC分别交于。和上的截面，那么截面4Ao石的周长的最小值是三、解答题1 .正方体ABC。一AHCA中，M是AA的中点.求证：平面3Z)_1_平面BOC.2 .求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。3 .在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SACJ_平面A5C,SA=SC=,M.N分别为A8,S3的中点。(I)证明：AClSBi(II)求二面角N-CM-8的大小；(III)求点B到平面CMN的距离。参考答案课堂练习：一、选择题1 .C正四棱柱的底面积为4,正四棱柱的底面的边长为2,正四棱柱的底面的对角线为2,正四棱柱的对角线为2指，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R=2娓,R=瓜，S球=4rK=24r2 .D取3C的中点G,那么EG=L/G=2,E尸J,7 D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平 面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题1. 27 分上、中、下三个局部，每个局部分空间为9个局部，共27局部2.异面直线；平行四边形；BD = ACi BDLAC-, 8£> = AC且8。_LAC3. 60°G那么防与CO所成的角NEfG=30°3 .C此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4 .C利用三棱锥AABQ的体积变换：VAT弘二匕_%的，那么gx2x4=；x6xtzzIElCi2y3a岛24. 60°注意尸在底面的射影是斜边的中点5 vA-AiBD=vD-AiBA=5/?=××=5,息2一、选择题1. A假设zn,nat那么加/，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系假设a_Ly,I,那么二尸，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2. C设同一顶点的三条棱分别为x,y,z,<x2+=2,y2+z2=2,x2+z2=c2得f+y2+z2=g(/+/),那么对角线长为+，+。2)=孝力2十从十。23. B作等积变换匕一BO=LfM4. B3。垂直于CE在平面ABCo上的射影5. CBCLPABCVAH6. C取AC的中点石，取C。的中点尸，EF=LBE="BF=BCos=里=B222BF37. C取SB的中点G,那么GE=G7=g,在ASFC中，EF=-afNEFG=45°22二、填空题1.5cm或Ian分AB在平面的同侧和异侧两种情况2.48每个外表有4个，共6x4个；每个对角面有4个，共6x4个3.90°垂直时最大4.30°底面边长为26，高为1,tan。=35.11沿着PA将正三棱锥尸ABC侧面展开，那么4,RE,A'共线，.AABC