点线面位置关系例题与练习(含答案).docx

点、线、面的位置关系知识梳理（一）.平面公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2,不去缱的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1 .空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线一一异面直线；1.4 异面直线所成的角：（1）范围：6>（0o,90°（2）作异面直线所成的角：平移法.2 .直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3 .平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1 .线面平行：定义：直线与平面无公共点.aba"a判定定理：0n性质定理：au0=abb（aa=b2 .线面斜交：直线与平面所成的角（简称线面角）：假设直线与平面斜交，那么平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：0o,90°3 .面面平行：定义：p=0=all判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行;符号表述：a,bua,ab=O,alla,blla=>a/all (2) a y = a = allb (y = b判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a±a,al=>a.面面平行的性质：（1）allall,ClUa（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：假设一条直线垂直于平面内的任意一条直线，那么这条直线垂直于平面。符号表述：假设任意au,都有/_La,且z,那么/_La.a,buaafb=O判定：TaCL,=性质：(l)/_La,aua=>/_La；(2)ILaILh,aLa,bLa>a!ib：/63.2 面面斜交二面角：定义：【如图】08_1/,。4_1_/=>408是二面角。一/一耳的平面角范围：ZAOB0o,180°作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3 面面垂直（1）定义：假设二面角a-/-6的平面角为90。，那么。，尸;（2）判定定理："u：Ina工夕alp（3）性质：假设a_L/,二面角的一个平面角为NMON,那么NMON=90。；a1a=AB>=>aJ./auaaIAB热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断假设外。是两条异面直线，a,S是两个不同平面，aUa,bUB,a£=/,那么（）.A. /与施。分别相交B. /与86都不相交C. /至多与86中一条相交D. /至少与榛。中的一条相交解析：假设/与&6均不相交，那么/a,1/b,从而ab与a,。是异面直线矛盾，故/至少与&b中的一条相交.选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台力比）一43Ga中，L平面/1"9,底面40是平行四边形，AB=2ADtAD=AlBit/.BAD=W.（D证明：AAxVBDx（2）证明：CG平面方法一：因为平面力版，且劭U平面相四所以IXDLBD.又因为月Q249,BAD=60°,在月劭中，由余弦定理得Blf=Alf+Alf-2ADABcos600=3配，所以所以ADIBD.又ADCMD=D,所以如！平面ADIKAx.又/14U平面力以U,故A4M.方法二：因为。_L平面居微且副C平面版力（如图），所以应LLRZ取48的中点6,连接加(如图).aGb在力勿中，由力8=2力得力G=力又NBAl=60°,所以G为等边三角形，因此G。=。，故/DBG=/GDB.又NAGQ60°,所以NGDB=30°,故/ADB=ADG+GDB=600+30°=90°,所以加_L4Z又ADCw)=D,所以劭平面4¾U.又44U平面4加4,故被(2)如图，连接Na4G.设ACCBD=E,连接以I.因为四边形力时为平行四边形，所以反'=夕£由棱台定义及AB=2AD=2A知4Ga1且AiG=ECt所以四边形4戊石为平行四边形.因此CCJ/EAx.又因为Zu平面外做C1<Z平面4M所以阳平面AM.热点三面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形力四中，AD"BC,AB工BC49=2,BC=4,尸为平面力故?外一点，且FA=F&PD=PC,N为切的中点.(D求证：平面也”_平面力反以；(2)在线段。上是否存在一点E使得彷平面4外？假设存在，说明理由并确定£点的位置；假设不存在，请说明理由.(D证明：取力6中点M连接掰PMMN,那么归_力8,PNICD.又/切切为直角梯形，ABIBa，网CL力氏VPMCMV=M：.ABL平面PMN.又/WU平面为也IABLPN. ；AB与切相交，/WJ_平面ABCD.又/Wu平面PCD1，平面RN_L平面/比。(2)解：假设存在.在PC,加上分别取点£F,使BTBP,CE=汕连接ERMF,NE,3那么牙且可求得EF=IBc=3.WIZV=3且MN/BC,：.EF/J於且EF=MN. .四边形,拗跖为平行四边形，：.EN/FM.又.同仁平面PAB, 二在线段用上存在一点E使得怙平面ABP,此时CE=PC.热点四折叠问题例4如下图，在直角梯形ABCP中，APBC,APLAB,AB=BC=-AP=2,。是AP的中点，E,F,G分别为PCPD.GB的中点，将APCD沿Co折起，2使得PoJ平面48CQ.(I)求证：AP/平面EFGi(II)求二面角G-E厂一。的大小.解:(1)证明:选AC,BD卒于O点,窄GO,FO,EO.,正丁分别为口：*»的中点，四边形EFOG是平行四城,'幺CO,同理GO幺万。,EOU 平面 EFoG. /rjA/又在三角形PAC中,巳0%J为PdAC的中点三PA/E*EOaiEFddPA2平面EFoGBGC.PA/平面EFOG即PA/平面EFG.方法二)连AC,BD交于0点,连GO,FO,EO.TE,F分别为PCPD的中点，EFaLCD,同理GEWLPB2-2又CZ)AB,.EFIL-AB-2EGCE/=E,PBcA8=8,.平面EFG/平面PAB,又PA(Z平面PAB,/.PA平面EFG.方法三)如图以D为原点,以瓦皮,而为方向向量建立空间直角坐标系。-斗.那么有关点及向量的坐标为：设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)P取三(W)蓝而=1x(2)+0x0+lx2=0,.i_L而.又APU平面EFG.AP平面EFG.（三）由底面月空9是正方形/.AojLoC,又：PD上面ABQ).ADLPD又PDCCD=D.AOJ_平面PCDt向量丽是平面必。的一个法向量，DA=(2,0,0)又由(I)方法三)知平面夕灯的法向量为3=(1,0,1)结合图知二面角GE/一O的平面角为45°.热点五线线角线面角面面角例5正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为中。(1)求侧面PAD与底面ABCQ所成二面角的大小;(2)假设E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)在侧面尸AO上寻找一点F,使得EF_L侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。(1)连Ae80交于点。，连PO,那么P0_L面ABCD,.NPA0就是PA与底面A8C。所成的角，：,tanZPAO=-2设AB=L那么Po=AotanPAO=2设F为AD中点，连FO、PO,那么OF_LAD,所以，PFlAD,所以，NPFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。在RPO中，tanZPFO=-=3,：.ZPFO=-.FO3即面PAo与底面ABC。所成二面角的大小为工3(2)由(1)的作法可知：0为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EOU-PD.=2.NEO。就是异面直线PD与AE所成的角。PD=yOD2-PO2=o：,EO=-24由Aoj_3。，AOJ_PO可知：AO_LiSP80。所以，AOLEO.在Rt/SAOE中，八SAO210tanNAEO=。EO5异面直线PD与AE所成PF亘210正切是O5(3)延长/O交BC于点接PG。设”为PG中点，连EH,GH。V四棱锥P-ABCD为锥且尸为AC)中点，所以，G中点，BClPG,BC工FG,3。_1面。/6。®PBC±三PFGoTT：PF=PG,N尸产。=一，.WbG为正三角形。3FHkPG,：.FH±BPBCo取AF中点为K,连EK,那么由“石WK及HE二尸K得四边形”石K/为平行四边形，所以,KE/FH.KE1ffiPBCo学生练习一、选择题1 .设根,是两条不同的直线，,y是三个不同的平面，给出以下四个命题:假设Z-L,n11a,那么“_L假设/,I1,mVa,那么用_Ly假设m,/a,那么加/假设_Ly,Iy,那么/其中正确命题的序号是（）A.和B.和C.和D.和2 .假设长方体的三个面的对角线长分别是,"c,那么长方体体对角线长为（A.a2+b2+c2B.a2+b2+c2C.-a2-b2+c2D.-ya2+b2+c2223.在三棱锥A-BCD中,AC_L底面BCD,BD±DC,BD=DC,AC=a,ZABC=30°,那么点C到平面AB。的距离是（）a5d153n15A.uB.aC.QD.a55534 .在正方体ABCOCR中，假设E是AG的中点，那么直线CE垂直于（A.ACB.BDC.AiDD.AA5 .三棱锥尸ABC的高为尸”，假设三个侧面两两垂直，那么"为AABC的（A.内心B.外心C.垂心D.重心6 .在四面体ABeo中，棱AC的长为J,其余各棱长都为1,那么二面角A-CD-B的余弦值为（）A.-B.-C.D.23337 .四面体S-A5C中，各个侧面都是边长为。的正三角形，£尸分别是SC和48的中点，那么异面直线律与SA所成的角等于0A.90°B.60°C.450D.30°二、填空题1 .点AB到平面a的距离分别为4cm和6的，那么线段45的中点M到平面的距离为2 .从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为3 .一条直线和一个平面所成的角为60°,那么此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是.4 .正四棱锥1顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2而，那么侧面与底面所成的二面角等于O5 .在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面，那么截面AADE的周长的最小值是三、解答题1 .如图，在四棱锥产一/1阅9中，底面40为平行四边形，ZADC=45o,AD=AC=It。为"'的中点，PO上平面MCD,P0=2,时为PD的中点.证明：PB平面ACM证明：4LL平面为C.2 .在正三棱柱48C-AIBICl中，EWBBi,截面4EC与侧面AlACG所成角为90。.(1)求证：BE=B1E;(2)假设AAl=A由求平面AIEC与平面48G所成二面角的大小.3如图，在四棱锥一一4%力中，外_1_平面力仇力，底面力以力为矩形，PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.(1)求证：AD工PJ(2)求三棱锥力一物'的体积；在'上是否存在一点M使得胡平面假设存在，求出4犷的长；假设不存在，请说明理由.答案一、选择题1. A假设m,/,那么加/，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系假设a_Ly,尸JL/,那么/，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2. C设同一顶点的三条棱分别为X,y,Z,那么f+y2=,y2+z2=,2+z2=/得f+y2+z2=_L(2+/),那么对角线长为工("+/+¢2)=立夜2+/+/2V223. B作等积变换re=%4. B垂直于CE在平面ABCD上的射影5. CBC±PA>BC±AH6. C取AC的中点E,取Co的中点/，EF=LBE=也,BF=同cos。=222BF37. C取S3的中点G,那么GE=G尸=4,在中，EF=-atNEFG=45°22二、填空题1.5cm或ICm分AB在平面的同侧和异侧两种情况2.48每个外表有4个，共6x4个；每个对角面有4个，共6x4个3.90°垂直时最大4.60度5.11沿着PA将正三棱锥尸ABC侧面展开，那么A,D,E,4共线，RAA/BC三、解答题：略1 .证明：(1)连接加，.他Z在平行四边形月犯9中，因为。为力。的中点，所以。为川的中点.又"为如的中点，所以PBMO因为阳仁平面力以/；物U平面所以加平面力以(2)因为/1g45°,且/1%46=1,所以N%C=90°,JADLAC又RL平面月8微4XZ平面力M?,所以故！被而Amm=0,所以力_L平面用C2|解析(1)取AC中点尸，作EG_L面AG于G,BFEG,厂一“F=BiEGr为平行四边形"FG_LAe=G为AC之中点BiE/面ACI-B七/FG从而E为8囱之中点.LBE=BiE.由(1)知G为矩形4CG4的中心，过G作直线平行于4G,交44于点P,交CG于。点，连结EP,EQt那么平面A/Cl平面PE。，即求平面AEe与平面PEQ所成的角，交线为EG,，其平面角为NAIGP,SAAi=AiB1,那么AeGAl为正方形，那么NAlGF=45°.3.证明：因为HLL平面力用力，所以PD工AD.又因为四边形力吸是矩形，所以49_L6Z?.因为PDCCD=D,所以力_L平面9.又因为公平面/W,所以力1%.(2)解：由知助平面M9,所以49是三棱锥力一侬的高.因为£为心的中点，且PD=DC=4,所以5三=5w=×J×4×4=4.11O又AD=2,所以匕-磔=W4。Sapx=R×2×4.oo*3解：取然的中点机连接用DM,因为£为尸。的中点，"是“'的中点，所以EM/PA.又因为原t平面"MEW平面以明所以必平面以K此时Af=AC=AI7+)Ci=2+42=5,即在力C上存在一点M使得必平面及说且4M的长为木.