第42讲空间向量及其运算和空间位置关系（讲）（教师版）.docx

第42讲空间向量及其运算和空间位置关系（讲）思维导图题型1：空间向量的线性运算空间向量及其运算和空间位置关系题型2:共线、共面向量定理的应用题型3:空间向量数量积的应用题型4:利用空间向量证明平行或垂直知识梳理1.空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a,b（bO）,存在2R,使a=b共面向量定理若两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面=存在唯一的有序实数对（x，y），使p=xa÷>,b空间向量基本定理及推论定理：如果三个向量a,b,C不共面，那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x,y,z使得P=Xa+yb+zc.推论：设O,A,B,。是不共面的四点，则对平面A8C内任一点P都存在唯一的三个有序实数4,y,z,使正=xH+.y正+z灰*且x+y+z=12.数量积及坐标运算（1）两个空间向量的数量积:ab=aIbcosa,b）；ab=ab=0（a,b为非零向量）；设a=（x,yfz）,则aF=a2,a=-x2+y2÷z2.（2）空间向量的坐标运算：a=(m,。2，。3)，b=(b,如)向量和a+b=(+b,班+岳，03+b3)向量差a-b=(a-b,但一历，a3b3)数量积ab=ab+4282+3b3共线a/b=>a=bta2=b2>a3=by(R,力0)垂直a±b<=>t7÷a2b2+3b3=O夹角公式/I,。1仇+。22+43-C0S3,迎+质+赤+强+易3.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线I平行或共线，则称此向量a为直线/的方向向量.(2)平面的法向量：直线LL,取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯.4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线1,2的方向向量分别为ni，112/i7Z2n/n2<=>n1=kn2(kwR)Zi±/2n±n2<=n1n2=O直线I的方向向量为n,平面a的法向量为mlan±m<=>nm=0LLann<=>n=hn(R)平面,少的法向量分别为n,man"m<=>n=hn(ZR)a邛II-Lm=IIm=O题型归纳题型1空间向量的线性运算【例1-1】（2019秋龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD-A旦GR中，AB=a,AD=b,AA=c,M是DQ的中点，点N是AG上的点，且AN=gAC,用,b,c表示向量MN的结果是（）2-D.幻二一5105336，E是CC'的中点=A. x = l, y = 2 , z = 3C. x = l, y = 2t z = 2D.【分析】根据M是。的中点，4V=gAG即可得出MN=-DDy-AD+ACl=-A41一AQ+g（A1+AQ+AB）,然后进行向量的数乘运算即可.【解答】解：M是以。的中点，AN=AC,.MN=MD+DA+AN=-DDl-AD+-ACl=-AAy-AD+-(AAl+AD+AB)=-AB-AD-AA1232333612l1=-a-bc.336故选：D.【例1-2】（2019秋湘西州期末）如图已知正方体ABCD-HB'CD中B.1=Z3【分析】设正方体棱长为i,建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，根据条件得4I=By解得X,y,z1 1=-x2 2【解答】解：正方体ABCr>-A8'CZ>',棱长为1,以。为原点，以AA',DC,。分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，所以a=L(O,0,1)=(0,0,-),j=-(0,1,0)=(0,-,0),c=-(-l,0,0)=(-»0,0),卬222233AE=(TI,3，2因为AE=m+yb+zc,所以(-1»1)X(O»0,)+y(0，»0)÷z(-»0>0)111=z3=解得x=l,y=2rz=3,11122故选：A.【跟踪训练1-1】（2019秋咸阳期末）已知空间四边形OABC中，OA=,OB="OC=C,点M在线段OA上，且。W=3M4,点N为BC的中点,则MN=()a12.1d32.1r,11.1n31AlA.ab+-cB.-a+-bcC.-a+-bcD.a+-b+-c232432222422【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向状的线性运算法则，用04,OB,OC表示出MN即可.【解答】解：如图空间四边形OABC中。A=,OB=A,OC=c,.点M在上，且。M=3M4,3.OM=-OA,又N为5C的中点，4.ON=(OB+OC),:.MN=ON-OM=(OB+OC)-OA,31,1=a+-b-c.422故选：。.【跟踪训练1-2】(2019秋濮阳期末)如图，M是三棱锥尸-ABC的底面ABC的重心，若PM=xAP+yAB+zAC(x.y>x?),则x+y+Z的值为()112A.-B.-C.-D.1323【分析】可想着再用PA,PB,PC表小PM，根据电心的性质及向量加法的平行四边形法贝J,AM=g(A8+AC),从而便可得至JP=-AP+gA3+gAC,由此可求出x+y+z.【解答】解：如图，连结PM,M是三棱锥尸-ABC的底面ABC的重心，.AM=-(AB+AC),3.PM=PA+AM=-AP+-AB+-AC,33PM=xAP+yAB+zAC(x、yxwR),t1.'.x=-l，y=z=-»31:.x+y+z=一一.3【名师指导】进行向量的线性运算，有以下几个关使点(1)结合图彩，明确图形中各线段的几何关系.(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.题型2共线、共面向量定理的应用【例21】(2020春和平区期中)已知空间向量m=(3,1,3),=(-l,-1)A.-B.-3C.-D.633-=3k【分析】由帆，可设加=万，可得4=k,解出即可得出.-=3k-l=3k【解答】解：m/，.可设=，.4=%-1=3A解得=k=.3故选：A.且而运,则实数4 =(-OA + -OB + OC ,若 46【例2-2(2019秋吉安期末)在四面体OABC中，空间的一点M满足OM：M,MaMC共面，则4=(【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论.【解答】解：由MAM8,MC共面知，1+1+=1,解得4=2.4612故选：D.【例2-3】(2019秋驻马店期末)已知空间三点A(O,1,2),BQ,3,5),C(2,5,4-幻在一条直线上,则实数&的值是()A.2B.4C.-4D.-2【分析】空间三点4(0,1,2),倒1,3,5),C(2,5,4-外在条直线上，可得存在实数机，使得AC=AnA5,即可得出.【解答】解：AB=(1,2,3),AC=(2,4,2-4)，.空间三点A(0,L2),B(l,3,5),C(2,5,4一行在一条直线上，则存在实数次，使得AC=mAB,2=m,4=2rn解得力=2,k=-4.2-k=3m故选：C【跟踪训练2-1】(2019秋资阳期末)已知4=(2,1,3),b=(-4,x+l,y-2),若5,则+y=()A.-6B.-5C.-4D.-3【分析】Fha/必，可得存在实数A使得如=b,即可得出.【解答】解：.存在实数上使得hr=b,-4=2k<x+l=-%,解得无=2,x=l,y=-4.y-2=3k则+y=-3.故选：D.【跟踪训练22】(2019秋内蒙古期末)已知点A(2,2,1),B(l,4,3),C(4,x,)，)三点共线,则x-y=.【分析】利用向量共线定理即可的.【解答】1解：因为A,B,C三点共线,所以可设AA=ZAC.因为4B=(T,2,2),AC=(2,x-2,y-l),-1=22.，2="x-2),2=(y-l)解得/=-；,X=2»y=3.所以解得所以x-y=l.故答案为：1.【跟踪训练2-3】(2020春和平区期中)在下列条件中，使"与A,B,C一定共面的是()A.OM=OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC532C.MA+MB+MC=OD.OM+OA+OB+OC=O【分析】利用空间向量基本定理进行验证，可得MA+MB+MC=0时，M4、MB、C是共面向量，从而可得M、A、3、C四点共面.【解答】解：在C中，由MA+MB+MC=O,得M4=-M8-MC,则MA、MB、MC为共面向量，即M、A、8、C四点共面：对于A,由OM=OA-OB-OC,得I-I-I=TW1,不能得出M、A、B、C四点共面；对于B,由OW=!04+工8+'C,f-+-+-l,所以M、A、B、C四点不共面；532532对于O，由OM+QA+OB+OC=0,OM=-(OA+OB+OC),其系数和不为1,所以M、A、B、C四点不共面.故选：C.【名师指导】共线、共面向量定理的类比三点P,4,8共线空间四点M,P,A,B共面P=PBMP=xMA+yMB对空间任一点O,OP=OA-tAB对空间任点O,aP=OM+xMA+yMB对空间任一点。，OP=xOA-x)'0B对空间任一点O,X=xOM+(l-y)OB题型3空间向量数量积的应用【例3-1】(2019秋岳麓区校级期末)棱长为2的正方体中，E,尸分别是。A，的中点，G在棱CD上，且CG=gc,”是GG的中点.(1)证明：EFIB1C.(2)求cos<eRCG>.(3)求47的长.【分析】以。为坐标原点，建立空间百角坐标系。-冷2,表示出各点的坐标;(1)利用EABC=0,证明Er_LBC；(2)利用空间向曷的数量积求出cos<E,C1G>；(3)利用空间向量的模长公式计算Iwl的值.【解答】解：以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-种,如图所示;则E(0,0,1),F(l,1,0),B,(2,2,2),C(0,2,0),C1(0,2,2)；(1) EF=(l,L-1),B1C=(-2,0,-2),.EF.B,C=l×(-2)+l×0-l×(-2)=0,.EF1BlC，:.EF±BlC;I42(2)由CG=§C£>知，C(O,2,O),.G(O,-,O),aC1G=(O,-2),.由CC=lxO+lx(-I)-IX(-2)=g,IMI=GIC1G=Jo2+(-)2+(-2)2=,4ClG >=EFeClGIEFlXlGGl3303×15,(3)H为CG的中点,.H(0,1),F(l,I,0),2.FW=(-1,-,1),3.1FH=J(-1)2+()2+12=,即FH的长为叵.3【例3-2】(2019秋天津期末)已知空间向量4=(1,T,0),6=(m,l,-l),若。JlO,则实数?=()A. -2B. -1C. 1D. 2【分析】由题意利用两个向他垂宜的性质，两个向量的数量公式，求得加的值.【解答】解：.,空间向量4=(L-1,O),b=(n,l,-l),若.ab=w-l+0=0»求得实数2=1,故选：C.【跟踪训练3-1】(2019秋梅河口市校级期末)已知。=(2,1,-3),b=(0f-3,2),¢=(-2,1,2),则a(b+c)=()A.18B.-18C.3应D.一3应【分析】可以求出+c=(-2,-2,4),然后进行向量数量积的坐标运算即可.【解答】解：/2+c=(-2-2,4)，4=(2,1,-3),.ah+c)=-4-2-12=-18.故选：B【跟踪训练32】(2019秋秦皇岛期末)在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)A8CO-AMGA中,AS=AD=AAi=1,NBV)=N84A=NDAA=60。，则AG的长为()A.3B.3C.6D.6【分析】由AG=48+A。+AA1,可得AC12=(AB+AD+AA,)2=AB2+AIf+AAi"+2AB.AD+2AB-AA,+2AD.AAi,即可得出.【解答】解：ACi=AB+AD+AAx,则2=(45+AO+AA1)2=A8?+AO2+AA1*+2AB.AD+2AB.A41+2AD.AA.=l+l+l+3×2×l×l×cos60o=6.IAC11=6.故选：D.【名师指导】空间向量数量积的3个应用求夹角设向量a,b夹角为仇则cos。一尚|力，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)利用公式aF=aa,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a_Lb=ab=O(a翔，b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题题型4利用空间向量证明平行或垂直【例4-1】(2019秋汉中期末)在边长是2的正方体4B8-A与CQ中，E,尸分别为A,AC的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求印的长(2)证明：耳'/平面AAIA。；(3)证明：L平面ACD.【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，求出向量所的坐标表示，代入长度公式求解；(2)求出AA的坐标表示，关键坐标关系判断瓦7/A，再利用线面平行的判定定理证明：利用CZXEF=O,所4。=0，可证宜线即垂直于8、，再利用线面垂直的判定定理证明.【解答】解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,2),A(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),0(0,0,0),E,尸分别为AB,AC的中点，.E(2,1,0),F(l,1,1),EF=(-1,0,1),EFI=l+0+l=.(2) AD1=(-2,0,2)=2EF,:.EFIlAD又AAU平面AAIAO,以7仁平面。，.瓦7/平面AAIDQ.(3) CD=(O,-2,O),AyD=(-2,O,-2),CD.EF=O,EFAiD=Ot:.EFVCD,EFlAiD,又CDPA。=。，.EV，平面ACD【跟踪训练41】如图，设?为长方形ABeD所在平面外一点，M在PD上,N在AC上，若也=SLMPNA用向量法证明：直线MN/平面QAB.【分析】建立空间坐标系，设A,C,P三点坐标，用此三点的坐标表示出MN,BP,BA,然后观察能否用BP,BA表示出MN即可判断线面是否平行.【解答】解：建立如图所示的空间坐标系，设Cm，O,O),A(0,b,0),P(m,p),则0(,b,0)，,.BP=(m,n,p),BA=(0,b»0)»CA=(-a»b,0)»DP=(Ina,nb»p),DC=(0»b»0)，,二空，设=空=/1,则。"=/10尸=。2。/1,n-b,p),CN=CA=-a,MPNADPCADPCAb,O).MN=-DM+DC+CN=(-m,2b-n-b,-p),/.MN=-BP+(2-)BA.5尸U平面¾5,HAU平面E4B,MNu平面RR,.MN平面245.z.-XD【跟踪训练4-2】已知正方体A8CO-ABC。的棱长为2,E,尸分别是,DDI的中点,求证：(1)尸G平面ADE；(2)平面ADE/平面qCF.【分析】建立空间直角坐标系。-型，求出O,A,C,G，E,尸，用，的坐标，求出尸G，DAfAE.(1)利用向最的数量积为。求出平面4)E的法向量，通过向策的数量枳推出勺_L,利用直线与平面平行的判定定理证明尸G/平面ADE.(2)求出平面MG尸的一个法向量.与平面4DE的法向量，通过向量共线证明，平面ADE/平面片GF【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系。-冲z,则有。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),l(2,2,2),所以尸G=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).(1)设勺=(须，yl,4)是平面ADE的法向量，则/_LD4,nl1AE,即卜DA4=卜=0,令=2=y=T,ni.AE=2yl+zll4=-2y所以勺=(0,_,2)因为.FC=-2+2=0,所以1J,FC,又因为FGU平面AD七，KPFC1/平面ADE.(2)因为Cq=(2,0,0),设公=(/，为，Z2)是平面4C/的个法向量.,-mn7FC.=2y,+z,=07=0由&,，_lg片，得22=>n2.ClBi=2x2=0(z2=-2y2,z2=2=>y2=1>所以/=(0,1,2),所以勺=%，所以平面AOE/平面MGF.【名师指导】利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.