第22讲三角函数的图象与性质（讲）（教师版）.docx

第22讲三角函数的图象与性质（讲）思维导图题型1:三角函数的定义域题型2:三角函数的值域（最值）题型3:三角函数的单调性考向1：求三角函数的单调区间考向2:已知三角函数的单调性求参数三角函数的图象与性质考向1：三角函数的周期性题型4:三角函数的周期性、奇偶性、对称性力考向2：三角函数的奇偶性考向3:三角函数的对称性忽视定义域的限制致误常见误区;忽视y=sin3X（或y=Cos3X）中，3对函数单调性的影响致误忽视正、余弦国数的有界性致误知识梳理1 .用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）“五点法”作图原理：在正弦函数y=sinx,W0,2的图象上，五个关键点是：（0,0）,，1），（兀，0），（竽，-1），Q,0）.在余弦函数y=cosx,W0,2的图象上，五个关键点是：（0,1）,g0）,（,-1）,侍0）,（2,1）.（2）五点法作图的三步骤：列表、描点、连线（注意光滑）.2 .正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数j=sinXJ=COSXy=tanx图象yC2.r7p<*yMkcMXrtfir定义域RRxxR,且E+5,kz值域-1,11,1R奇偶奇函数偶函数奇函数性单调性在g+2kt,5+2T(*Z)上是递增函数,在+2Ar,号+2攵兀(AZ)上是递减函数在2E-,2E(2Z)上是递增函数，在2k,2k+(kZ)上是递减函数在(一3+E,T+E)(k£Z)上是递增函数周期性周期是2E(kZ且际0),最小正周期是2周期是2E(ZZ且后0),最小正周期是2周期是E伙EZ且厚0),最小正周期是对称性对称轴是X=E+E(%6Z),对称中心是(A,0)(£Z)对称轴是X=EZ),对称中心是R+5,)(AZ)对称中心是修)(kZ)题型归纳题型1三角函数的定义域【例1-1(2019秋南京期末)函数/(x)=tan(2x+马的定义域为()4A.xxk+>女ZB.xx2k-,keZC.xx-+-,ke.ZD.xxk+-kZ288【分析】直接由2x+匹的终边不在y轴上求解X的取值集合得答案.4【解答】解：由2x+代W2汗+巳，得2xkr+%,424k._.*.XF-,kwZ.28二.函数y=tan(2x+?)的定义域为xx4?keZ).故选：C.【例1-2】（2019秋青山区期末）函数y = &coTRT的定义域是.【分析】直接利用无理式的范围，推出CoSX的不等式，解三角不等式即可.【解答】解：由2cosx + L.0得COSX 2a 2k-ic 2k + -f keZ .33故答案为：2k-, 2k + -(keZ). 33【跟踪训练1-1】（2019秋平罗县校级期末）函数/（） = Tan（X -匹）的定义域为（43A. <xx kr + -,k eZ4B.xx k + ,k e ZC.3 xx = k-,k E.Z4D.xx k + -,keZ4【分析】根据正切函数的定义域，即可求得函数/*）的定义域.【解答】解：函数/（x）=Tana-2）中,4令X-N-丰N-+k，keZ：42解得x网+k,AeZ：4所以函数/*）的定义域为xx&4+包.Z.4【跟踪训练1-2】（2019春杜集区校级月考）函数），=JSinltanX的定义域为【分析】由SinXtanx.0,得产工,或FnX求解后取并集得答案.tanx.0Itan,0sinx.0,、一、sinxn0,或，tanx.0tan,x;,0由得，=2k兀,ZZ;由得，+2k<x<-(tx=+2k,ke.Z.22.,.函数y=Jsin>tanx的定义域为1|一1+2女万工<'+2%乃或“=攵乃，keZ.JTJT故答案为：x-+2k<x<-+2kr(tx=k7r»keZ.【名师指导】I.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y=tanx的定义域求函数y=Atan(x+p)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.题型2三角函数的值域(最值)【例2-1(2019秋如皋市月考)函数y=lan2x在区间-工，)上的值域为.68【分析】根据X的取值范围，结合正切函数的单调性求出y=tan2x的值域.【解答】解：当-军W)时,2x-,-),且y=tan2x在-专，；)上单调递增；又tan(一匹)=一6，tan=1»34所以-8,tan2x<1,所以y=tan2x的值域为.故答案为：-如，1).【例22】(2020春浦东新区校级期中)函数)，=8虱1-3),%0,2m的值域是.【分析】根据2,求得土一工的范围，可得CoSd-马的范围，从而求得函数的值域.2323【解答】解：隐k2乃，-¾-?T一-,bos()1>223故函数的值域为：-！，1,2故答案为：-±,12【跟踪训练2-1】（2019西湖区校级模拟）函数y=cosx,x-工,工的值域是（）6231A.0,1B.-1,1C.0,-D.1【分析】由余弦函数的单调性，函数在_看,0,上是增，在0,1上减，由此性质即可求出函数的值域.【可言】解：由余弦函数的单调性，函数在-工，上是增，在0,刍上减，故其最大值在X=O处取到为621最小值在X=I处取到为0,故其值域是0,I：故选：A.【跟踪训练2-2】（2019秋舒城县期末）函数），=Ian（M为，x（0,马的值域是.246【分析】根据X（0，£，求解9+2的范围，结合正切函数的性质可得值域；624【解答】解：由x（0,结合正切函数的性质可得：l<y,J故答案为：（1，3【名师指导】求三角函数的值域（最值）的3种类型及解法思路（1）形如y=4sinx+力COSX+c的三角函数化为y=Asin（s+e）+k的形式，再求值域（最值）；（2）形如y=siM+加inx+c的三角函数，可先设SinX=7,化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y=osinXCOSx÷Z>（sin÷cosx）+c的三角函数，可先设Z=sinJd:COSxf化为关于，的二次函数求值域（最值）；（4）对分式形式的三角函数表达式也可构造基本不等式求最值.题型3三角函数的单调性【例3-1】（2020北京模拟）函数/（x）=sin（2x+马的单调递增区间是（）6A.k+-.k+-l(k三Z)B.k,k+-l(k三Z)632C.k-,k+-l(k三Z)D.k-,k,(k三Z)362【分析】由题意利用正弦函数的的单调性，求得结果.【解答】解：对于函数/(K)=Sin(2x+至)，令2)U-I融x+22k吟,求得就一梦*k+t故函数的单调增区间为伙乃一号，版+/keZ,故选：C.【例32】(2020咸阳一模)函数y=cos(乃x-X)的单调递增区间是()41 337A.2k,2&+一伏Z)B.24+,244(AZ)44443115C.2&,22+(攵Z)D.2,k÷-,2k+(AwZ)4444【分析】根据余弦函数的单调递增区间，解不等式2b-展标x-22乃即可得出原函数的单调递增区间.4【解答】解：解2女乃一成加R-22k不得,2-2Z+L444函数y=cos(;FX-C)的单调递增区间是2Z-3,2Z+口供cZ).444故选：C.【例3-3】(2020春黄浦区期末)函数y=tan(K+K)的单调递增区间为【分析】根据正切函数的单调性，解不等式-工+攵乃<工+v工+公r,kZ,将所得的解集化为等价的2632开区间，即为所求函数的单调增区间.【解答】解：令Cx+工(一生+Z乃，+k),&Z,6322BJ-+k<-x+-<-+k攵Z,2632可解得：6k-5<x<6k+,攵Z,.函数y=ian(X+-)的单调递增区间是(645,62+1),keZ.故答案为：(6k-5,62+l),kZ【例3-4】(2020春崇明区期末)已知函数/(x)=sin(2x+f在区间0,a(其中。>0)上单调递增，则实数的取值范围是()_rA.(a|0<«)B.aO<a-TTTTC.aa=k+-ZN*D.a12k<a,y2k+>kwN*【分析】求出原函数的单调增区间，可得/()的一个增区间为若，自，再由函数f(x)在区间0,a(Jl中>0)上单调递增，可得的取值范围.【解答】解：由-匹+2左成能r+2-+2k,232f÷ki-+kkZ.1212取4=0,得一区烈,1212则函数数g)=sin(2x+g的个增区间为喑，乡.函数/(x)=sin(2x+至在区间0,a(其中>0)上单调递增,八万0”,12故选：A.【跟踪训练3-1】(2020春南昌月考)函数f(x)=3sin(，-2x)的一个单调递减区间是().ll3A.一,【分析】解-2+ 2%通铝-2x -1212+24即可得出/W的单调递减区间，然后即可判断每个选项的区间是否为/(x)的一个单调递减区间.【解答】解：解一工+ 2攵超网2X至+ 2攵乃得，-kic -Z),2321212Z=O时，2领k :女=1 时，一”领JC；4二1 时， -k >121212121212哈爷是F(X)的一个单调递减区间.故选：B.【跟踪训练3-2】(2019秋丽水期末)函数y=3cosg-2x)的单调递减区间是()r>TCt2兀、1A.k"H,krT,AwZ63B.k-,k-ik三Z36JTTTC.k-9k+-lkz【分析】先利用诱导公式化简函数的解析式，TTD.k一一9k+-lkZ36再由条件利用余弦函数的单调性求得y的减区间.【解答】解：因为y=3cos（3-2x）=3cos（2x-,令2krtx-2k÷，3求得匕r+&领kk+-k三Z63可得函数的减区间为伙乃+匹，+,ArZ.63故选：A.【跟踪训练3-3】（2019春双流区校级期中）函数y=2lan（3x+工）的单调递增区间是（）4A.+ki-+kkeZB.z41243123r.3.-f3kk._C.（+kr,+A4），kZD.（+,+）,AZ444343【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求出函数y的单调递增区间.【解答】解：函数y=2tan（3x+令中,令一生+r<3x+工<2+2乃，keZ：242jm汽ktTikt._解得+<x<+,keZ；43123所以函数y的单调递增区间是（f+9，÷y）,keZ.故选：B.【跟踪训练3d】（2019秋铜陵期末）已知函数/（x）=sin5（3为正整数）在区间（-工,2）上单调，则切的612最大值为.2'"V2【分析】结合正弦函数的性质可知,-£，解不等式可求.26>0【解答】解：因为/Cx）=sin5在区间（一三,二）上单调，且3>0,612结合正弦函数的性质可知,2'"V2_2"<w>0解可得，外3即&的最大值3.故答案为：3.【跟踪训练3-5】（2019春岳阳楼区校级月考）己知。>0,函数/（x）=COSq-5）在弓，乃）上单调递减，则。的取值范围是（）A.R，mB.1,¾C.（0,1D.（0,224242【分析】根据函数的单调性求出0<,2,然后求出当x（工，九）时，q-工的取值范围，利用余弦函数24的单调性建立不等式关系进行求解即可.【解答】解：f（x）=cos（-x）=COS（69X-）,44若函数/（外在弓，外上单调递减，则T=空.2（万一乙）=万，2.0<G,2,若X<xv冗，则匹。<x<，22-<x<»2444OV2,3兀一<69-II<942447万一<(DTrI<>444.若函数/Cr）在，外上单调递减,-iy-.0则满足24,冗41co.；一即2,即24【名师指导】1.求三角函数单调区间的方法求函数y=Asin(s+3)的单调区间，可利用换元法转化为两个简单函数(f=s+/与y=Asin。进行求解，应注意/的符号对复合函数单调性的影响，牢记基本法则同增异减.准确记忆基本结论：函数单调递增区间单调递减区间y=sinX÷2A>5+2E(Z)，+2火兀，号+2A(Z)J=COSX+2&,2(Z)2k,2k÷(Z)j=tanx(一5+hr,5+A)(2Z)无2.已知函数单调性求参数(1)明确一个不同：“函数区1)在区间M上单调”与"函数兀r)的单调区间为M'两者的含义不同，显然M是N的子集.(2)抓住两种方法.已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解.题型4三角函数的周期性、奇偶性、对称性【例4-1】(2020怀化模拟)函数/(幻=011(1+()|的最小正周期是()A.B.C.D.224【分析】画出草图即可判断结论.【解答】解：I大I为函数/(幻=IIan(X+)I：.x+-k+-=>xkr+-ZeZ；326其定义域为：xx&乃+工，ArZ):其图象大致为：故其周期为：兀：故选：CA.OB.-C.-D.42【分析】由给出的函数为实数集上的偶函数，所以有sin(-；x-M=Sin(Jx-O)恒成立，展开两角和及差的正弦后移向整理，得8S8=0恒成立，再根据给出的9的范围可求其值.【解答】解：由)，=Singx-*)是R上的偶函数，则sin(-)=sin(P)恒成立，即-sinTxcos-sgsinG=Singxcos-cosgxsin,也就是2singxcos9=0恒成立.即8S*=0恒成立.因为怎如,所以°=故选：C.【例4-3】(2020来宾模拟)已知点(2,0)为函数/(x)=28S(OX+0)(°<g图象的一个对称中心，则实数=()A兀>""CnC冗A.B.C.D.3636【分析】把点的坐标代入，利用三角函数求值即可求得结论.【解答】解：根据题意，得2cos(gx2+=0,2乃.Tt,+=+-(K&Z),：.=k-(kZ),又-<，.取4=0,可得*=一专.故选：D.【例4-4】（2020成都模拟）已知函数/（x）=sin（2x+J,则函数/（x）的图象的对称轴方程为（）A.x=k-,keZB.x=k+-fkeZ44C.x=-k,keZD.x=-k+-,keZ224【分析】根据函数的解析式，结合正弦函数的对称性，可得答案.【解答】解：由函数/（x）=sin（2x+g,则2x+2=工+k乃，keZ»得：x=-kykZ,222故选：C.【跟踪训练4-1（2020新课标I）设函数/（X）=CosQx+马在-万，幻的图象大致如图，则的最小6正周期为（）D.【分析】由图象观察可得最小正周期小于"卫，大于竺石，排除A,。：再山/（-土）=0,求得。，对照999选项B,C，代入计算，即可得到结论.【F泞】解：由图象可得最小正周期小于万-（-段）=罟，大2x5-手）=豫，排除A,D；由图象可得）=8S（-1fi?+令=。即为一也69+工=女万+三，ZZ,（*）962若选B,即有/=算=乜，由虫X超+三=攵万+二,可得%不为整数，排除8：2797626若选C,即有=W=3,由一竺3+2=%7r+生，可得Jt=一1,成立.4£292623故选：C【跟踪训练4-2】（2020春辽宁期中）下列函数中，周期为乃，且在（工，马上单调递减的是（）42A.y=SinxcosxB.y=sinx-sxC.y=tan（+）D.y=cos2x4【分析】由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论.【解答】解：对JA,由于y=Sinxcosx=Xin2x的周期为红=%，ILft（-,巳）上单调递减，故满足条2242件.对于3，由于y=sinX-COSA:=0Sin（X-马的周期为2乃，故不满足条件.4对于C，由于y=tan*+?）的周期为4,在弓，）±,x+J（,）,故函数单调递增，故不满足条件.对于O,函数y=cos2x的最小正周期为工，函数在区间弓，马上单调递增，故不满足条件.故选：A.【跟踪训练4-3】（2020徐汇区二模）函数/（x）=COS年的最小正周期为.【分析】由题意利用利y=A8s（w+e）的周期为之，得出结论.【解答】解：函数f（x）=coS用的最小正周期为葺=6,3故答案为：6.【跟踪训练4-4】（2019秋大武口区校级月考）函数y=tan；是（）A.最小正周期为4%的奇函数B.最小正周期为2;T的奇函数C.最小正周期为4万的偶函数D.最小正周期为2万的偶函数【分析】根据正切函数的周期公式以及函数奇偶性进行判断即可.【解答】解：函数的周期T=£=2乃，且函数为奇函数，2故选：B.【跟踪训练4-5】（2020温州模拟）已知函数/（x）=SinGx+°）G>0,赞切乃）是偶函数，且在0,g上是减函数，则0=，3的最大值是【分析】首先利用三角函数的对称性的应用求出*的值，进一步利用函数的单调性的应用求出。的范围，从而确定结果.【解答】解：由于函数f(x)=sin(ftr+)(>O,展沏)是偶函数，所以*=.由于在0,马上是减函数，2所以.二一0,2所以0<,2,故答案为：工;2.2【跟踪训练4-6】(2019浦东新区二模)已知函数/(x)=sin2(x+(0>0)是偶函数，则°的最小值是.【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系求出Q的表达式即可.【解答】解：/(x)=sin2(x+)=sin(2x+2*)是偶函数，则29=+女万，AZ,即9=?+今.左Z,当左=O时，e取得最小值，为?，故答案为：4【跟踪训练4-7】(2020武汉模拟)已知函数/(x)=cos(3x+0)(-工0军)图象关于直线X=2对称，则函2218数/(X)在区间0,4上零点的个数为()A.1B.2C.3D.4【分析】根据余弦型函数的对称性知，/(x)在X='时取得最值，由此求出°值，再令/*)=0,解出X,18即可判断在0,笈上零点个数.【解答】解：因为函数f(x)=8s(3x+e)(-工<°<2)图象关于直线X=空对称，2218cos(3×-+)=±1»/.-+=k,keZfrfl-2<°<2知，A=I口寸，=-.186226故/(x)=cos(3x+2)，令/(x)=0得3x+工=C+A%Z,ax=-+-,keZ.66293因为x0,加，所以k=0,1,2时，>=生,生,包满足条件.故零点有三个.999故选：C【跟踪训练48】(2020春临川区校级期中)下列是函数.y=8s(x+)图象的对称轴方程的是()A乃D乃C5乃rv2乃A.=-B.=-C.X=D.X=6363【分析】根据余弦函数的对称性，求出对称轴即可.【解答】解：令x+%=k，%Z,解得X=&乃一三，keZ,33当A=I时，X=,选项。符合题意.3故选：。.【名师指导】1 .三角函数最小正周期的求解方法(1)定义法；(2)公式法：函数y=4sin(GX+p)(y=AcOS(GX+)的最小正周期T=啬,函数y=4tan(sx+w)的最小正周期f;(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.2 .有关周期的2个结论函数y=Asin(>x+9),y=Ac0s(ft>x+9),y=Htan(3+3)的周期均为T=俞.(2)函数y=Asin3>x+8)+A(屏O),y=Acos(x+夕)+力S0)的周期均为7,=.ICUl3 .若y=(gx+°)为奇函数，则当X=O时，y=0;若y=(x+e)为偶函数，则当X=O时，)，取最大值或最小值.4 .求对称轴方程(对称中心坐标)的方法求KX)=ASin(SX+图象的对称轴方程，只需对口x+p=T+E伏Z)整理：对称中心横坐标只需令x+=k(kQZ),求x.(2)求/(x)=ACOS(3+9)的对称轴方程，只需对S:+=E(kWZ).整理，对称中心横坐标为s+a=+(eZ),求X即可.k(3)求/W=Alan(OZr+9)的对称中心的横坐标，只需裁x+=(kQZ),求x.