现代控制理论习题解答(前五章).docx

第一章控制系统的状态空间描述3-1-1求图示网络的状态空间表达式，选取人和“为状态变量。(1)题3-1-1图1(2)题3-1-1图2【解】：(1)设状态变量：X=Uc、×2=Uc2而G=GmcI'，2=。2uc2根据基尔霍夫定律得：整理得(2)设状态变量：X=lL、X2=Uc而根据基尔霍夫定律得：整理得3-1-2如下图电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压，J输出为电动机角速度3,电动机轴上阻尼系数为3转动惯量J,试列写状态方程和输出方程。题3-1-2图【解】：设状态变量为：其中J为流过电感上的电流，。电动机轴上的角速度。电动机电枢回路的电压方程为：4为电动机反电势。电动机力矩平衡方程为由电磁力矩和反电势的关系，有eb=ce,MD=CMia式中Ce为电动机反电势系数，CM为电动机的转矩系数。/为电动机轴上粘性摩擦系数，/电动机轴上等效转动惯量。整理得(注：解是非唯一的)3-1-3试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。(1)题3-1-3图1题3-1-3图2【解工(1)如题3-1-3图3设状态变量题3-1-3图3写成矩阵的形式得：(2)如图题3-1-3图4设状态变量题3-1-3图4写成矩阵的形式得：(注：此题解并非唯一的)3-1-4系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。(1)y+2y+4y+6y=2uy+ly+3y=u+2u(3) y+5y+4y+ly=ii+3u+2u(4) y<4)+3y+2y=-3«+u【解】：在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。(1)传递函数为：状态空间表达式为：(2)传递函数为：状态空间表达式为：(3)传递函数为：状态空间表达式为：(4)传递函数为：状态空间表达式为：3-1-5系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。2)C16/s+5÷1/1"s+3s+111JG(三)=-512)G(s)=-S+6s+1Ly÷÷6S+5s+6(Q1re4/iZ-Vc/+25+33JG(三)=(4JG(三)-2s(s+1)2(s+3)53+352+35+1【解】：此题多解，般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。结构图如图题3-1-5图1所示题3-1-5图1rc、？+3S+1.v2+55+6-25-5125+5G(三)=-=2=1-2S+5s+6s+Ss+6s+5s+6结构图如图题3-1-5图2(a)所示题3-1-5图2(a)或有结构图如图题3-1-5图2(b)所示题3-1-5图2(b)(3)结构图如图题3-1-5图3所示题3-1-5图3(4)结构图如图题3-1-5图4所示题3-1-5图43-1-6将以下状态方程化成对角标准型。(1)X=01-5-6.r+0"1KX=-010'302-12-7-6X+-23'1571U(3)Jt=-010-001-6-11-6a【解工(1)特征方程为:D（八）=A2+6+5=(+1)(+5)=O。特征值为：系统矩阵A为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为范德蒙矩阵。变换阵：线性变换后的状态方程为：特征方程为:特征值为：j=-1»二-2,右=一3©设变换阵：P=%当%尸22&生一&_由(4-A)4=0得-1-10-%四'当4=T时，-3-1-2P2i=0取4=%=-112751J3IL-2-10'>1222'当益=-2时，-3-2-2P22=0取5=P22=-41274号LJL1.-3-10'一生叫1"当&=_3时，-3-3-2P23=0取鸟=%=-31273-自3_%-3_121P =-1-4-3-113P-I-4.5 2.5=-3 -2 -12.5 1.5 1变换阵:线性变换后的状态方程为:(3)特征方程为：D(2)=3+62+11+6=(+1)(2+2)(4+3)=0特征值为:4=-1,2=-2¾3=-3©系统矩阵4为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为：线性变换后的状态空间表达式为：3-1-7将以下状态方程化成约旦标准型。(1)X=-211-2.r+(1)特征方程为:特征值为：4二-1,2=-30设变换阵：PPn.P2尸12222由(即-A*=O得:当4=T时,-,1¾当；l2=-3时,:假卜。取人1-1111-10.50.50.5-0.5线性变换后的状态空间表达式为:(2)特征方程为：特征值为：=A2=3,3=1©设变换阵：当4 =3时，由(4-A)6=0得:,取 PI =当/I2=3时，由CV-A)=-勺得:-3当I3=I时，由(l-A)乃=O得：-1-1-112F,3-2P23-21¾°=0,取八=2变换阵:2-2-1110P=102101线性变换后的状态空间表达式为：(3)特征方程为：D()=3-42+5-2=-l)2-2)=0,特征值为:4=A2=1,3=2O系统矩阵A为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵产变换阵:线性变换后的状态空间表达式为:状态空间表达式，X=-21O-0-30O1-4X+-1-1'142-3U3-1-8(1)试用I=PTX进行线性变换，变换矩阵PT=1O(O20001求变换后的状态空间表达式。(2)试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。【解】：（1）证明：变换后的系统矩阵为彳=PTAP,输入矩阵为占=PTB特征值的不变性：传递函数矩阵的不变性：验证：变换前的特征方程为：变换后的特征方程为：所以变换前后系统的特征值是不变的。3-1-9两个子系统的传递函数矩阵分别为G1Cs)=115+15+2O1S.，G2（V）=115+35+10.5+1.,试求两子系统串联后和并联后的传递函数矩阵。【解】：（1）串联GIG）在前，Gz（s）在后时G2"）在前，G（s）在后时（2） 并联3-1-10离散系统的差分方程为），伏+3）+3y（左+2）+5），优+l）+y（Q="（2+l）+2伙）,求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。【解】：根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为G(Z) =z + 2z3 +3z2 +5z + 1其结构图如图题3-1-10图所示:题3-1-10图3-1-U离散系统的状态空间表达式为卜弓+?=伙），X2k+1）J3LX2（k）Ll,求系统的脉冲传递函数。【解工也可以直接写出。3-1-12系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。(1«12z2+z+2G(Z)=-；z3+6z+1lz+6(2)G(z)=-z3+4z2+5z+2【解】：以下解法供参此题多解，般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型,考。(1)第二章状态空间表达式的解【解工 特征值为：4 =A2=LA3 =2。由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为1 () -O 2 -1'P =1 1 2,PT =-2 3 -11 2 41 -2 1线性变换后的系统矩阵为：(5)为结构四重根的约旦标准型。(6)虽然特征值相同，但对应着两个约当块。三J=L-,(5-)-,=L-,3-2-2系统的状态方程和初始条件(1)用IaPlaCe法求状态转移矩阵;(2)用化标准型法求状态转移矩阵;(3)用化有限项法求状态转移矩阵;(4)求齐次状态方程的解。【解】：(1)(2)特征方程为：特征值为：由于2=1,所以4对应的广义特征向量的阶数为1。求满足(4/-A=O的解B,得：0 00 1 =0, P1 = 0再根据(4/-4)乃=0,且保证6、尸2线性无关，解得:对于当=2的特征向量，由(4/-A)玛=0容易求得：所以变换阵为：p=pP2P3=()1(),P-I=010线性变换后的系统矩阵为:特征值为:(4)3-2-3试判断以下矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。'1OO(1)(0=OsintCOSZ修尸O-costsinI1(3)=2e,-e2t-2e,+2e2te,-e2t-et+2e2r(4)Q)='.5e-,+0.5e3t-0.25e-z+0.25e3f"-e,+e3t0.5e,+O.5e3z【解工(1)不满足状态转移矩阵的条件。(2)，满足状态转移矩阵的条件。由()=A(r),得(0)=A(O)=Ao/. (r)=0O(3)，满足状态转移矩阵的条件。(4)，满足状态转移矩阵的条件。3-2-4线性时变系统为*1L,试求系统的状态转移矩阵。1-It"一 2fli取Ad)=.L 1 -2r【解工线性定常系统的状态方程为X=-O1"-2-3X+0'1，初始条件为MO)=1-1试求A(Z2)=-2,21得：A(r1)*A(Z2)=A(r2)*A(Z1)输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】：-n1,一3-2-6线性定常系统的状态空间表达式为、=y=l2jx,状态的56J10初始条件为X(O)=；，输入量为(r)=e-'(/0),试求系统的输出响应。【解】：3-2-7线性定常系统的齐次方程为、=AXv),当x()=1时，状态方程的解为-2Mf)="2,；而当X(O)=时，状态方程的解为X")="t，试求：-2e-2,J-IJL-e"系统的状态转移矩阵中；(2)系统的系数矩阵A。【解工-22=e2t»。21-"22=-2e“2=e,»21-22=e,3-2-8线性时变系统为、=X,x(0)=I,试求系统状态方程的解。0rj_1_【解】：对任意时间t和t2有AG)=：,(t2)=:得：A(r1)*A(r2)A(2)*A()所以有第三章线性控制系统的能控性和能观性3-3-1判断以下系统的状态能控性。(1)A=.B=(2)A=-1Oj0_010-001-2-4-3,B="10"01-11【解工(1)Uc=bAB=:1,rankUc=n=2,所以系统完全能控。(2)前三列已经可使m成=3,所以系统完全能控(后续列元素不必计算)。(3)力为约旦标准型，且第一个约旦块对应的8阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。1444可以求一下能控判别阵。rankUc=2f所以系统不完全能312A13I控。3-3-2判断以下系统的输出能控性。(1)，X=y='-310'0-3000-1101-X-110X+1-1-0020010o'/、X=001x+0w(2)-6-11-6j|_1y=l0Ojr【解工(1)1O1OOA=O-3O.B=OO,C=,D=八八-11OOOOO-1J2OJLlj前两列已经使用左。CBCABCA2=m=2,所以系统输出能控。(2)系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵。满秩，且输出维数加小于状态维数，所以状态能控那么输出必然能控。2-3-3判断以下系统的能观性。010c 土 =X L1 0J ;y= 1 Iki=001(1)-2-4-3。1-H【解工(1)前三行已使mnkV0=3,所以系统完全能观(后续元素不必计算)。(2)所以系统完全能观。(3)状态空间表达式为约旦标准型，且。阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。(4)状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求所以系统不完全能观。3-3-4设系统状态方程为、=Ar+&,假设七、七是系统的能控状态，试证状态”+分2也是能控的(其中。、万为任意常数)。【解】：设：因为，状态q和小能控，所以至少有ranlBABA,l=2o而由系统输出能控的判别阵得：SdceCABCA2=rank(cABAAlM=1,(C阵又满秩)。所以y=Cv=心"卜一定是能控的。3-3-5设系统口和£2的状态空间表达式为(1)试分析系统W和£2的能控性和能观性，并写出传递函数；(2)试分析由和乙组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；(3)试分析由和½组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。【解】：(1)两个子系统既能控又能观。(2)以系统1在前系统2在后构成串联系统为例(串联顺序变化状态空间表达式不同,又都是SlSO系统，传递函数相同)：系统有下关系成立：%="，U2=Ji>y=y2串联后的系统不能控但能观。传递函数为：(3)并联后的系统数学模型为：系统有下关系成立：«1=U2=u>y=yi+y2并联后的状态空间表达式为：并联后系统既能控又能观。传递函数为：3-3-6系统的传递函数为G(三)=-J-于?+IOs2+27s+18(1)试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；(2)在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。【解】：系统的传递函数可以写成：(1)当=L3,6时，系统传递函数出现零极点对消现象，那么系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。(2)在上述。的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为：(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为：3-3-7系统的状态空间表达式为试问能否选择常数。、反。使系统具有能控性和能观性。【解】：在上述行列式中，无论。、b、C如何取值，都有两行元素线性相关，那么IUJ=0,rankUc=2。在上述行列式中，无论4、6、C如何取值，都有两列元素线性相关，那么NOl=0,mnkV(i=2。所以，无论常数。、6、C取何值，系统都不能控和不能观。3-3-8系统的结构如题3-3-8图所示，图中a、Ac、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时。、氏。、d应满足的条件。题3-3-8图(«1:系统状态空间表达式为：系统能控的条件为：Uc=hAh=；Uc=-d-h+a-c0o系统能观的条件为:3-3-9设系统Z(A,C)的系数矩阵为其中外,2，。3，。1为实数。试问系统Z(A,C)能观的充要条件是什么？要求用小C中的参数具体表示。【解】：3-3-10系统的状态空间表达式为欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数b,b2,ci,C2应满足的关系。【解】：力为友矩阵，且特征值互异，所以显然，当状态£既能控又能观，而状态再既不能控又不能观的条件是：当状态X1既能控又能观，而状态X2既不能控又不能观的条件是：3-3-11设n阶系统的状态空间表达式为试证：(1)假设=0,CAb=O,CJfb=O,cr,b=,那么系统不能同时满足能控性和能观性条件。(2)如果满足6=0,CAb=O,C代b=O,CATb=0,?工0那么系统总是又能控又能观的。【解】：(1)以三阶系统为例：所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。(2)以三阶系统为例：所以该系统既能控又能观。3-3-12系统的微分方程为9+6+1»+6)，=8，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。【解工因为G对隅=b(sl-ArY'C=C(sl-A)-lbr=G原系统)又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。能控标准型为：能观标准型为：3-3-13系统的状态方程为A =-1 01 -2A' +，试求出它的能控标准型。【解工UC,rankUc = 1 < = 2。所以系统不能控，不存在能控标准型。3-3-14系统的状态空间表达式为U'=-2 4了试求出它的能观标准型。-1 «1：判系统的能观性：所以系统能观。方法之一：求变换阵设X=Ti元对原状态空间表达式做线性变换得:方法之二：依据特征多项式AS)=W-耳=$2一5$+4直接可以写出能观标准型的/1,。阵。0 -41 5,C = () lo3-3-15系统传递函数为G(三)=Sr6$+8,试求能控标准型和能观标准型。s+4s+3【解工系统的传递函数可以写成：传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。能控标准型为：能观标准型为：3-3-16完全能控系统的状态方程为、=x(k + 1) =cosT sinT-sinT cosT*&) +l-cosTsinT0 1-1 0“，试问与它相应的离散化方程Mk)是否一定能控。【解工x(k + 1) =cosT sinT-sinT COST人伏)+I-CosTsinT(&)，离散系统完全能控的条件为MC矩阵满秩。而场平G昨二°；一：:沈：£：；"，所以系统是否能控，取决于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。当THQr(%=12)时，m"k(')=2离散化方程也是能控的。3-3-17试将以下系统分别按能控性、能观性进行结构分解。(1)按能控性进行结构分解所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵O -1 OO O 11 3 O3O1Tx=-10()010按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为:按能观性进行结构分解所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵尸0一二1 -1 11 -3 21 0 00-1-11-1-2按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：按能控性进行结构分解所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：按能观性进行结构分解所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵尸0一二按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：3-3-18试将以下系统分别按能控性和能观性进行结构分解。'OOOlo-2-3000r.(1) A=,b=LC=3010；1 0-201lJ-4-24121C = l 1 2 O【解工(1)系统的特征方程为：化为对角标准型，其变换阵为：化成对角标准型为：可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。其中后为能控能观的状态变量/。；K为能控不能观的状态变量X而；元4为不能控能观的状态变量与°而为不能控不能观的状态变量X石将上述方程按X,。，X3,与。，X面的顺序排列，那么有：或写成系统既能控又能观，无需分解。3-3-19系统的微分方程为很+4+3y=试分别求出满足以下要求的状态空间表达式：(1)系统为能控能观的对角标准型；(2)系统为能控不能观的；(3)系统为能观不能控；(4)系统为不能控也不能观的。【解】：GG) =2s + 552 +45 + 311.50.51+1=+1s+1s+3传递函数无零极点对消，那么原系统既能控又能观。设：人为增加一对偶极子，得：系统能控不能观的状态空间表达式为：系统能观不能控的状态空间表达式为：系统既不能控又不能观的状态空间表达式为:3-3-20系统的状态空间表达式为,利用线性变换元= 7,1O1其中T=OO-I,对系统进行结构分解。试答复以下问题:O11不能控但能观的状态变量以匹，X2,心的线性组合表示；能控且能观的状态变量以为，-2,冷的线性组合表示；(3)试求这个系统的传递函数。【解】：线性变换后系统的状态空间表达式为：系统的特征方程为：将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：0-10.5'-4-61P=010,X=010122_220约当标准型为：彳为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态后不能控。因为：x=Tx,x=Ffx所以不能控但能观的状态变量后=-4七+必+33能控且能观的状态变量可 .x2OO-I线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的局部即最小实现求传递函数：$+33-3-21系统的传递函数矩阵为G(S) =(5+1)(5+2)5+47+3(1)求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；(2)求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；(3)用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。【解】：能控标准型为：系统状态图如题3-3-21图1所示。题3-3-21图1能观标准型为：系统状态图如图题3-3-21图2所示。题3-3-21图2对角标准型为：设：系统状态图如题3-3-21图3所示。题3-3-21图33-3-22系统的微分方程为口+2力+%+力=&+2，试求该系统的最小实现。IyI+力+力+，2="1一“2(2)【解】：由(1)式-(2)式和2X(2)式-(1)式得：在零初始条件下，拉氏变换得：系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。3-3-23从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明以下图题3323图中闭环系统£的能控性与能观性和开环系统的能控性与能观性是致的。题3-3-23图【解】：设开环系统的传递函数为GOG)="2,那么开环系统能控且能观的条件是无零O(三)极点对消，即M(三)和D(三)无公因子。而闭环系统的传递函数为GG)=-M(SL。M(三)+。(三)开环系统传递函数GO(三)有零极点对消时，M(三)和Z)(三)有公因子，设为(s+a),那么闭环系统传递函数GG)=匕士印”；也有零极点对消,所以闭环系统E的(s+O)(M'(s)+D'(s)能控性与能观性和开环系统EO的能控性与能观性是一致的。开环系统传递函数GO(三)没有零极点对消时，M(三)和Z)(三)没有公因子，那么闭环系统传递函数GG)=-也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统EM(5)+O(三)的能控性与能观性和开环系统Eo的能控性与能观性也是一致的。第四章控制系统的稳定性3-4-1试确定以下二次型是否正定。(1) v(x)=2+4x22+32+2x1t2-6x3X2-2143(2) v(x)=-x12-IOx22-4x32+6x1x2+2x3x2(3) v(x)=10xl2+422+巧+2JVlX2-32xx3【解工(1)二次型函数不定。(2)二次型函数为负定。(3)二次型函数正定。3-4-2试确定以下二次型为正定时，待定常数的取值范围。【解】：满足正定的条件为：3-4-3试用李亚普诺夫第二法判断以下线性系统的稳定性。【解】：(1)设)=1i1+X2X2=西通-X1X2-2=-22；：二：；为半负定。又因为WX)三0时，有42三0，那么才2三0，代入状态方程得：X1三0.所以系统在XWO时，WX)不恒为零。那么系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。设尸负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。(3)设P负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。所以系统不稳定。3-4-4试确定以下系统平衡状态的稳定性。【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。方法二：采用第二方法,'130G=-3-2-3100设1().5().5因为1>0,1°5=0.75>0,0.510.510=0.5>0,所以尸正定。0.501v(x)=xPx正定。84.57因为8>0,84.5=27.75>0,4.561.5=4.5>04.5671.58所以尸正定。黄幻为正定，所以系统在原点不稳定。3-4-5设离散系统状态方程为x(2+D=0100010-01.2J-()k>0,求平衡点Xe=O渐近稳定时k值范围。【解工方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。±0.52k<l=>0<<2时平衡点渐近稳定。方法二：v(x)=xPx正定。令PlIPvI尸13Q=GTPG-P,设尸=P12P22P23书3。23-所以夕为正定，那么124-212-l>0= ()<A <2时系统渐近稳定。4一小>03-4-6设系统的状态方程为：0-2,试求这个系统的李亚普诺夫函数,然后再求从封闭曲线V(X)=100边界上的一点到封闭曲线Va)=O.05内一点的响应时间上限。【解】：令求矩阵P,即所以李氏函数为：那么A1=2.3062,A2=0.69383-4-7试确定以下非线性系统在原点处的稳定性。【解】：(1)采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：系统的两个特征值均在右半平面，那么系统在平衡点附近不稳定。(2)采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：系统的两个特征值都在左半平面，那么系统在平衡点附近渐近稳定。3-4-8试确定以下非线性系统在原点处稳定时的参数。、8的取值范围(其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零)。【解】：结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是大于0,匕任意(同时还需满足题目要求)。3-4-9试证明系统J"=M在四>0,。2>0时是全局渐近稳定的。X2=axla2xx2【解】：求平衡点：设结论例>0，贝K)正定；02>0,D(X)负定，系统渐近稳定。因为IM=>8时，v()=0.51i2+0.5x22=>,所以系统又是大范围渐近稳定。3-4H0试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点与=O处为大范围渐近稳定时,参数。和b的取值范围。【解】：令系统在Xe=O处渐近稳定的条件是WX）负定。而WX）负定的条件为:大范围渐近稳定的条件是：而=>OO时,V(X)=(axl+x2)2+(x2+娱)2=>co1 -1 + 3bx2所以系统大范围渐近稳定的条件是："0,:1L2=-a+3abx22->03-4-11试用变量-梯度法构成下述非线性系统的李氏函数。【解】：求平衡点：设假设选满足旋度方程条件O(X)=-X(1-2x1a2)-x22O当XlX2V05时，v()负定当x2<05时，系统在平衡点渐近稳定。3-4-12设非线性系统方程为试求系统原点勺=O稳定的充分条件。«:由第一法，稳定条件为:一名十竺<0,逅<0dvxix2由克拉索夫斯基法V（X）=为正定。时渐近稳定。3-4-13试用阿依捷尔曼法分析以下非线性系统在原点七=O处的稳定性。结构如题3-4-13图所示。题343图【解工当输入为零时，非线性系统方程可以写成假设取状态变量：x=e,“2=1,那么系统的状态方程为：在&=0处将非，线性环节输入-输出特性用一直线近似尸(e)=依，取2=1那么线性化状态方程为：(2)取二次型函数作为系统的李氏函数，那么有v(x)=XPx，v(x)=-xQx得至IJp =1.5 0.50.5 1v() = 15« +X1X2 +-x2 为正定。当-&<0,4-(女-1)2>0时0(%)为负定，从而求得0.382v&<2.618时系统稳定，即只要非线性环节的曲线在0.38次和2.61在范围内变化，原非线性控制系统就是大范围渐近稳定的。3-4-14以下是描述两种生物个数的瓦尔特拉(bolterea)方程式中七，M分别表示两种生物的个数。OA/b为非零实数。>0，内>0，<0,/<0O(1)确定系统的平衡点。(2)在平衡点附近线性化，并讨论平衡点的稳定性。【解】：(1)得到平衡状态：线性化俨=9+像2闷+%”2X2=2e+(r+e)2对于平衡点:±2=/2特征值为：因为>0,”0所以竹<?，由第一法，系统不稳定。2>0对于平衡点：% =- Sa特征值为：因为a>0,r<0,A1,a为纯虚数，由第一法，无法确定系统的稳定性。(7+)x2a+x2(r+vj)dX (a + x1 )x,CiXC或3InX2+)-(VInx1+<5v1)=三const其轨迹图如图题3-4-14图所示题3-4-14图?为不稳定的平衡点。08为稳定的平衡点。a:3-4-15试求以下非线性微分方程的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并判断平衡点是否稳定。【解工求平衡点：线性化方程对于平衡点特征方程为2。+1)+1=0,特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。对于平衡点特征方程为=有一个特征根在右半平面，所以系统不稳定。3-4-16非线性系统状态方程为M=M>0试确定平衡状态的稳定性。X2=(l+2)x【解工求平衡点：线性化方程为：特征方程为(+)+l=O0时特征根都在左半平面，所以系统为渐近稳定。3-4T7非线性系统状态方程为二"试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。必=-勺-X2【解工设v(x) = xPx，Pll &2222令Q=T，那么WX)为负定。因为-y+T12+i>O,6x1222而年方卡11_6a12 6x12÷÷24>,正定,所以系统在原点处渐近稳定。忖卜府+X2278时，所以在原点大范围渐近稳定。3-4-18试用变量梯度法构造以下系统的李雅普诺夫函数。X2=%(f)X+a2(t)x2【解工设假设选次Yavv2C那么=al="21=。OX满足旋度方程条件v(a:)=2(r)x22O当2。)<0时，WX)为半负定。fX(X2=)M2(vI=)79血V(X)=I-%(r)XdX+Ix->Jx->=-0.51()x+O.5x2。JOJo那么当(/)<0时贝x)为正定。且当同8时，v(x)=-0.5(z)12+0.5所以当1%")<?时，系统在原点大范围渐近稳定。h2(0<0第五章状态反应和状态观测器3-5-1系统结构图如图题3-5-1图所示。(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反应矩阵，将闭环极点特征值配置在-3±5/上。题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：系统能控，可