第12讲函数与方程（教师版）.docx

第12讲函数与方程思维导图题型1:函数零点所在区间判断题型2:判断函数零点个数考向1:根据函数零点个数求参数函数与方程题型3:函数零点的应用二(考向2:根据函数零点的范围求参数范围I考向3:求国数多个零点(方程根)的和不解方程确定函数零点出错致误常见误区/-(不加区分有无区间限定的零点问题致误知识梳理1 .函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y=x),把使外)=0的实数X叫做函数y=(x)的零点.(2)三个等价关系：方程段)=0有实数根台函数y=Rr)的图象与X轴有交点台函数)，=(x)有零点.2 .函数零点的判定如果函数y=(x)在区间小力上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(b)V0,那么函数)，=y(x)在区间(m6)内有零点，即存在c(,b),使得4C)=0,这个C也就是人彳)=0的根.我们把这一结论称为函数零点存在性定理.3 .二次函数y=v2+u+c(a>0)的图象与零点的关系J>0J=OJ<0二次函数y=a+Zv+c(>O)的图象4N一U与4轴的交点（Xl»0）,（X2»0）（k，0）无交点零点个数两个一个零个题型归纳题型1函数零点所在区间的判断【例11】(2020春浙江期中)函数力=3*-3-2的零点所在区间是()XA.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【分析】由函数的解析式可得/(1),f(2)的符号，再根据函数零点的判定定理可得函数/(幻=3'-3一2X的零点所在的区间.【解答】解：由于函数/3)=3'-3-2,X:.f(1)=3-3-2=-2<0,f(2)=9-2>0».f(1)(2)<0,函数是连续增函数，函数/(幻=3'-3-2的零点所在的区间是(1,2),X故选：C.【跟踪训练1-1】(2020广东学业考试)函数*)=x+log2X的零点所在区间为()A.B,11C.11D.1,1ooLL【分析】判断/(X)在x>O递增，求得/)，/(；)，(；)，f(I)的值由零点在在定理即可判断.【解答】解：因为函数/(x)=x+log2”,在x>0时函数是连续增函数，可得，功在耳存在零点.故选：D.【名师指导】确定函数式用的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=火X)在区间凡句上的图象是否连续，再看是否有Ha)(b)<0.若有，则函数)，=式幻在区间(6份内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与X轴在给定区间上是否有交点来判断.题型2求函数零点的个数【例2-1】(2020春渝中区校级期末)函数/()=2-11+'-1的零点个数为()XA.0B.1C.2D.3【分析】条件等价于函数),=12'-1|与函数y=l-,图象交点个数，数形结合即可X【解答】解：令/a)=0,可得则条件等价于函数y=2i-l与函数)，=1一，图象交点个数,XX故选：A.【例2-2】(2020武昌区模拟)函数/(x)=2SinXl+1COSXl-2(xr7)的零点个数为()A.2个B.4个C.6个D.8个【分析】判断函数的奇偶性，利用零点判断定理转化推出零点个数.【解答】解：函数f(x)=21sinXI+1cosx-2(x-,乃)是偶函数，x0,/时，/(x)=2sinx+cosx-2,x=0,/()=-l<0,X=I时，/(x)=0,x=(时，/(x)=3+-2>0.所以x0,时函数有2个零点，xe(t4)时,，f(x)=2sinX-cosx-2,工=笄时，/(x)=G+g-2>0,f()=-1,函数有1个零点，所以函数/(x)=2SinXI+1COSXl-2(x-万，加)的零点个数为6.故选：C.【跟踪训练2-1】(2020春海淀区校级期末)函数/(x)=u+x+的零点个数是.【分析】条件等价于y=m与y=-x-图象交点个数，数形结合即可.【解答】解：令/(X)=加;+x+应=O,即而=-工-四，则函数零点个数等价于y=Ox与y=-x-2图象交点个数,作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点，故答案为：1.【跟踪训练2-2】(2020春杭州期末)已知X)=；?：；：，则函数/(x)的零点个数为【分析【作出函数”幻的图象，数形结合即可【解答】解：作出函数/Cr)的图象如下：由图可得，函数/(%)只有一个零点,故答案为：1【名师指导】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令兀O=0,有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数,")在区间凡句上是连续不断的曲线，且./()(b)<(),再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.题型3函数零点的应用【例3-1(2020迎泽区校级模拟)已知以4为周期的函数/(X)满足，当T<%3时，/(%)=其中仅>0,若方程3/(幻-x=0恰有5个根，则实数机的取值范围是()1-2,x(1,3A.4,7)B.4,)C.(织7)D.(冬勺333333【分析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论.【解答】解：依题意，函数/(x)的周期为4,方程3(x)-x=0恰有5个根，等价为函数y=(x)的图象与直线y=；有5个交点，作函数图象如下：当X(3,5)时，/(X)=myl-(x-4)2,当x(7,9)时，/(x)=/w1-(-8)2，当直线y=j与/(x)=ZJl-(X-4)2,相切时，即方程w1-(x-4)2=有唯一解，化简得(1+9m2)x2-72nrx+135M=0,则=(-72，)2-4(l+9n2).135*=0,解得旭二巫；3当直线j=与f(x)=myi-(X-S)2相切时，即方程=wl-(x-8)2有唯解，化简得(1+9m2)x2-144MX+567h2=0,M=(-144z)2-4(1÷9n2).567w2=0,解得/w=7：由图可知，实数，的取值范围(半，7).故选：C.【例3-2(2020宜昌模拟)若函数/Cr)="-d+v在区间口，2内有且仅有一个零点，则实数的取值范围为()5-e25-e25-e2A.,+co)B.(一S,2-eC.(,2-e)D.t2-e222【分析】依题意，-X-L在xel,2上有且仅有一个解，设g()=工-，求导可知函数g(x)XXXX在1,2上单调递增，故-g(1),g(2),由此求得。的取值范围.【解答】解：依题意，4J在wl,2上有且仅有一个解，XX犯/,1hill、exx-ex1(x-l)(erx1)设g()=X，贝Jg3=；1+=；，XXXXx由/.x+l(当且仅当X=O时取等号)可知，当xl,2时，函数g(x)单调递增，J102一5.当“£1,2时，5(x)wh11=8W=e-2,8(x)na=(2)=-2-=,e2-5.-oe-2,-,5-e2.-,2-e.故选：。.【例3-3】(20203月份模拟)已知函数/(处是定义域为R的偶函数，且满足/(2-x)=/(x),当喷火1时，/(x)=2x2,g(x)=logjx-l(<tz<2),则函数MX)=/*)g(x)所有零点的和为()A.3B.4C.5D.6【分析】由/(X)为偶函数，旦满足/(27)=/(X),可得函数/(X)为最小正周期为2,对称轴X=I,画出函数/Cr)的图象，又有题意可得g(用关于4=1对称，且有。的范围可得x>l时，g(5),g(3)的取值范围，进而可得g*),/(幻的交点情况，进而可得(x)=g*)-(x)的零点情况.【解答】解：函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足了(2-x)=(x),可得对称轴x=l,所以可得周期7=2,又g(x)=k>gx-l(T<<2),可得g(x)也是关于X=I对称，令人(X)=F(X)-g(x)=0,可得g(x)=(x),在同一坐标系中在作y=(x)与y=g()的图象如图所示：因为Jv.v2,(x)=Iogrtx-l»所以g(2)=0，g(5)=Iogrt4(2,4),与，(幻无交点，g(3)=IOg“2e(1,2)与/(x)有两个交点，所以X>1时，g(x)与f(x)有3个交点，所以xR时，g()9/(x)有3对关于x=l对称的点，所以所以交点之和为2+2+2=6,即函数(x)=/(x)-g(x)所有零点的和为6,故选：D.【跟踪训I练3-1(2020江苏模拟)已知函数/(X)=IogJ,函数心)是最小正周期为2的偶函数,且当xw0,1时，(x)=3x-1.若函数y=hf(x)+献幻恰有3个零点，则实数%的取值范围是.【分析】做出y=(x)的函数图象，令y=MX)与y=TUog,X的函数图象有3个交点，列不等式组求出k的范围.解答解：.y=kfx+*)有3个零点，.y=/KX)与y=Tl0g3X的函数图象有3个交点，作出y = ")得函数图象如图所示：2 3 4 5 6若一4<0，即左>0，则丫=力(工)与5=-21(笔34的函数图象只有1个交点，不符合题意;若Tt=O,即&=0,则y=4(X)与)，=TMog3%的函数图象有无数多个交点，不符合题意；若-k>0,即MvO,若y=A(x)与y=-Alog3%的函数图象有3个交点,则一匕l0g33V2,且一l0g35>2,解得：-2<<-21og53.故答案为：(-2,-21og53).【跟踪训练3-2】(2020赣州模拟)关于Jr的方程|/Q|-仆=0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数。的取值范围是()znlnJn2C.r.In2CInl1.A.(0,-)B.(,e)C,(0,)D.(,-)e222e【分析】由题意画出图形，可知当q,0时，显然不满足题意；当>0时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合x=4时直线在曲线上方求解.【解答】解：关于X的方程nx-0r=0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，即I仇rI=方在区间(0,4)上有三个不相等的实根，也就是函数)，=|加:I与y=如在区间(0,4)上有三个不同的交点，当区,()时，显然不满足题意；当>0时，设直线y=Ot与y=a(x>1)的切点为(XO,Inx0),切线方程为y-加=L(X-X0),代入0(0,0)，N)可得一/就)=T,即/=e,则。/=1,此时=Le再由4>/4,可得°>-lnl.2.关于X的方程I阮d-=0在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数。的取值范围是(,-).2e故选：D.【跟踪训练33】(2020江西模拟)已知函数/Cr)=PTrj,g(x)=x则方程f(x)=g(x-l)所-lg(2-x)fx<有根的和等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】在坐标系中画出两个函数的图象，判断函数的对称性，然后求解零点的和即可.【解答】解：通过图象可以知道函数y=f(x),y=g(x-l)图象都关于点(1,0)对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为3.【名师指导】根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.