第54讲圆锥曲线的综合应用-证明、探究性问题（达标检测）（教师版）.docx

圆锥曲线的综合应用证明,探究性问题达标检测A组一应知应会221. (2020沙坪坝区校级模拟)已知双曲线C：三-Xl(a>0,b>0)的左焦点为Fi,过Fi的直线Ia2b2与y轴相交于点M,与C的右支相交于点P,且M为线段P尸1的中点，若C的渐近线上存在一点N,使得诵=2而，则C的离心率为()A.2B.§C.2D.53【分析】由题可知，Fi(-c,0),直线/的斜率一定存在，设其方程为y=&(x+c),则M(0,kc),P(c,2kc)f222将点P的坐标代入双曲线C的方程，有j4kC,由平面向量的线性坐标运算可得点N(22,2i3ab°c),代入y=且K得上=Sk，联立，消去也并结合离心率e=*即可得解.3aa2a【解答】解：由题可知，Fi(-c,0),直线/的斜率定存在，设其方程为y=A(x+c),则M(0,品)，YM为线段PFI的中点，J点尸(c,2kc),222将其代入双曲线C的方程，有J_4kC,2,2l一ab,；而=2而,'点N(2匚kc且点N在渐近线尸巨丫上，33a2联立，消去k得，空,a29，离心率e=q=5,a3故选：B.2. （2020绥化模拟）已知对任意正实数?，p,q,有如下结论成立：若典上,则有典上卫E成立,nqnqn+q现已知椭圆三片=1上存在一点P，尸2为其焦点,在47i尸2中，N尸尸1F2=15°,NP产2F=75°,则椭圆的离心率为（）A.AB.返C.返D.返2232【分析】结合正弦定理和题中的新定义可知，IPFJ+PF2JFIFml,从而sinl50+sin75sin90j-=_竺一，结合正弦的两角和差公式分别算出sinl5o和sin750,代入上式进行sinl5+sin75sin90化简即可得离心率£的值.【解答】解：在4PFF2中，由正弦定理知,IPFll Ipf2I f1f2SinZPF2F1 %inZPF1F2 %inZF1PF2IPFll+PF2FF2Sinl50+sin750sin900所以-2a2c即&=_居幽_sinl5+sin75sin90asinl5+sin75sin 15o +sin75o =sinI5o +cos 150=2sin (45o +15o )=零所以离心率e=q=g=返.a63故选：C.2v23. （2020春杭州期末）以双曲线C-=l（>0,b>0）的左顶点A为圆心作半径为的圆，此2,2ab圆与渐近线交于坐标原点。及另点8,且存在直线y=h使得8点和右焦点尸关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）A.骼B.2C.3D.3【分析】利用已知条件求出8的坐标，结合B与尸关于y=丘对称，得到小。的方程，然后求解离心率即可.【解答】解:由题意可知A（0）,F（c,0）,22以双曲线C2-%=l（>0,b>O）的左顶点A为圆心作半径为”的圆（x+）2+v2=2,此圆与a2b2_b1y三X渐近线），=-2X交于坐标原点。及另一点8,可得a,消去y,a（x+a）2+y2=a2232可得/+2x+-2=o,所以8=12a,则用=?-b.存在直线y=h使得B点和右焦点尸关于此直线对称，2a?bIC2o3,3132,可得：心=J，可得=2a:C,8尸的中点为：（C二，。），koa3o2,222_za2ab乙CC2cc2333中点在直线y=心;上，可得昌b=2a+。（.二_）,2o2.92c2ab乙C整理可得4%2=（2a3+c3）Cc3-2a3）,把>2=c2-W代入上式.化简可得44=c4,e=£>La解得e=2故选：B.2v24.（2020浙江学业考试）设Fi,尸2分别是双曲线三4=l（,b>0）的左、右焦点.若双曲线上存a2b2在一点P,使得IPaI=4P尸2|,且NAPF2=60°,则该双曲线的离心率是（）A.逗B.运C.&D.&5353【分析】由双曲线的定义及题意可得仍户,俨心|的值，再由余弦定的可得mc的关系，进而求出双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的定义可得IPFILIP尸2=24,而IPg|=4|尸尺|,所以IPFlI=&，|尸乃|=2小33在APFIF2中/尸PF2=6O°,由余弦定理可得IFI尸22=4c2=p产2+pF22-2IPFlIlPF2cosNFPF2=越9/人4/o8a2a1_52293329_整理可得：4c2=四/，即/=23/,所以e=£_=Y亘，99a3故选：B.5. （2020南平三模）已知双曲线=r-J>=（>0,力>0）的左、右焦点分别为尸（-c,0）,尸2（c,0）.若2,21ab双曲线上存在点P满足PF=cP尸2|,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.（1,l+2B.（1,l+3）C.（1,l+2）D.（1,l+3【分析】点P（历，W）在右支上并注意到禾IJ用PQ=d?尸2|,进而根据双曲线定义表示出IPFIl和仍尸2|代入"EF=c仍户2,求得e的范围.【解答】解：.RP尸Il=CIP尸2,.FFlI3,P在双曲线右支上，Ipf2Ic设P点的横坐标为我，注意到由双曲线第二定义，知I尸尸=+ew,PF2=ex0-a,则FX（Ta=2.*=a（a+c）*,ex+acec-ea分子分母同时除以“,得手J.，e-e解得IVeW扬1.e-e故选：A.6. （2020闵行区校级三模）已知产为抛物线y2=4的焦点，A、8、C为抛物线上三点，当而+祚+而=五时，则存在横坐标x>2的点A、8、C有（）A.0个B.2个C.有限个，但多于2个D.无限多个【分析】设4（XI,y）,B（X2,”），C（X3,”），利用直+而+而二1，说明/为AABC的重心，利用重心坐标公式结合不等式转化求解加W2,讨论推出2W2,32,得到结果.【解答】解：设A(x,j),B(X2,”)，C(x3,y3),先证xW2,由强+而+而=1知，尸为AABC的重心，XF(LO),Biyl÷y2÷y33i3Ux2+a3=3-Xi,y2+y3=-y,工(丫2+丫3)2=年+丫：+2丫2丫3<25+4)，'y：42(y：+y»2222+),x2(x2+3),2(3-Xi)»x2,同理X1W2,32,故选：A.227. (2020宣城二模)已知双曲线E：-l(a>0,b>0)的右顶点为A,抛物线Cv=I60r(>0)azbz的焦点为尸,若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得AP_LFP,则双曲线E的离心率的取值范围是()A.(1,-B.(1,2)C.舟,-too)D.(2,+8)【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(小，旦团)，利用向量的垂直a的条件得关于用的一元二次方程，再由二次方程的判别式大于等于0,化简整理即可求得离心率的范围.22【解答】解：双曲线E：3r-=l(>0,7>O)的右顶点为A(4,0),2,2ab抛物线C:j2=160r的焦点为F(4小0),双曲线的渐近线方程为y=土旦r,a可设P(?，tn)>a即有AP=(w-a,-m)tFP=(楸-4,/),aa由HAJ_FP,得下_L而，可得获而=0,2即为Cm-a)(m-4a)+-2n2=0,2a化为(l+-)irr-5tw+42=0,2a由题意可得a=254（1+月一）4/20,2a即有9/216户=16（c2-2）,即16c225u2,则e=WwS.a4由e>l,可得lVe24故选：A.2228. （2020河南二模）已知椭圆。：2L-+-=（a>b>O）与圆C2：x2+y2=-,若在椭圆。上不存2,24ab+在点P，使得由点尸所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆。的离心率的取值范围是（）A.（0,争B.（0,多C,除1）D.除1）【分析】由题意画出图形，把问题转化为SinNA尸O>sin45°,且返,由此可得椭圆的离心率的取值a3范围.【解答】解：如图，若在椭圆Ci上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则两条切线夹角的最大值小于90°（由于短轴顶点处的两条切线的夹角最大为120°,故这种情况不存在）或两条切线夹角的最小值大于90°,如图：由NAPo>45°,即sin4PO>sin45°,即,2上返,.互近 a 2 a 3又 OVeVL，椭圆G的离心率的取值范围是（0,返）.3故选：A.229.（多选）（2020青岛模拟）已知曲线C的方程为一=（lR）,则下列结论正确的是（）k2-26-kA.当攵=8时，曲线C为椭圆，其焦距为4丁元B.当&=2时，曲线C为双曲线，其离心率为3C.存在实数2使得曲线C为焦点在），轴上的双曲线D.当=-3时，曲线。为双曲线，其渐近线与圆（X-4）2+y2=9相切【分析】求得2=8时，曲线C的方程和焦距，即可判断4求得左=2时，曲线C的方程，可得a,b,c,e,即可判断8；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得女的不等式组，解不等式可得人的范围，即可判断C；求得及=-3时，曲线C的方程和渐近线方程，圆的圆心和半径，结合直线和圆的位置关系，即可判断D.22【解答】解：当2=8时，曲线C的方程为+2一=1,曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，c=622=622215,焦距为2c=47,故4正确；当A=2时，曲线C的方程为普-I=1,曲线C为焦点在X轴上的双曲线，且=,Z?=2,c=2+4=6可得e=£=«，故8正确：a<6-k<0k>6若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得Io,BpJ/一，k无实数解，故C错误；k2-2<0-2<k<222当左=3时，曲线。的方程为-q-=l,曲线C为双曲线，其渐近线为y=3,可得渐近线12而圆（-4）2+/=9的圆心为（4,0）,半径为3,圆心到渐近线的距离为d=与圆相切，故。正确.故选：ABD.10.（多选）（2020滨州二模）设尸I,尸2分别为双曲线孑-号l（a>0,b>0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P,满足IP户2=FI尸21，且尸2到直线P乃的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A.渐近线方程为4x±3y=0B.渐近线方程为3x±4y=0C.离心率为互D.离心率为互34【分析】设IP尸2=BP2=2c,运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于小C的方程，得到双曲线的离心率，再由隐含条件即可得到与人的关系，求出双曲线的渐近线方程.【解答】解：设IP尸2=iF2=2c,由IPFlI-IP产2=2,可得IPFII=2c+24,由尸2到直线PFi的距离等于双曲线的实轴长2,设PQ的中点由等腰三角形P尸1尸2的性质可得，FMLPF,即有（c+a）2+（2）2=（2c）2,化简得e=g=l,a3由3c=5,得9c2=25tA即9（a2+h2'>=25a2,得1602=92>即有3b=4,则双曲线的渐近线方程为J=±=±A,a3BP4x±3y=0.故选：AC.22IL（2020春宝山区校级月考）设尸|、尸2分别为双曲线J=I（a>0,b>0）的左、右焦点.在双a2b2曲线右支上存在点P,满足IHF2|=回尸2|,且尸2到直线尸Fl的距离等于双曲线的实轴长，则上=.a【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出与。之间的等量关系，推出结果.【解答】解：依题意I尸尸2|=内尸2|,可知三角形P尸2巧是一个等腰三角形，尸2在直线Pn的投影是其中点，由勾股定理知可知IPAI=244c2-4a2=44根据双曲定义可知48-2c=2,整理得c=2hm代入c?=/+/整理得劝2-助力=。，求得t=4.a3故答案为：名.32212.（2020平阳县模拟）设尸为双曲线C：-l（a>0,b0）的右焦点，O为坐标原点，以O尸为直径的圆与双曲线C的其中一条渐近线交于点P（不同于。）,若双曲线C右支上存在点M满足百i=而,则双曲线C的离心率为.【分析】由题意如图所示设渐近线的方程，可得IoPl的值，P在渐近线上可得P的坐标，再由而一而,则可得M为的中点，将M的坐标代入双曲线的方程，可得小C的关系，进而求出双曲线的离心率.【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：y=W,即加缈=0,右焦点尸（c,0）,所以尸到渐近线的距离d=-=b,在直角三角形OF以中可得IoH=JoF2_d2=Jc2-b22,所以Qpl=",IPFl=b,所以可求得p（y,也），CC22F（c,0）,因为西=而.则可得M为P,尸的中点，所以M（a+c,独），2c2c22把M代入双曲线C：-l(a>O,b>0)，azbz/2,2×22,2可得Aa_a：整理可得c2=22,所以4acz4bc2故答案为：222r13. （2020春山西期中）已知椭圆W：5+l(a>b>0)的右焦点为F(E,0),且离心率为Y1,a2b22ABC的三个顶点都在椭圆W上，直线A8,BC,AC的斜率存在且均不为0,记它们的斜率分别为匕,Q,外，设AB,BC,AC的中点分别为M,N,P,O为坐标原点，若直线OM,OMOP的斜率之和为3,4则工+1+1=.勺k2k3【分析】先根据c=,义工1求得=2,b=l,从而得椭圆W的方程为为2一+y2=1，再设4（加，a24y1y1）,B（X2»y2）>C（3»y3）»利用点差法可得一-=-4kCIl,=-4kCRl,=-4kad,所以kB0Wkc/NkAC钮OP-4a0M+kN+k0p）=-3【解答】解：由题意可得，c=,J巫,所以a=2,b=l,a22C椭圆W的标准方程为,+y2=i22设A(x,y)tB(2,"),C(刈，”)，则"+yj=1诙T性也汨(乂2-Xp(X2+X1/、/、两式作差得，=-(丫1+丫2)。2-丫1)'.x2-l4(丫2+丫1)即1,t'1,=-4kw丫2一丫1x2+xlkAB°此同理可得，；=-4koNkBC= -4kop,4+=-4ckM+k0N+k0P>-3故答案为：-3.14. （2019秋徐汇区校级期末）已知椭圆G：:+右1（0<1><五）左、右焦点分别为Fl,Fz短轴的两个端点分别为81,及，点P在椭圆。上，且满足IPFll+P尸2=P8i+P82,当“变化时，给出下列四个命题：点P的轨迹关于y轴对称；存在机使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；QPI的最小值为2；IOPl最大值为灰，其中正确命题的序号是.【分析】由椭圆的对称性及/F+尸F2=P8i+PB2,写出以Bi,及为焦点的椭圆，可得两个椭圆有4个交点，可判断出正确，不正确；点P靠近坐标轴时IoPI越大，点P远离坐标轴时，IOPI越小，易得序=3时，取得最小值，可得IoPl的最小值，椭圆上的点到中心的距离小于等于小由于点P不在坐标轴上.【解答】解：由椭圆的对称性及IPFlI+PF2=P8i+P82,所以可得以81,改为焦点的椭圆为椭圆则点P为椭圆C*+=l与椭圆弓的交点，因为椭圆G的长轴顶点（±加,0）,6m266-m2短轴的绝对值小于灰，椭圆的长轴顶点（0,±加），短轴的交点的横坐标的绝对值小于加，所以两个椭圆的交点有4个，正确不正确，点P靠近坐标轴时（机0或灰），QPl越大，点P远离坐标轴时，Ion越小，易得"上=3时，2222取得最小值，此时Cs看升二1，两方程相加得看鼻;20JX2+y2=2,即|。Pl的最小值为2,正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于m由于点P不在坐标轴上，OP<,错误.故答案为：.15. （2020春新市区校级期中）己知A8、CO是中心为点。的椭圆的两条相交弦，交点为P,两弦A8、CD与椭圆长轴的夹角分别为Nl、Z2,且N1=N2,求证：%P8=PCPZ）.【分析】建立平面直角坐标系，设出直线CD的参数方程，由参数的几何意义可得IPQPQ|,同理可得=1，MPB,由此得证.【解答】证明：如图建立平面直角坐标系，设椭圆方程为N2=,P(o,yo),'X=X+tCOS则直线CO的参数方程为4U.（f为参数）,y=y0+tsin将代入井整理可得(/cos?+aZsin?)+a2y°sin)t+(b202+a2y02-a2b2)=o,由于 a2s2+Z>2sin2 0 , 故方程 b2 2+a2 2_a2b2IpcllPDl = It1IIt2I = I- 2r-b cos w +a sin B两个根t/2同理，对于直线AB,将换为-9,即可得到IPAllPBl = I,2 2上 2 b X0 +a Y022, 2-a bb2cos2(- ) + a2sin2(- ),22j.222,2bXq+ay-abu22a2-2bcosf+asinB I 用 IlPBI=IPQPD.2216. （2020广东一模）已知椭圆C=1,A,8分别为椭圆长轴的左右端点，M为直线x=2上异421于点B的任意一点，连接A例交椭圆于P点.（1）求证：而诬为定值;（2）是否存在“轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点.【分析】（1）由椭圆的方程可得A,8的坐标，设M,P的坐标，可得AP,AM的斜率相等，求出数量2积0百0亩由MP如P=T=-工，可得“，P的坐标的关系，进而可得而福为定值.2-42（2）假设存在。满足条件，因为以Mf为直径的圆恒通过MQ与BP的交点可得而即=0,由（1）可得整理得i(o-2)=0,再由xo#2可得=0,【解答】解：(D证明：由椭圆的方程可得：(-2,0),(2,0),设M(2,?)，P(Xo,W),(n0,o±2),x222_4则一2+=1,得用=_,422又 kAP= y° =kAM=Xo+2m-0 m2-(-2) Ty1所以kAPkBP=T=-xO42又典22-=Jl,整理可得2X0+机和=4,4x0-22所以而*OM=2xo+=4为定值.(2)假设存在定点Q(小0)满足要求，设M(2,n),P(d,)x),(m0,xo÷2),则以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点可得而即=0,所以(n-2,-w)(xo-2,Iyo)=nxo-2n-2ro+4-wt)=O,由(1)得2xo+myo=4t，由可得(刈-2)=0,因为W2,解得=0,所以存在X轴上的定点。(0,0),使得以Mp为直径的圆恒通过MQ与B尸的交点.17. (2020韶关二模)在直角坐标系X。)，中，已知点A(-2,2),B(2,2),直线A。，BD交于D,且它们的斜率满足：kAD-Icbd=2.(1)求点。的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线1交曲线C于P,Q两点,直线OP与OQ分别交直线y=-1于点M,M是否存在常数入，使SMPQ=SMN,若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.【分析】(1)设D(X,y),由A(-2,2),8(2,2),求出AD与BD的斜率，代入kAD-kBD=-2,整理可得。的轨迹。的方程；(2)由题意，直线/的斜率存在，设直线/：y=去+2,PQi,yi),Q(x2,”).联立直线方程与抛物线方程，化为关于X的元二次方程，利用根与系数的关系求得仇LX2,求出三角形OP。的面积，再写出OP,。的方程，求得M,N的横坐标，得到PW-XM，求出三角形OMN的面积，则答案可求.【解答】解：(1)设。(X,y),由A(-2,2),B(2,2),得-2)，k=-(x2),KADx+2KBDx-2YMq-Abd=-2,2-1=.2>整理得：x1=2y(x+2);x+2x-2(2)存在常数入=4,使SdOPQ=XSaOMN.证明如下：由题意，直线/的斜率存在，设直线/：y=kx+2,P(x,y),Q(xz»y=kx÷2联立<>得X2-2履-4=0.则x+x2=2k,xx=-4.x2=2yxlx2=7(x1+x2)2-4xix24k2+16=2k2+4-则SAopq卷2IX1-X2I=2k2+4y1X1直线OP：y=X，取y=_1>得Xir=-xlMVlI X2 (kx +2)- X 1 (kx2+2) II (kx 1+2) (k x2+2) I直线OQ：y=-取V=-L得XM=-Kx2ny2则W-XM=I恐_3|=产力"1了2尸丫2y】yiy2=2(x2_x"Wk2+4_-7Ik2x1x2+2k(x1+x2)+44及C11lVk2+4*so三Vplxm-xn=一/.S4OPQ=4Sm)MN.故存在常数入=4,使SziOPQ=5d?MM18. (2020洛阳一模)过点P(0,2)的直线与抛物线CW=4y相交于A,B两点.<1)求VIapI2IbpI2的值.(2) A,B在直线y=-2上的射影分别为Ai,Bi,线段AlBl的中点为Q,求证：BQPA.【分析】(I)设直线AA的方程为x=tc。Sa为参数，不为90。的倾斜角)，代入抛物线方程,y=2+tsin.运用韦达定理和参数的几何意义，化简可得所求值;(2)设直线AA的方程为y=H+2,联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线平行的条件，由直线的斜率公式，化简计算可得证明.【解答】解：(1)设直线AB的方程为卜=tcos""为参数，不为90°的倾斜角)，y=2+tsi11代入抛物线C：2=4y可得r2cos2-4sina-8=0,设A,8对应的参数分别为小2可得+2=4si/,32=-,CoS"coszCl16sin2a.161_；1t2+t,2_(t+t2)2-2.t2_CoSdClCOS?a_ap2bp12t12t22(t1t2)2(t1t2)2"一cos16(sin%+cos2)_16_工.-6464I(2)证明：设直线AB的方程为y=x+2,联立=4y,可得4-8=0,设A(x,y)»B(2,*),可得x+x2=4亿xx2=-8,由Al(x,-2),B(X2,-2),可得中点Q(-2),即。(2亿-2),_2_2 _kpAi 丁4xI“丫2+2kx2+4可得kBQ=-=-×22kx2-2k由如。-kPAkxiX2+4(xi+x2)-8k-8k+16k-8k_0X1(x2-2k)X1(x2-2k)即kp.=kBQ,可得8QM.FA119. (2020镇江一模)22.已知在平面宜角坐标系Xoy中，抛物线方程为y2=2px(p>0)(1)若直线y=-x+l与抛物线相交于/,N两点，且MN=2巫,求抛物线的方程；(2)直线/过点Q(0,f)(样0)交抛物线于A,B两点,交X轴于点C,如图，设赢=正，而=江,求证：?+为定值.【分析】(1)设出直线方程与抛物线方程联立，求出两根之和与两根之积；结合弦长公式即可求解;(2)设出直线方程与抛物线方程联立，求出两根之和与两根之积；结合向量的坐标运算即可求解结论'2_【解答】解(1)设MGi,y)fN(必中)联立.丫=2P×=>.v2-2(l+p)x+l=0;y=-+l.p>0,=4(p2+2p)>0；则M=KI.庐三'也=P+"庐三：MN=(1-2)2+(y-y2)2=l+k21x,-x2=2料,p2+2p=2=>/?=!;，抛物线的方程为J2=Zv；(2)设4(X3,)3),B(X4,)4),C(o,0)直线/过点Q(0,/)(0);故可设直线方程为y=k+;代人整理得ky2-2py+2m=0;工2=4p2-Skpt>0；,3=PlP-2kpty4=P+Vp2pkt-v3+4=-2P(5)v3y4=；kkkk一一一一fy3-t=-my3YQA=(X3，y37)，AC=(XOA3，-*)，OB=(工4，>,4-r)»BC=(0-X4,->»4):=(y4-t=-ny4Zm-l了311-jl-1n+=-5-J-2=×丫3丫4_2.2pk即m+n=t×-2=-1；2ptk所以：+为定值-1.20. （2020宝鸡三模）已知定点S（-2,0）,T（2,0）,动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为-1.4（I）求动点P的轨迹E的方程;（II）设点B为轨迹E与），轴正半轴的交点，是否存在斜率为窄直线/,使得I交轨迹E于M,N两点,且。（5,0）恰是aBMN的重心？若存在，求/的方程；若不存在，说明理由.【分析】（I）设P（x,y）,利用已知条件，列出方程化简求解即可.22（II）由（I ）知，E的方程为.3 y=-x+m2 2 ，13 X2 +83mx+12 (m2-3) =O»+=1143匹_江_=1（X#±2）,所以B（0，3）,设存在直线/适合题意，并设43/的方程为y/多+,M(x,y),N(X2,*).由,通过判别式以及韦达定理，转化求解三角形的重心推出结果即可.【解答】解：（I）设P（My）,由已知有X+2-242整理得动点P的轨迹E的方程为“十42（1【）由（【）知，E的方程为2_十42 y T2-l(x±2)*I(X二±2> 所以b(o, Vs)»设存在直线/适合题意,并设/的方程为 y=哼+, M(XI» y), N (x2, y).3y=2 +8 J§mx+12 (m2-3)=0,22，得13I43由4=(8m)2-4X13X12(m2-3)>0,得x1+x2=lUOLO因为点。为43MN的重心，所以xi+x2+xs=3xq,+0=33,解得m=138当m=f时，不满足乂逅m迤，833所以不存在直线/,使得。是A8MN的重心.21. (2020白云区模拟)设Fi(-c,0)、Fi(c,0)分别是椭圆三+)1(ab0)的左、右焦点，点尸是该椭圆上的一个定点，同时满足如下三个条件：(1) PK-F1Fp=O5(2)tanZPF1F2=l=(3)百二在FlF；方向上的投影为2«.(I)求椭圆的离心率及椭圆方程；(II)过焦点Fl的直线/交椭圆于点A、B两点，问是否存在以线段AB为直径的圆与)，相切，若存在,求出此时直线的方程，若不存在，请说明理由.【分析】(I)根据题目的三个条件可得C=«，/=返，J=b2+J,解得即可；2ac12（三）由(1)可得焦点力的坐标，设直线/的方程与由、椭圆联立求出两根之和及两根之积，设4,8的坐标，及切点。的坐标，由题意可得示而=0,求出参数及。的坐标，可得直线/的方程.【解答】解：(I)''PFF1F2=,；APFzFi为直角三角形，e2：P(c,),ab22,tanNPF/2=-三-=生一=返，2c2ac12.布在丁再方向上的投影为23,2c=23,即c=«，V2=b2+c2,:a=2,b=19G2.椭圆的离心率为e=q=，椭圆方程为三_+)2=1：a24(H)设满足条件的直线为/,其方程为x=ny-5,两交点坐标为H(x,y)BCn,”)，设线段AB为直径的圆与y相切于点。，rt=my-32_,消去X得：(/+4)y22jwv1=0,V÷y=1.,23 m-1.y+y= v > y)2=->4+m4+mx+x2=m(y1+y2)-2«=-型”,4+m2所以AB的中点到y轴的距离d=xl+x224+m所以弦长叩G历历7京-=吕8«4+i112'解得汴=2«-1,所以m=±)2«-l直线方程为=23-1v-g，或X=-23-lv-3.即X-23lv+V3=O或'+V23-1v+V3=22. (2020湖北模拟)己知尸1,尸2为椭圆E：W4iQ>b>0)的左、右焦点，点P(l,2返)在椭a2b2&圆上，且过点尸2的直线/交椭圆于A,8两点，的周长为力.(I)求椭圆E的方程：(II)我们知道抛物线有性质：“过抛物线)2=2PX(p>0)的焦点为F的弦AB满足af+bf=1afpjr”那么对于椭圆E,问否存在实数入，使得IA尸2+BF2=入依乃|8尸2|成立，D若存在求出入的值；若不存在，请说明理由.【分析】(I)利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出4,设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程.(II)求出2(1,0),设直线/的方程为x=my+l,与椭圆方程联立，设A(X1,y),B(2,*),利用韦达定理，不妨设y>0,y2<0,求出IA五2,BF2,化简整理即可求出.【解答】解：(I)根据椭圆的定义，可得IAFlI+A尸2=2,|8尸+8户2=%，AFifi的周长为AF+IBFIMAH=IAFII+|8尸1|+|AE2+BF2=4m4a=43>a=3.椭圆E的方程为卷片二1，将p(l,汉)代入得庐=2,3所以椭圆的方程为1(H)由(I)可知4?=/-/=1,得尸2(1,0),依题意可知直线/的斜率不为0,故可设直线/的方程为x=my+l,消去X,整理得(2"P+3)y2+4ny-4=0,设A(x,ji),B(x2,yi)tml4m-4则丫1+丫2=J，y1y2=5一，2m2+32m2+3不妨设y>0,y2<0>Iaf2I=(x1-1)2+Yi=(my1+l-l)2+Y=Vm2+1Y1I=Tm2+1pYf同理IBP?l=V117+iIy2l=-Vm2+ly2,Kepi1JL1±±z±±Sm以-jr+1_11=1+/1()lAF2Ibf2m2÷ly1-m2+ly2m2+lyly2J16112+16(2i112+3)1丫271 二 1Vm2 +1 了 1 丫 2 m2 + ly2yl12m2÷3'm2÷l2m2+3143(m2+l)=3即af2+bf23af2bf2P所以存在实数=,使得IA尸2+B户2|=入|4户2|伊尸2|成立.B组一强基必备1.(2020青羊区校级模拟)已知椭圆氏三三=1(4瓦0)的离心率为工且过点p(l,3),直线a2b222/：y=Ax+m交椭圆E于不同的两点A,B,设线段AB的中点为M.(1)求椭圆E的方程；(2)当aAOB的面积为反(其中O为坐标原点)且4F-4m2+30时，试问：在坐标平面上是否存在2两个定点C,D,使得当直线/运动时，IMa+1MDl为定值？若存在，求出点C,。的坐标和定值；若不存在，请说明理由.(人0)又2【分析】(I)利用椭圆的离心率为工，则b2：?=4：3：I,设出椭圆民"24=1椭圆过点P(l,2),然后求解椭圆方程.(2)当直线/的斜率存在时，设其方程为y=H+m,并设AaI,y),8(r,y2),联立方程.利用韦达定理以及判别式，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，结合mk的关系，求解IMCl+1例01为定值23【解答】解：(I)由于椭圆的离心率为工，则/：b2:?=4：3：I,222故椭圆氏方马=(入o)又椭圆过点p(,2),从而入=；+*=,22从而椭圆E的方程为心上二143(2)当直线/的斜率存在时，设其方程为y=h+m,并设A(i,户)，B(X2,”),y=kx+m联立方程I22,得(3+4F)x2+Shnx+4m2-12=0,Xy3=48(4k2-m2+3)>0-8km则X+×2x-2-1/4k2+34m2-12×1×224k2+3从而 Yi +Y2=k(x 1 +x2) +2m=6m4k 2+3,从而点M的坐标为（一笔乱4k2+33m x2)4k4+37>48(4k2-m2 +3)4k2+3由于IAB=71+k