第03讲不等关系与一元二次不等式（教师版）.docx

第3讲不等关系与一元二次不等式思维导图题型1：不等式的性质及应用懑型2:一元二次不等式的解法考向1：不含参数的一元二欠不等式考向2：含参数的一元二次不等式不等关系与一元二次不等式题型3: 一元二次不等式的恒成立问题考向1 ：在R上的恒成立问题考向2:在给定区间上的恒成立问超误用不等式的相乘性致式求范围错用不等式的加法原理致误常见误区忽略二次顼的系数符号致误对参数的讨论忽略二次项系数为。的情况致误知识梳理I.两个实数比较大小的依据()a-b>Oa>b.(2)a-b=0>a=b.(3)a-b<O,a<b.2.不等式的性质(1)对称性：a>b=b<a;(2)传递性：a>b,b>c>a>c;(3)可加性：>5a+c>h+c;a>b,c>d=>+c>b+d;(4)可乘性：a>b,c>0=>ac>bc;a>b>0,c>d>0=fac>bd;(5)可乘方性：a>b>Oan>b,n三N,21)；(6)可开方性：>>0=>缶>第(，?GN,22).3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式=tr-4acJ>0/=OJ<0二次函数y=0r2+bx+4IZc(>0)的图象×11×2×O=x2i一元二次方程OV2+bx+c有两相异有两相等实没有=0(4>0)的根实根XI，根Xl=Xl实数根X2(X<X2)h=2aar2÷Z>x+c>O(G>0)的解集x,r<r或x>x2x)jrRar2+6x+cy()3>0)的解集xlx1<x<r2)00核心素养分析用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。题型归纳题型1不等式的性质及应用【例1-1】（2020春湖北期中）下列命题中，正确的是（）A.若ac<bc,则vB.若a>b,c>d,则改>匕dC.若a>b>0,则a?。？D.若avb,c<d,则acvA>-d【分析】根据不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可.【解答】解：对于A,由ac<c,c>0时，a<b,c<0时，a>b,所以A错误；对于8,当a>力>0,c>d>O时，有ac>bd,所以B错误；对于C,当a>力>0时，有a2>所以C正确；对于由avb,c<dt得出dvc,所以advbc,O错误.故选：C【跟踪训练I-1】（2020玉溪二模）若OVbVaV1,c>l,则（）A.ae<beB.ahl<hdC.logc>logfrcD.aogac>boghc【分析】分别根据第函数指数函数对数函数的单调性，可以排除A8，问题得以解决.【解答】解：O<b<a<»c>l,y=x"（a>0）在（0,+oo）为增函数，可得"'</；A错:.ac-l>bc-if:.ba(>abc.故B对，.O>logfec>logrtc,故C错误，-logflc>-logfrc>0.a>b>0t.,.-aloguc>-blogz,c即alogr,c<blogz,c,D错误.故选：B.【名师指导】比校大小的方法(1)作差法，其步骤：作差=变形=判断差与。的大小=得出结论.(2)作商法，其步骤：作商=变形=判断商与1的大小=得出结论.(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小.(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论.题型2一元二次不等式的解法【例2-1】(2019秋河东区期中)不等式8/-6x+lVO的解集为.【分析】不等式化为(2f(4x-l)v0,求出解集即可.【解答】解:不等式8x2-6x+lVO可化为(21)(41)<0,解得<文<_,42所以不等式的解集为xLxJ.42故答案为：x,VXVL.42【例2-2(2019杭州模拟)求不等式12-r>2(eR)的解集.【分析】根据a的取值分类讨论.【解答】原不等式可化为12r-r-o2>0,即(4x+A)(3-)>0,令(4x+4)(3-4)=0,解得内=一/x2y当心0时，不等式的解集为(-8,一gug,÷<×>):当=0时，不等式的解集为(一8,O)U(O,+):当<0时，不等式的解集为(-8,§u(东+8)【跟踪训练2-1】(2020春启东市校级月考)一元二次不等式2+x-6.0的解集为()A.(-,-2-»+0°)B.(-,J2,+)33C.-2,-D.-,222【分析】一元二次不等式化为(x+2)(2x-3).0,求出解集即可.【解答】解：一元二次不等式2f+-6.0可化为(x+2)(2x-3).0,解得不，2或4一，2所以原不等式的解集为(-co,-2U【|，)故选：A.【跟踪训练2-2】(2019秋嘉兴期末)已知不等式以2+版+c>0的解集是x<x<0,a>0,则不等式CX2+6x+>0的解集是()a.(11)B.(cof)kJ(,+oo)aaC.(a,)D.(-oo,alJ(+°o)【分析】根据不等式加+6x+c>0的解集得出,是一元二次方程ox?+云+c=o的实数根，得出夕和?的关系，把不等式52+法+v化为MX2-(+夕)x+l>0,求出解集即可【解答】解：不等式Or2+b+c>O的解集是<<6(>0),则a,夕是一元二次方程0r2+加+C=O的实数根，且v;CbCC.+尸=，ct=；aa二.不等式cr2+Zzr+a>Ot-x2+x+l<0»aa:.ax1一(+)x+1<0；化为(ax-1)(/-1)<0；乂OvaV夕，/.>>0；aB不等式ex?+bx+<0的解集为：xI,<%<，a故选：A.【名师指导】1 .解一元二次不等式的4个步骤囹一电示每天主形为三灰场索薮天手琴曲标湘舷太向一；i陷莅而到证FLj.,1对应的一元二次方程的根或根据判别式说明二方程布没有实根一再而”大手©丽五:加宇成市面,荀i标号澡二2 .解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式/与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集.题型3一元二次不等式的恒成立或有解问题【例3-1(2020一卷模拟)已知关于X的不等式0r2-2x+3<0在(0,2上有解，则实数。的取值范围是()A.(,-)B.(,-)C.(,+)D.(,+)【分析】由题意不等式化为公+的<2,讨论4=0、4>0和v时，分别求出不等式成立时。的取值范围X即可.【解答】解：x(0,2时，不等式可化为火+如<2；X当=O时，不等式为Ov2,满足题意；当>O时，不等式化为x+3<2,Xa则:>2后=26,当且仅当x=6时取等号，所以<也，即0<“<虫；33Q9当<0时，X+>恒成立；Xa综上知，实数的取值范围是（-co,弓）.故选：A.【例3-2（2018秋凌源市期末）不等式f一日+>o对任意实数上都成立，则实数%的取值范围是.【分析】设y=/一履+1,将不等式恒成立的问题转化为函数），=/一日+1图象始终在X轴上方，进而根据判别式处理即可.【解答】解：依题意，设y=-丘+1,因为不等式x2-itr+l>O对任意实数X都成立，所以=公一4<0,解得4（-2,2）,故答案为：（-2,2）.【跟踪训练3-1（2020春湖北期中）若关于X的不等式如2+如+,0的解集为0,则实数。的取值范围是（）A.0,4B.（0,4）C.（-co,0（4,+oo）D.0,4）【分析】对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为。时，把解集为0化为所对应图象均在X轴上方，列出满足的条件即可求实数。的取值范围.【解答】解：当a=0时，不等式化为L,0,解集为空集，符合要求；当。工0时，因为关于X的不等式演+如+1,0的解集为0,即所对应图象均在X轴上方，,a>0-I=a2-4a<0,解得Ova<4；综上，满足要求的实数的取值范围是0,4）.故选：【跟踪训练3-2】（2019秋崇川区校级月考）关于K的不等式2+0r-2<0在区间1,4上有实数解，则实数。的取值范围是.【分析】关于X的不等式幺+奴-2<0在区间1,4上有解，等价于。<(2的皿，其中l,4,X9求出/(X)=£-X在xl,4的最大值即可.X【解答】解：关于X的不等式/+奴-2<0在区间1,4上有实数解，2等价于av(-旦皿，xl,4；X2设/(X)=X，其中xl,4,X则函数/(%)在XtU,4内单调递减，当X=I时，函数/(x)取得最大值为f(1)=1：所以实数。的取值范围是(yo,1).故答案为：(o,l).【名师指导】1 .一元二次不等式恒成立的条件A>O,(l)r2+bx+c>0(t0)恒成立的充要条件是彳，,b4ac<0.GVO,(2)0r2+加c+c<O(0O)恒成立的充要条件是彳，bi-4ac<O.2 .一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若AX)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式AX)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数j(x)的值域为m,n,则J(x)a恒成立=7(x)min初，即m>a;fi,x)<a恒成立=(X)max&z,即n<a.