点、直线与圆的位置关系2.docx

第三讲中考要求）内容根本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系：了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系：会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线：能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系粕利用圆与圆的位置关系解决简单问超知识点睛）一、点与圆的位置关系点与®!的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.设00的半径为r,点尸到圆心。的距离为d,那么有：点在圆外=厂；点在圆上=d=r;点在圆内OdVr.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部du点/在。的外部.点在圆上点在圆周上d=r。点P在。的外部.点在圆内点在圆的内部d<o点尸在。的外部.确定圆的条件1 .圆确实定确定一个圆有两个根本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小.只有当圆心和半径都确定时，远才能确定.2 .过点作Kl经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以。4的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个.经过两点A、8的圆：以线段A8中垂线上任意一点。作为圆心，以。4的长为半径，即可作出过点48的圆，这样的圆也有无数个.过三点的圆：假设这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；假设A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.过（“4）个点的圆：只可以作。个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.3 .定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：（1）”不在同一直线上”这个条件不可无视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）”确定”一词的含义是"有且只有“，即“唯一存在”.4 .三角彩的外接BI（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝由三角形外接圆的圆心在它的外部.二、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设。的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,那么直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及判定相离dP1J直线与圆没有公共点.d>ro直线/与。相离相切6直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.d=ro直线/与（Do相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.dvru>直线/与。相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示:直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数210圆心到直线的距离d与半径r的关系d<rd=rd>r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无三、切线的性质及判定1 .切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2 .切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线：定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3 .切线长和切线长定理：(1)切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.4 .弦切角等于同弧所对的圆周角.切线的判定定理设。4为。的半径，过半径外端A作/_LO4,那么。到/的距离d=r,./与。相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是。的切线.证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直：(2)作垂直，证垂直在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线(2)过切点(3)过圆心定理：过圆心，过切点=>垂直于切线OA过圆心，OA过切点A,那么。4/47j.AB过圆心,经过圆心，垂直于切线=>过切点>1=M为切点(I)ABLMT经过切点，垂直于切线=过圆心''>=AM过圆心(2)M为切点重、难用重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目.难点与关键：由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价.7J例题精讲)一、点与圆的位置关系【例1】一个点到圆周上的点的最大距离为5cm,最小距离为ICm,那么此圆的半径为.【例2】：四边形AfiC。中，ABCD,AD=BC,ZBAP=135o,AB=20,CD=AO,以A为圆心,B长为半径作圆.求证：在。A上，在04内，。4外都有线段DC上的点.【例3】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，5为半径作OO,A,B9C三点的坐标分别为A(3,4),B(-3,-3),C(4,-加)，试判断A,B,C三点与。的位置关系.【例4】在ABC中，ZC=90o,AC=49AB=S9以点C为圆心，以/为半径作圆，请答复以下问题，并说明理由.当,取何值时，点A在OC上，且点8在。C内部？当，在什么范围内取值时，点人在。C外部，且点3在。的内部？是否存在这样的实数)使得点A在OC上，且点A在OC内部？【例5】ABC中，ZC=90o,AC=2»BC=3,45的中点为M,(1)以C为圆心，2为半径作。C,那么点4,B,与。的位置关系如何？假设以C为圆心作。C,使A,13,M三点至少有一点在OC内，且至少有一点在。C外,求C)C半径/的取值范围.【例6】ABC中，Ae=AC=10,BC=I2,求其外接圆的半径.二、直线与圆的位置关系【例7】(08浙江省丽水)如图，O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，NAQB=45。，点，在数轴上运动，假设过点P且与OA平行的直线与OO有公共点，设OP=X,那么X的取值范BI是A,Oxy2B.-x2C.-lxH).>2【例8】ZABC=60o,点。在NABC的平分线上，0B=5cm,以O为圆心3cm为半径作圆，那么。与BC的位置关系是.【例9】在RtAABC中，ZC=90o,AC=12cm,BC=16cm,以点C为圆心，为半径的圜和/W有怎样的位置关系？为什么？(1) r-9cm；(2)r=10cm;(3)r9.6cm.三、切线的判定【例10如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,O是底边8C的中点，OO与腰AB相切于点。，求证AC与。相切.【例11(据06北京中考题第19题改编)：如图，ABC内接于二。，AQ是过A的一条射线，且ZB=ZCAD.求证：AD是。的切线.【例12：如图，B是。的直径，。上一点，MN过C点,4)_LMN于。，AC平分NZMB.求证：MN为OO的切线.【例13如图，OA是。的半径，8是QA中点，BClOA9，是QA延长线上一点，且¾=AC求证：PC是。的切线.【例14(08海淀一模)：如图，AC是OO的直径，是弦，MN是过点A的直线,AB等于半径长.假设ZBAC=2/S4N,求证：MN是。的切线；在成立的条件下，当点E是A8的中点时，在4V上楹取AD=AB,连接比)、BE、DE,求证：MD是等边三角形.【例15(09湖北孝感)如图，。是RtA8C的外接圆，ZABC=90o,点P是圆外一点，PA切。于点A,且PA=PB.(1)求证：心是。的切线；(2) PA=BBC=I,求。的半径.【例16(09浙江义乌)如图，AB是。的的直径，BClAB于息B,连接OC交。于点E,弦AD/OC9弦_LAB于点G.(1)求证：点“是8。的中点；(2)求证：CO是。的切线；4G)假设sinNMD=M,。的半径为5,求力产的长.【例17如图，O是正方形AC。对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的。与BC相切于M,与AB、4)分别相交于七、F.求证：8与。相切；假设正方形ABCz)的边长为1,求。的半径.【例18】(2007年武汉)如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=O,AB=2.以BC为直径作C)O交AB于点。，交AC于点G,DFJ.AC,垂足为尸，交CB的延长线于点七.(1)求证：直线上尸是。的切线；求SinNE的值.四、切线长定理【例19如图，PA.PRDE分别切G)O于A、B、C9假设Po=I0,SPDE周长为16,求OO的半径.【例20如图，43是。的直径，8C是和。O相切于点8的切线，。的弦Az)平行于OC,假设OA=2,且AC>+0C=6,求CD的长.【例21】如右图所示，A8C的内切Hl与三边A8、BC、CA分别切于。、E、F9AB=IIcm.BC=I3cm,C4=14cm,求AD、BE、Cr的长.在RtABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,求ABC内切圆的半径.蚓家庭作业)【习题1】设RtABC的两条直角边长分别为3,4那么此直角三角形的内切圆半径为，外接圆半径为【习题2】等边三角形的外接Bl的半径等于边长的。倍.33/71A.B.C.N3D.-【习题3(2009年莆田)0«和。&的半径分别是一元二次方程(x7)(x-2)=0的两根，且O1O2=2,那么Ool和OQ的位II关系是.【习题4(首师大附中20082009初三月考)定义：定点A与。上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与。O之间的距离.现有一矩形ABa>如图，48=14cm,BC=12cm,G)K与矩形的边AB、BC.Co分别相切于点ERG,那么点A与。K的距离为.【习题5(2004诲坊)RtAABC中，ZC=90o,AC=3cm,BC=4cm,给出以下三个结论：以点C为IB心，3Cm长为半径的圆与AB相哀；以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；以点C为圆心，5cm长为半径的圆与AB相交.上述结论中正确的个数是()A0个B.lC.2D.3个【习题6】RtABC的两条直角边8C=3,AC=4,斜边AB上的高为CQ,假设以C为圆心，分别以4=2,弓=2.4,g=3为半径作圆，试判断。点与这三个圆的位置关系.【习题7】如以下图所示，以RlABC的直角边BC为直径作半圆O,交斜边于O,OEAc交AB于石，求证：OE是。的切线；【习题8(08甘第兰州)如图，四边形ABCO内接于OO,8。是OO的直径，AEJ_CD,塞足为E,DA平分/BDE.(I)求证：AE是Oo的切线；(2)假设NDBC=30,OE=ICm,求8。的长.【习题9(09贵州安顺)如图，AB=BC9以AB为直径的。交AC于点D,过。作OEJ_3C,垂足为E.(1)求证：。笈是OO的切线；(2)作。G_LA8交Oo于G,垂足为Q，假设ZA=30。，AB=S9求弦Z)G的长.