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本科毕业设计（论文）外文翻译译文学生姓名：院（系）：专业班级：指导教师：完成日期：要求1、外文翻译是毕业设计（论文）的主要内容之一，必须学生独立完成。2、外文翻译译文内容应与学生的专业或毕业设计（论文）内容相关，不得少于15000印刷符号。3.外文翻译译文用A4纸打印。文章标题用3号宋体，章节标题用4号宋体，正文用小4号宋体，20磅行距；页边距上、下、左、右均为2.5cm,左侧装订，装订线0.5cm。按中文翻译在上，外文原文在下的顺序装订。4、年月日等的填写，用阿拉伯数字书写，要符合关于出版物上数字用法的试行规定,如“2005年2月26日”。5、所有签名必须手写，不得打印。一些周期性的二阶线性微分方程解的方法SomePropertiesofSolutionsofPeriodicSecondOrderLinearDifferentialEquations肖立鹏,陈宗轩2起止页码：译文2-7,8-12原文13-19,20-25出版日期（期刊号）：ISSN1000出版单位：数学研究与评论外文翻译译文：一些周期性的二阶线性微分方程解的方法1 .简介和主要成果在本文中，我们假设读者熟悉的函数的数值分布理论12,14,16的根本成果和数学符号。此外，我们将使用的符号。（7）,A（）a11d2（/）,表示的顺序分别增长，低增长的一个纯函数的零点收敛指数，于,e(f)(8),E型的f(z),被定义为同样，(),E型的亚纯函数/的零点收敛指数，被定义为我们说，如果一个亚纯函数/(z)满足增长的正常秩序我们考虑的二阶线性微分方程在A(Z)=8(«8)是一个整函数在0=2%"a。在(1.1)的反复波动理论的第一次探讨中由银行和莱恩6。已经进行了研究在(1.1)中，并已取得各种波动定理在211,13,17(19。在/函数中A(Z)正确的，银行和莱恩证明了如下定理定理A设A(Z)=3()这函数是一个周期性函数，周期为g=2加a在整个函数e"存在。如果B(G有奇数阶极点在S=8和，=O,然后对于任何一个结果答案f(z)(0)在(1.1)中/)=+8广义这样的结果：上述结论仍然认为，如果我们只是假设，4=8既4=0和3(7)的极点，并且至少有一个是奇数阶。此外，较强的结论log+N(/)。(1.2)认为。当A(Z)是超越在,高10证明了如下定理定理B设B(G=g(lG+ZL4r,其中g(f)是一个超越整函数与b(g)<l,P是奇正整并且bpb,设A(Z)=WeJ,那么任何微分解在(1.1)的函数/必须有/)=+8。事实上，在(1.2)已经有证明的结论。是在10一个例子说明当定理B不成立时，b(g)是任意正整数。如果在另一方面(g)>l,但如果没有一个正整数，我们可以说些什么呢？蒋和高得到以下定理定理C设A(Z)=B(e2),其中8(G=g«/G+g2(G，函数目和函数g2是整函数g2先验和b(g2)不等于一个正整数或无穷大，并函数©任意。(一)假设b(g2)>l(a)如果函数f是一个非平凡解儿CnVb(g2)在(Ll),那么F(Z)和/(z+2万)是线性相关。(b)如果函数/和函数&在ILI)是两个线性无关函数，那么存在这样一个条件4(f)<b(g2)。(二)假设b(g2)vl(a)如果函数f有一个非平凡解在(1解且4(f)<l,f(z)和/(z+2疝)是线性相关的。如果函数力和函数，2在(L1在(LI)是两个线性无关函数，那么存在这样一个条件(A)io定理D让g<)是一个超越整函数和它的秩序是正整数或无穷大。设A(Z)=B(08),8(G=g(l/G+Z与小和P是一个奇正整数。然后2(/)=+8或F得到每一个非平凡解在(l.l)o事实上，在(1.2)中已经有证明的结论。例子说明在高8定理D不再成立，当(g)是无穷的。本文的主要目的是改善上述结果的情况下，当例G是超越。特别地，我们找到的条件下定理D仍然成立的情况下，当b(g)是一个正整数或无穷大。我们将证明在第3节的结果如下：定理1设A(Z)=B(/),其中5(G=g|(l/G+g2(G，g和g2g2先验和(g2)不等于一个正整数或无穷，g任意整函数。如果定期二阶线性微分方程/(Z)和/(z+2疝)的解不是一些属性是两个线性无关的解在(1.1),然后或者我们的说法,定理1的结论仍然有效,如果我们假设函数Mgl)不等于一个正整数或无穷大,任意和承当的情况下8(G=g(iG+g2(7),当其低阶不等于一个整数或无穷超然是任意的，我们只需要考虑8*S)=8(l/)=g1S)+g2(l/)在0<W<+8,<l.推论1设A(Z)=8(*),其中8(G=g|(l/G+g2(G，函数g和函数g2是整个g2先验和(g2)不超过1/2,并且g任意的。(一)如果函数f是一个非平凡解儿(f)<*o在(1.1)中,那么AZ)和/(z+2力)是线性相关。(二)如果力和力是两个线性无关解在(LI)中，那么4(力人)=”。定理2设g(G是一个超越整函数及其低阶不超过1/2。设4(z)=8(),其中8(C)=g(l/C)+Z；1%，/和p是一个奇正整数，那么4()=+oo为每个非平凡解F到在(1.1)中。事实上，在(L2)中证明正确的结论。我们注意到，上述结论仍然有效的假设我们注意到，我们得出定理2推广定理D,当是一个正整数或无穷，但g)l2结合定理2定理的研究。推论2设g(G是一个超越整函数。设A(Z)=B(/),其中3(G=g(lG+Z2%7和P是一个奇正整数。假设要么(一)或(二)中认为：(一)b(g)不是正整数或无穷；(二)4(g)l2然后为每一个非平凡解在(1.1)中函数f对于;l()=+80事实上，在(1.2)中已经有证明的结论。2 .引理为定理的证明引理1(7),攵2和的假设o,.Al是整个周期2%L并且函数f是有一个非平凡解进一步假设函数f满足log+Nwf)=Om4是在以非恒定和理性的，而且，如果左3,且A，.A-是常数。那么存在一个整数q与lq%,f(Z)和/(z+q2力)是线性相关。相同的结论认为，如果40是超越优，和f满足log+N(r,l)=o(r),如果A3,然后通过一个无限措施的集合Ll为co,T(ryAj)=o(T(r,Aj)且j=l,.k-2引理2(10)设A(Z)=BQe)是一个周期为&=2疝。7在e2(包括那些可以改变这种情况下极奇数阶设8(7)是定期与整函数周期刃=2力在0<4<+oo的先验。在(1.1)中由不同的时期/(Z)WO,log+N(/)=o有一个满足，那么f(z)和/(z+是线性无关的解。3 .主要结果的证明主要结果的证明的根底上8和15。定理1的证明让我们假设正弦/(Z)和/(z+2万)是线性无关的，引理1意味着F(Z)和/(z+4M必须是线性相关的。设E(Z)=/(z)(z+2万)，那么E(Z)满足微分方程i=居尸-2E(z)_UE(Z) E(z)2(2. 1)其中CHo是力和见12,p.5or1,p.354),且E(z+2就)=qE(z)或某些非零的常数q。显然，£/石和石/E是两个周期2加，而A(Z)是定义函数。在(2.1),E(z>也定期与周期2而。因此，我们可以找到一个解析函数中(G在0<图<+8,使EQ)?=(一)代入(2.1)得这种表达C2'3',，",、-4B()=-+-2(一)2+2-(2.2)42由于B(G和中(G在c*=G1<7<+4,理论21,p.15给出了他们的结论B(G=R(Gb(G，(G=L叫(GOC)，(2.3)其中，多是一些整数，R(G和K(G函数分析和c*u8上非零，*0和。(G是整函数。按照相同的8中，我们得出T(p,。)=N(R/¢)+T(p,b)+S(p,),(2.4)其中SS/)=O(TS,0),此外，以下结论由8得.(f)=e(E)=e(E2)=maxeE2AeJE2),2eJE2)=21()=2W,其中儿HE?)是定义为log+(r,lE2)z-Iog+NR(r,lE2)Iim(resp,hm),r÷x>r+oot定期二阶线性微分方程解的一些性质其中，/V(,1/E2)(resp.NJr,1/6)表示一个计数功能，只计算在右半平面的后心零点(在左半平面)，4()是在的C*零点收敛指数，它的定义为由条件区(f)<+,我们得至J的)V+80现在(2.3)代入(2.2)中(2.5)zl(A71-1)2111r;i2n1f2/?y/?yRfff2K»SRRl推论1的证明我们可以很容易地推导出定理1的推论1(一)推论1的证明(B)。假设力和&与儿(/)<他>线性无关，那么4")<内，我们证明推论1的结论(一)，力与z+2加)线性相关，J=1;2O假设E(Z)=E(Z)%(z),然后我们可以找到E(z+2力)=qE(z)的一个非零的常数Q，重复同样的论点定理1中使用的事实，EQ)?也是能找到，我们得到儿(石尸+82)一心2与82)勺/2自矛盾，因此人()=+°定理2的证明假设存在一个非平凡解的f在(1.1)中，满足log+N(/)=o。我们推断%()=0,/(Z)和f(z+2力)的线性依赖推论1(a).然而，引理2意味着f(z)和f(z+2但)是线性无关的。这是一对矛盾。因此bg+N(r,l)o(r),认为都有非平凡解的F在(LI)中，这就完成了定理2的证明。外文翻译译文：可控的无穷时滞中立型泛函微分方程摘要在这篇文章中，我们给一些偏中性无限时滞泛函微分方程的可控性的充分条件。我们假设线性局部不一定密集定义，但满足的Hiue-YoSida定理解估计。使用积分半群理论得到的结果。为了说明我们给出了一下抽象结论。关键词，可控性;积分半群;解决方法无穷极限一，引言在这篇文章中，我们建立一个关于可控的结果偏中性与无限时滞泛函微分方程的下面的类：Dxt=ADxt+CU(J)+F(r,M/>.Xo=e状态变量乩)在(石出)空间值和控制用()受理控制范围L2(0,TU),T>0的BanaCh空间，BanaCh空间。C是一个有界的线性算子从U到E,A：A:D（八）E->E上的线性算子,B是函数的映射相空间(-8,0在E,将在后面D是有界的线性算子从B到E为Qo是从B到E的线性算子有界，每个X:(-oo,T-E,T>O,和t0,T,Xt表示为像往常一样，从(映射-8,0到由E定义为F是一个E值非线性连续映射在火+×BoODE的代表在三维空间中的线性和非线性系统的可控性问题进行了广泛的研究。许多作者延长无限维系统的可控性概念，在BanaCh空间无限算子。到现在，也有很多关于这一主题的作品，看到的，例如，4,7,10,21o有许多方程可以无限延迟的研究2引为抽象的中性演化方程的书面。近年来，中立与无限时滞泛函微分方程理论在无限维度仍然是一个研究领域(见，例如，2,9,14,15和其中的参考文献)。同时，这种系统的可控性问题也受到许多数学家讨论可以看到的，例如，5,8。本文的目的是讨论方程的可控性。(1),其中线性局部是应该被非密集的定义，但满足的HiIIe-YoSida定理解估计。我们应当保证全局存在的条件，并给一些偏中性无限时滞泛函微分方程的可控性的充分条件。结果获得的积分半群理论和BanaCh不动点定理。此外，我们使用的整体解决方案的概念和我们不使用半群的理论分析。方程式，如无限时滞方程。1),我们需要引入相空间B.为了防止重复和了解的相空间的有趣的性质，假设是(半)赋范抽象线性空间函数的映射(8,0到E满足首次在口引介绍了以下的根本公理和广泛16进行了讨论。(一)存在一个正的常数H和功能K,M：况+9T连续与K和M,局部有界，例如，对于任何e员,如果X:(-oo,+a-E,X(TB和x(.)是在o,+A连续的，那么，每一个在T。，o+A,以下条件成立：(i) xt£B,(ii) x(t)Mk几，等同与HMb或者对伊(PSB(iii) M6Ka一)supx()+M(t-)xst(a)对于函数x(.)在A中，tt是B值连续函数在,+a.(b)空间B是封闭的整篇文章中，我们还假定算子A满足的Hille-Yosida条件：(1) 在和了况，(初+8)Up（八）和sup(2-ftJ),(/-A)一"k"N,4而M(2)设AO是算子的局部一个由D（八）定义为这是众所周知的，ZXA)=Q（八）和算子AO对于D（八）具有连续半群("(力N.)。回想一下，19所有XO（八）和片"(三)MsO(A°)。(ASTqG)SdS)+x=TO(r)x.我们还知道TO(三)XdSO(Ao)在。（八）,这是一个关于电子所产生的局部Lipschitz积分半群的衍生，按3,17,18,一个有界线性算子的E系列，满足(i) S(O)=0,(ii) foranyyE,tS(t)y判断为E,(iii) S(s)S(t)=£(S(r+r)-5(r)Jrforallt,s0,对于>0这里存在一个常数l()>0,s所以S(r)-SG)Il/(r)r-5或者t,S0,.CO-半群指数(S'Q)ho有界，即存在两个常数M和不，例如SQ)I阮初对所有的t20。一类非密集定义泛函微分方程的可控性12研究在有限的延误。2MainResults我们开始引入以下定义。定义1设T>0和6B.我们认为以下的定义。我们说一个函数X：=X：(-8,T)-E,0<T+,是一个方程的整体解决方程Eq.1. X在0,T)是连续的。2. f'DxsdsZ?（八）对于t0,T)JO3. Dxl=D+可:Dxsds+£CU(三)+F(s,xs)ds对于t0,T)4. Ma=对于所有t(-00,0.我们推断川和22式的整体解决方法。(1)给出了pB,Oef>（八）如以下结论Dxt=S,(t)D+Iimf5,(z-5)B2(Cm(5)+F(ly,x)0),小<-woJ(J)x(t)=(t),t(-,0,当当=(I-Aylo为了获得全局的存在性和唯一，我们应该在山中(H2)C(O)Do<l.(H3)E0,+8xBEi是连续的，存在夕o>O,所以F(fyx)-F(r,2)y0o-2forl,2B和tN0.(4)使用山定理7中，我们得到以下结论。定理1假设(Hl),(H2)(H3),o设<pB,这样D(PD（八）.o那么，存在一个独特的整数解x(.,M对于Eq.,。,定义在(-8,+8).。定义2在上述条件下，方程Eq.(l)被说成是在区间J=0,3,3>0,如果为每一个初始函数<pB,D（八）和任何elD（八）,存在可控一个控制UL2(J,U)的，这样的解x(.)的Eq.(1)满足XS)=%o定理2假设(Hl),(H2),(H3).x(.)式为整体解决方法在Eq.(1)中(-8,),>0。并假设(见20)的线性算子从W到U在D（八）定义为Wu=Iim£S,(-s)BCu(s)ds,(5)诱导可逆的算子，可存在L2(j,U)KerW正数Nl和N?满足以N和IWTlN2那么，Eq.(1)是可控的前提是在J(D0)+0Me7+0NlN2M2e72)Ks<1,(6)当KK:=maxK(J)()Z>证明以下1,当整体解决方案x(.)式。Eq.(l)存在于(-8,3),>0,这是对所有的t0,或者然后，一个任意整数解x(.)式。(1)在(-8,3),3>0,满足x(3)=el,当且仅当el=Z)OXb+S)D+fS(5)F(5,xv)6v+IimfS,(ts)BCu(s)ds(13J。-kx>Jo这意味着，使用(5),它足以采取对所有的tJ,以x(3)=el因此，我们必须采取上述控制，因此，证明是减少对所有的t10,的整体解的存在性为了不失一般性，假设方>Oo类似的论点，我们可以看到的z2ZM和t0,为K是IlDOIlK(O)<1连续的，>o足够小，这样我们可以选择IIDOlI+诚一+-M而<然后，P是一个严格的收缩在Z'3),和固定的P点给出了独特的不可分割的线上的x(.,(P)on(-°o,验证x()=el0注1假设所有D（八）从UW时的线性算子定义0a<bT,T>0,诱发可逆的算子W在HQ。,口,U)KerW,如存在正常数Nl和N2满足0N,同时IWTlM,5=R中N足够大，下面的川。上述证明的一个类似的说法可以使用"W5+1)M,1"N-1,看到Eq.(l)在0,T的所有T>0是可控的。附录1：外文翻译原文：SomePropertiesofSolutionsofPeriodicSecondOrderLinearDifferentialEquations1.IntroductionandmainresultsInthispaper,weshallassumethatthereaderisfamiliarwiththefundamentalresultsandtheStardardnotationsoftheNevanIinna1Svaluedistributiontheoryofmeromorphicfunctions12,14,16.Inaddition,wewillusethenotationcr(),(/)and(f)todenoterespectivelytheorderofgrowth,thelowerorderofgrowthandtheexponentofconvergenceofthezerosofameromorphicfunctionf,e(/)(see8),thee-typeorderoff(z),isdefinedtobeSimilarly,e(f),thee-typeexponentofconvergenceofthezerosofmeromorphicfunctionf,isdefinedtobeWesaythat(z)hasregularorderofgrowthifameromorphicfunctionf(z)satisfiesWeconsiderthesecondorderlineardifferentialequationWhereA(z)=B(ea)isaperiodicentirefunctionwithperiodco2m/a.Thecomplexoscillationtheoryof(1.1)wasfirstinvestigatedbyBankandLaine6.Studiesconcerning(1.1)haveeencarriedonandvariousoscillationtheoremshavebeenobtained(211,13,17(19.WhenA(z)isrationaline<c,BankandLaine6provedthefollowingtheoremTheoremALetA(z)=B(eaz)beaperiodicentirefunctionwithperiodCD=2u/Ctandrationalineaz.IfB()haspolesofoddorderatboth?=and=0,thenforeverysolution/(Z)(WO)of(1.1),2(7)=+8Bank5generalizedthisresult:Theaboveconclusionstillholdsifwejustsupposethatboth=and=OarepolesofB(),andatleastoneisofoddorder.Inaddition,thestrongerconclusionlog+N(r,lf)o(r)(1.2)holds.WhenA(z)istranscendentalineaz,Gao10provedthefollowingtheoremTheoremBLet3(7)=g(l/，)+,whereg(t)isatranscendentalentirefunctionwithb(g)<1,pisanoddpositiveintegerand/?p0,LetA(Z)=B(e').Thenanynon-triviasolutionfof(1.1)musthave()=+.Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.Anexamplewasgivenin10showingthatTheoremBdoesnotholdwhenb(g)isanypositiveinteger.Iftheorderb(g)>1,butisnotapositiveinteger,whatcanwesay?ChiangandGao8obtainedthefollowingtheoremsTheoremCLetA(z)=B(ecc),where8(。)=g(lG+g2O，gandg?areentirefunctionsg2transcendentaland(g2)notequaltoapositiveintegerorinfinity,andg1arbitrary.(i) Supposeb(g2)>l(a)Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)withef)<<(<g2)；thenf(z)and/(z+2m)arelinearlydependent,(b)If1and2areanytwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),thene(f)<(g2)(ii) Supposeb(g2)<l(a)Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)withe(f)<1,/(z)andf(z+2i)arelinearlydependent.Iflandf2areanytwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),theneff2)>.TheoremDLetg(,)beatranscendentalentirefunctionanditsorderbenotapositiveintegerorinfinity.LetA(Z)=8(ecc);where5(，)=g(l/4)+andpisanoddpositiveinteger.Thenf)=+00oreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.Exampleswerealsogivenin8showingthatTheoremDisnolongervalidwhenb(g)isinfinity.ThemainpurposeofthispaperistoimproveaboveresultsinthecasewhenBy)istranscendental.Specially,wefindaconditionunderwhichTheoremDstillholdsinthecasewhen(g)isapositiveintegerorinfinity.WewillprovethefollowingresultsinSection3.Theorem1LetA(z)=Beaz),where8(4)=g(1/7)+g2(?),g】andg2areentirefunctionswithg2transcendentaland(g2)notequaltoapositiveintegerorinfinity,andglarbitrary.IfSomepropertiesofsolutionsofperiodicsecondorderlineardifferentialequations/(Z)and/(z+2m)aretwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),thenOrWeremarkthattheconclusionofTheorem1remainsvalidifweassume(g1)isnotequaltoapositiveintegerorinfinity,andg2arbitraryandstillassumeB()=(1/)+g2(7)，Inthecasewhengistranscendentalwithitslowerordernotequaltoanintegerorinfinityandg2isarbitrary,weneedonlytoconsiderB*S)=3(1/rf)=g、S)+2(17)inO<77<+t<.Corollary1LetA(z)=B(eaz),whereB()=g(1/G+g2(G，gandareentirefunctionswithg2transcendentaland/.(g2)11morethan1/2,andarbitrary.(a) Iffisanon-trivialsolutionof(1.1)withe(/)<+00,thenf(z)and/(Z+2m)arelinearlydependent.(b) If1andf2areanytwolinearlyindependentsolutionsof(1.1),thene(ff2)=+0°.Theorem2Letg(?)beatranscendentalentirefunctionanditslowerorderbenomorethan1/2.LetA(z)=B(e'),whereB()=g(l/¢)+Z"7'andpisanoddpositiveinteger,then()=+foreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.WeremarkthattheaboveconclusionremainsvalidifWenotethatTheorem2generalizesTheoremDwhenb(g)isapositiveintegerorinfinitybutz(g)1/2.CombiningTheoremDwithTheorem2,wehaveCoroliary2Letg(0)beatranscendentalentirefunction.LetA(z)=Be")whereB()=g(l/?)+Z；Tbj4,andpisanoddpositiveinteger.Supposethateither(i)or(ii)belowholds:(i) b(g)isnotapositiveintegerorinfinity;(ii) 4(g)l2;then()=+foreachnon-trivialsolutionfto(1.1).Infact,thestrongerconclusion(1.2)holds.1.emmasfortheproofsofTheorems1.emma1(7J)Supposethatk2andthatA0,.Ak_2areentirefunctionsofperiod2m,andthatfisanon-trivialsolutionofSupposefurtherthatfsatisfieslog+N(r,l/)=o(r);thatA0isnon-constantandrationalineztandthatif3,thenA1,.Ak_2areconstants.Thenthereexistsanintegerqwith<qksuchthatf(z)andf(z+q2i)arelinearlydependent.ThesameconclusionholdsifA0istranscendentalinez>andfsatisfieslog*N(r,lf)=o(r),andifR3,thenasr>throughasetL1ofinfinitemeasure,wehaveT(r,Aj)=O(T(r,Aj)forj=1,.k2.1.emma2(10)LetA(z)=B(eaz)beaperiodicentirefunctionwithperiodco=2maxandbetranscendentalineaz,B()istranscendentalandanalyticonO<<+.IfB(GhaSapoleofoddorderat7=8or，=0(includingthosewhichcanbechangedintothiscasebyvaryingtheperiodofA(Z)andEq.(1.(1) hasasolution/(z)0whichsatisfiesIog+/V(*,l/f)=o(r),then/(z)andf(z+co)arelinearlyindependent.2. ProofsofmainresultsTheproofofmainresultsarebasedon8and15.ProofofTheorem1LetUSassumee(/)<+.Since/(z)and/(z+2m)arelinearlyindependent,1.emma1impliesthat/(Z)and/(z+4z)mustbelinearlydependent.1.etE(z)=f(z)f(z+2a),ThenE(z)satisfiesthedifferentialequation4A(z) = (E(z)E(Z)E(z)2(2.1)Wherec0istheWronskianof1andf2(see12,p.5or1,p.354),andE(z+2m)=ciE(z)orsomenon-zeroconstantC1.Clearly,Er/EandE"/Earebothperiodicfunctionswithperiod2m,whileA(z)isperiodicbydefinition.Hence(2.1)showsthatE(z)2isalsoperiodicwithperiod2,Thuswecanfindananalyticfunction()inO<<<+8,sothatE(z)2=(ez)Substitutingthisexpressioninto(2.1)yields(2.2)C2,3'，、"-4以7)=a+-产币厂+7万SincebothB()and(GareanalyticinC*=，：1<,<÷oc,theValirontheory21,p.15givestheirrepresentationsasB(G='lR()b),(G=1Rl«w)，(2.3)wheren,1aresomeintegers,R(GandRI(Garefunctionsthatareanalyticandnon-vanishingonC*<j，b()and0(Gareentirefunctions.Followingthesameargumentsasusedin8,wehave(24)T(p,)=N(p,)+TgbS(PM,where5(p,)=o(T(p,),Furthermore,thefollowingpropertieshold8(/)=-(E)=-(E2)=max-R(E2),-JE2)-R(E2)=4(一),WhereAeR(E)(resp,AeL(E2)isdefinedtobelog+Vr,lE2)log÷(r,lE2)m(resp,hm),r+oor4oo丁SomepropertiesofsolutionsofperiodicsecondorderlineardifferentialequationswhereNR(r,l/E)(resp.Nl(7',1iE)denotesacountingfunctionthatonlycountsthezerosofE(z)2intheright-halfplane(resp.intheleft-halfplane),l()istheexponentofconvergenceofthezerosofinC*,whichisdefinedtobeRecalltheconditiont,()<+,weobtain()<+.Nowsubstituting(2.3)into(2.2)yields(2.5)zl(A71-I)2111r;i2n1f12/?y/?yRfff2K»SReRlProofofCorollary1WecaneasilydeduceCorollary1(a)fromTheorem1.ProofofCorollary1(b).Supposeandf2arelinearlyindependentande(l2)<+oo,thene()<+,andt,(2)<+.WededucefromtheconclusionofCorollaryI(a)thatfj(z)andfj(z+2ri)arelinearlydependent,j=1;2.LetE(Z)=fl(z)f2(z).Thenwecanfindanon-zeroconstantC2suchthatE(Z+2疝)=C2E(z).RepeatingthesameargumentsasusedinTheorem1byusingthefactthatE(Z)“isalsoperiodic