第53讲圆锥曲线的综合应用-最值、范围问题（达标检测）（教师版）.docx

圆锥曲线的综合应用最值.范围问题达标检测A组一应知应会1. （2020庐阳区校级模拟）已知P为抛物线）2=4x上一点，Q为圆（-6）+y2=l上一点，则IPQ的最小值为（）A.21-1B.2-C.25-1D.21-45【分析】设点P的坐标为（工序，w）,圆（*-6）2+y2=的圆心坐标4（6»0）,求出IRM的最小值，4即可得到IPa的最小值.【解答】解：设点P的坐标为（2M,阳），圆（x-6）2+>*2=l的圆心坐标A（6,0）,4¾2=（Aw2-6）2+m2=-L（m2-16）2+2020,416¾25,:。是圆（-6）2+y2=l上任意一点，小。|的最小值为2巫-1,故选：C.2. （2020东湖区校级模拟）已知双曲线C上/=1的禽心率为返，过点尸（2,0）的直线/与双曲线m-2C交于不同的两点A、B,且NAO8为钝角（其中。为坐标原点），则直线/斜率的取值范围是（）A.（零,0）U（0,与B.（-*，0）U（0,净C.（-8,平）U（g3）d（-8,一坐）U造，Q）2. 2DD【分析】利用双曲线的离心率求出相，得到双曲线方程，设出直线方程，设出48坐标，利用韦达定理结合向量的数量积转化求解k的范围即可.【解答】解：由题意双曲线C：）2=1的离心率为区，得"5,解得m=2,m2Vin22双曲线C-y2=l,设直线/：X=（y+2,与双曲线C联立得：（r2-2）2+4代+2=0,设点A（x,y）,B（小”），则2yyi=-，xx2=t1yy2+2t(y1+y2)+4=t.又因为/AQB为钝角，所以yy2+xtr2<0,t-2t2-22即二2t一日0得出»2>0,所以直线/的斜率F=W<,t2-2t22即直线/斜率的取值范围是故选：A.3. （2020梅河口市校级模拟）已知抛物线V=M的焦点为F,过尸的直线与抛物线交于A,B两点,A位于第一象限，则HfI+38fl的最小值是（）A.23B.23+lC.23÷2D.23+422【分析】设直线AB的方程为kmy+l,A（2_,y）,B（七一，"），联立直线与抛物线的方程消元，442然后利用韦达定理可得丫2J鸟，然后根据抛物线的定义可得IAFl+3|叫=B+与+4,再利用基本丫141不等式即可求出结果.【解答】解.：抛物线的焦点尸（1,0）,设直线48的方程为：x=my+,x=11y+1联立方程组I,消去X得：X2（4m2+2）x+l=0,y2=4x22设A（,Vi）»B（，Y2）,4422则有界"=1'即了2?二,16y1222由抛物线的定义可得IAfl=3-+|8月=及一+1=、+1，44y122所以IAfl+38户1=1；+12+4>4+27§，当且仅当y2=历时等号成立，所以IAFI+38的最小值是24,故选：D.224. （2020红岗区校级模拟）己知双曲线45-Xl（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸1、Fz,过点Fi且垂直于X轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，若aAB尸2的周长为24,则当air取得最大值时,该双曲线的焦点到渐近线的距离为()A.1B.2C.2D.22【分析】可设尸1<-c,0),求得A8,运用勾股定理，可得尺的周长，结合a,b,C的关系，可得加=(6-),则从=J(6-a),设f(x)=，(6-),x>0,求得导数和单调性，可得最大值,即可得到所求距离.【解答】解：可设Q(-c,0),由X=-C代入双曲线的方程可得y=由题意可得2b则IM二胃一IA网=M2=JAF1I2+IF,2I结合c2=2+2,上式化简可得a3+ab2=36a-6序,可得b2=a(6-o),则atr=a2(6-a),设/(x)=x2(6-x)>x>0,导数为/(x)=12-3x2,当x>4时，/()<0,/()递减；当OVXV4时，/(x)>0,/(x)递增.可得/(x)在x=4处取得最大值.即有=4,tr=4×(6-4)=8,Jb=2J2f而焦点到渐近线的距离为d=Jbc_=b=2&,故选：D.5. (2020滨州三模)已知抛物线C：V=4与圆Aa-I)2+y2=9相交于4,8两点，点M为劣弧篇上不同A,8的一个动点，平行于X轴的直线MN交抛物线于点M则AMNE的周长的取值范围为()A.(3,5)B.(5,7)C.(6,8)D.(6,8【分析】过“作准线的垂线,垂足为H，根据抛物线的定义,可得EN=N故aMNE的周长=M+NM+fE=M"+3,只需求得的取值范围即可.【解答】解：如图，可得圆心E(1,0)也是抛物线的焦点，过M作准线的垂线，垂足为“，根据抛物线的定义，可得EN=NH故AMNE的周长I=NH+NM+ME=MH+3,由y"x可得4（2,2点）,（x-l）2+y2=9，点A到准线的距离为2+1=3,M”的取值范围为（3,5），AMNE的周长M/7+3的取值范围为（6,8）26. （2020和平区校级一模）己知双曲线C：工-b2y2=l（b>0）的右焦点到其中一条新近线的距离等于3X抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点与双曲线。的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线/1：4x-3）,+6=0和/2：X=-1的距离之和的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得4进而得到。由抛物线的焦点坐标，可得p=2,进而得到抛物线的方程.连接MF,过点M作AMJJi于点A,作M8J_准线X=-I于点C.由抛物线的定义，得到d+d2=MA+MFf再由平面几何知识可得当M、A、E三点共线时，MA+MF有最小值，因此算出F到直线人的距离，即可得到所求距离的最小值.【解答】解：双曲线C-b2y2=l（Q0）的渐近线方程为y=±弟右焦点（3b2÷4. 0)4b2到其一条渐近线的距离等于工, 2Tb2+4可得/士=-=J.-Ak22解得b=2,即有，岳=L由题意可得5=1，解得p=2,即有抛物线的方程为.=4x,如图，过点M作MAjJl于点4,作M8_L准线/2：X=-1于点C,连接MR根据抛物线的定义得MA+MC=M4+MR设M到力的距离为di,M到直线/2的距离为山，：.d+d2=MA+MC=MA+MFf根据平面几何知识，可得当M、A、尸三点共线时，M4+M尸有最小值.VF（1,0）到直线“：4-3y+6=0的距离为此"S=216,MA+M、的最小值是2,由此可得所求距离和的最小值为2.故选：B.7. （2020春丰台区期末）已知点P是椭圆C：=1上一点，M, N分别是圆（X- 6） 2+y2=l和圆（x+6）2+y2=4上的点，那么IPM+1PM的最小值为（）A. 15B. 16C. 17D. 18【解答】解：如图，椭圆C：=的 =10, b=8,【分析】由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可.所以c=6,X圆(-6)2+=1和圆(x+6)2+y2=4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M,N为如图所示位置时，PM+IPM的最小值为2(2+1)=17.故选：C.2C8. (2020南岗区校级四模)已知椭圆T：¥+y2=i(a>l)的焦点尸(-2,0),过点M(0,1)引两条a互相垂直的两直线/1、/2,若P为椭圆上任一点，记点P到/1、/2的距离分别为力、也,则42+龙2的最大值为()A.2B.也C.互D.空424【分析】由已知求解可得椭圆方程，设P(M,州)，由/山2,得d12+(2=pml2=02+(y0-)2j再由P在椭圆上，转化为关于川的二次函数求解.【解答】解：由题意知：/=1+4=5,2二椭圆T:Fy=5设尸(刈，V),v±2,且M(0,1),di2+d22=PHI?=、/+。1)?,2z-j-+y02=l,d12+d22=5-5y02+(y0-l)2=-4y02-2y0+6-IWWW1,当VC=-L时，"/+m?的最大值为空，yO44故选：D.9. (2020春黄山期末)已知平面内与两定点距离的比为常数攵(k>0,且Al)的点的轨迹是圆，这个圆22称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆片÷l(a>b>O),A,B为长轴端点，C,D为短轴端点，动点May满足.MA=2,ZMB面积的最大值为8,ZXMCO面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()MB乙A.返B.返C.返D.返3322【分析】由题意可得点M的轨迹方程，由AMAB面积的最大值为8,用CO面积的最小值为1可得,的值，进而求出椭圆的离心率.【解答】解：由椭圆的方程可得A(-,0),B(,0),C(0,力)，D<0,-b),设M(x,y),则点M满足幽L=2,所以可行"+y2=2,整理可得W+)?_Ue=。,IMBl(x-a)2+y23圆心坐标为(至“0),半径r=,3314y2a-a=8因为AMAB面积的最大值为8, 4CQ面积的最小值为I,解得：7=6,所叫y2b(ya-a)=l3 2所以椭圆的离心率e=£ a故选：D.2210. (2020襄州区校级四模)已知尸I、尸2分别是椭圆七十勺l(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一y点(异于左、右顶点)，若存在以亚C为半径的圆内切于?产尸2,则椭圆的离心率的取值范围是()2CB除Dc S,冬D(0, O【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围.【解答】解：Fi、放分别是椭圆彳，-l(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上点(异于左、右顶a，b/点)，若存在以零C为半径的圆内切于aPF2,可得：-×(2a+2c)×2yc=y×2cyp|*(a+c)c=V2cIypV2bc,*(a+c)V2b>,(«+c)22>2,则OWJ-24c-3洛I(a+c)(a-3c)20,/.3c,0<e<-故选：D.2211. （2020运城模拟）如图，已知尸1、尸2分别是椭圆C：二上=1的左、右焦点，过Fl的直线/1与过6432尸2的直线/2交于点M线段FlN的中点为M,线段广IN的垂直平分线MP与/2的交点尸（第一象限）在)D. (O, 1)【分析】结合图形说明IQM=IM设点P（X0,加）（xo>O,）X）>0）.由两点间的距离公式，以及焦半径公式转化求解L的表达式，然后求解取值范围.Iof2I【解答】解：如图所示，点A在y轴右边，因为PM为FIN的垂直平分线，所以IaM=IMM.由中位线定理可得IoMIvlF2NI设点P（X0,IyO）（o>O,5>0）.由两点间的距离公式,GIPFlI(×o+c)2+Yq=(X0+c)2+(1-)b22Cj°+2cx°+a2=a+ex0,同理可得P72=-exo,a所以IBM=IPQI-P尸2=2qo,故IoM=Q。，因为=8,c=42>所以e，故IOMI二亭cj,返所以WL生.Iof2I428因为o(O,8),所以工XW(0,1).8U故J°M的取值范围为(O,1)Iof2I故选：D.12. (2020汉阳区校级模拟)已知A,8是圆C：2+j2-8x-2y+16=0上两点，点P在抛物线=2y上,当NAPB取得最大值时，则：(1)点P的坐标为:(2)AB=.【分析】(1)根据圆的方程及两点之间的距离公式，表示出pq,求导，根据函数的单调性即可求得IPel的最小值，即可求得当NAPB取得最大值时，P点坐标；(2)根据圆的性质，即可求得48.【解答】解：(1)圆&/+y2-8-2y+16=0的圆心(4,1),半径为1,要使NAPB最大，只需要/APC最大,由SinNAPC二母卜IAC=L只需要IPQ最小,设抛物线上的点P(m,)，则m2=2n,(m-4)2+(n-l)2=Jm2-8m+16+-m2+l=y8m+17,4令g(而=，-8m+17，可得g'(m)=/-8,令g'(h)=TW3-8=0,解得帆=2,当mV2,g'(n)<0,gCx)单调递减，当zw>2,g,(M)>0,g(m)单调递增,所以g(?)的最小值为：g(2)=4-16+17=5.由复合函数的单调性可知，IPq=J一8m+17 "掂当且仅当帆=2, =2时取等号,所以P(2,2)；(2)由(1)可知，P(2,2),所以切线长为：¾=2,如图:pqA=¾Aq,匹人=2x122IA用=生应5故答案为：(1)(2,2)；(2)&Y5.522213. (2020春湖南期末)已知双曲线C2-2_=1与双曲线。：/-工_=1的离心率分别为e,如22m4-m则e1+62的最大值为【分析】求出双曲线的离心率然后求解和，转化求解最大值即可.【解答】解：双曲线e2-y2-的离心率分别为0=卒二后，22m22J双曲线O：/-上一=1的离心率分2=75：，0<m<4,4-m所以e+e2=y(e1+e2)2=6+2(l-)(5-m)=6+271(m-2)2+9,所以当m=2时，e+e2取得最大值：¢+2X3=2«.故答案为：2314. (2020春安徽期末)已知点?(5,0),若双曲线C：乂2_=的右支上存在两动点,乂使得而1而，则而而勺最小值为.【分析】画出图形，利用向量的数量积的几何意义，转化为双曲线上的点到P距离的平方，然后求解最小值即可.【解答】解：由题意而1曲,则MPMN=I而II而ICoS<诵，MPMP2,MPMN的最小值，就是双曲线上的点M到P距离的平方的最小值，2设M(w,)，则：m2=p3IJipI2=("L5)2+w2=(m-5)2+32-3=4w2-10m+22,当阳=总时，表达式取得最小值：故答案为：l.415(2020湖北模拟)已知点A(4,4)和抛物线j 2r=圆"+J=I相交于点A, B.若C的离心率为9,则|4冏的取值范围是=4x上两点8、C,使得则点C的纵坐标的取值范围为.22【分析】设B(,yj，C(-,y2)*由Mb3c=-1得(yi+4)(y1+y2)=-16,化简为关于y的一元二次方程，该方程有解，进而可得£(),解不等式即得解.Yiy?y444【解答】解：设B吁，yp，C呼，)，则kAB:kFr同理kmc=Vr11/V b22【分析】由双曲线的离心率求得从得到椭圆方程，画出图形，即可求得A8的最大值；设出直线/的方 程，与椭圆方程联立，由判别式大于。求得的范围，可知直线与双曲线两支相交时人的范围，求出斜FtlkABJcbc=-1得(IyI+4)(yi+)2)=-16,整理得:yj+(y2+4)y1+4y2+16=0A*,=(y2+4)2-4(4y2+16)=y22-8y2-480*解得”<4或”212,检验，当”=-4时，y=0,；当*=12时，y=-8；均满足条件.故点C纵坐标的取值范围为(8,-4U12,+).2216.(2020春达州期末)过双曲线C：-X-=I(0<b<2)的一个焦点和C两支都相交的直线/与椭4b2率与双曲线渐近线斜率相等时的A4,则答案可求.22【解答】解：双曲线C：2-J=I的实半轴长为2,虚半轴长为b(0VbV2),4b2r-22由C的离心率为Y,得r2=a=J=生生即。=.24a24c=a2+b2=52C椭圆方程为午+y2=,如图：不妨取双曲线的左焦点a(-5>O),由图可知，直线/截椭圆所得弦长的最大值为4；设过尸I的直线方程为y=A(.r+5)>y=k(x+5)联立x?2_1，可得(k2+l)2+2k2+5k2-4=0v+y=1=(25k2)2-4(k2+l)(5k2-4)=16-4A：20,解得-2&2可知当Z=±2时，直线与椭圆相切.要使直线与双曲线C两支都相交，则长(-X工).22而当仁费时，化为52+26X-II=O.设A(xry),B(%2»"),则*+x2二心"'xl=AB=tj4A(1+2)2-4x2=-=23.A8的取值范围是24.故答案为：25,4.17. (2020榆林四模)己知点尸为抛物线C：=2px(p>0)的焦点，定点A(1,2)和动点尸都在抛物线C上，点8(2,0),则JM4的最大值为.IpbI2【分析】根据抛物线的定义先求出P的值，再根据抛物线的性质，结合基本不等式即可求出.【解答】解：定点A(1,2)和动点P都在抛物线C上，.p=2,工抛物线C：y1=4x,设P(fy),. pf-iIpbI2 (×-2)2+y2 2+4当 X=O 时，-=0X2 ÷4当x0时,X2+4上,当且仅当x=2时取等号, 42 2故答案为：1418. (2020春内江期末)已知抛物线=4)，的焦点为尸，双曲线&号-S=I(«>0,b>0)的右焦点为Fi,过点F和Fi的直线I与抛物线在第一象限的交点为M,且抛物线在点M处的切线与直线y=-3X垂直，当。+为取最大值时，双曲线。的方程为.【分析】先求出过点F,Fi的直线方程，再根据导数的几何意义和抛物线在点M处的切线与直线y=-3X垂直，求出C的值，再根据三角代换求解最大值，然后求出双曲线方程.22【解答】解:抛物线=4v的焦点为尸为(0,1),双曲线C/_邑=1的右焦点为乃(c,0),2,2Y抛物线在点何处的切线与直线y=-v垂直,抛物线在点M处的切线的斜率为返，设点”的坐标为(刈，加),解得刈=2四,3.43：.M(型I,A),33/.A=-1乂空十1,3c3解得C=M,.*.«2+/?2=c2=3,令=Vos,=Vin,a+3=>3cos+3sin=2*3sin(O+"ZL)2*36当且仅当=返，b=S时取等号,22此时双曲线方程为:3, 4故答案为：y-y-=lT 7219. (2020春南通期末)己知椭圆二亍 al(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为4,左顶点为8,左右焦点分别是尸1, F2,且aQAB的面积为22叵，则椭圆的方程为 Zl+y2= 若点尸为椭圆上的 2 4 y J任意一点，则-I工厂+工厂的取值范围是IPFll Ipf2I【分析】根据已知条件短轴长为2, 尸IAB的面积为Zl退，可以求出，b, C的值，则椭圆方程可求；2再利用椭圆的性质化简并代入1_1PF1 , PF2即可求解小! I L 1 I的取值范围Ipf1 I Ipf2I【解答】解：由己知可得劝=2,即 =1, VF的面积为Zz返.2- ( -C) b= 2 愿，得 - c= 2-«； 22Va2 - c2=/?2=1;0=2, C=V2 C可得椭圆方程为*+y 2=1；11_|PF/+|PF2l_2aIpf1I+pf2Ipf1HIpf2IPF1(2a-PF11),令IPQI=加，则2-V§4in2+E-11-4_4,Ipf1I+Ipf2Im(4-m)m2+4m,*2-3,m2÷Vs,1-w2+4w4:.,.l-ii-r4pFi+pf22故答案为：-+y2=l;h4.2220.(2020济宁模拟)设双曲线C：彳-勺1Q>O,b>0)的左、右焦点分别为尸】，F2,FF2=2c,a"2y过尸2作X轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为4,点Q坐标为(C,争)且满足I尸2。|>尸M,若在双曲线C的右支上存在点P使得IPFIl+1PQlV口为尸2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是.6【分析】设R(-c,0),Fi(c,0),由X=c,解得A的坐标，再由尸2。|>尸M,结合离心率公式可得e<2,由双曲线的定义和三点共线的性质可得2+此2。IVzIFI尸2|,结合离心率公式可得e的范围.26【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为Fl(-c,0),Fi(c,0),由点。坐标为(c,叁)且满足|户2。|>尸MI，可得至>也一,即3/>282=2/-加2,2a_即c2<5,则2a2又IP尸II-IPF2=2,则IPPlI+1PQ=2+P尸2+PQ224+尸2。I=2+生,2当且仅当Q,P,尸2三点共线时，上式取得等号.由题意可得工生12c,即c>3d可得=£>?_,262a2综上可得SVeV逗，22故答案为：(S,&).222C21. (2020春山西期中)设点M和N分别是椭圆C：-+y2=l(>0)上不同的两点，线段MN最长为a4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN过点。(0,2),且而福>0,线段MN的中点为P,求直线OP的斜率的取值范围.【分析】(1)当线段MN为长轴时，其长度最长，所以4=2,=2,于是可得椭圆。的标准方程；(2)直线MN的斜率存在且不为0,设其方程为y=h+2,将其与椭圆的方程联立可得(1+4F)W+16履+12=0,由>()解得卜2>3,写出韦达定理，并求得y*=W-4k因为而忝>0,所以用X2+)V24l+4k2>0,又解得FV4,故3<卜2<4.然后设直线OP的斜率为H利用点差法可得k二一4，由44k即可求出直线OP斜率的取值范围.【解答】解：(1)因为线段MN最长为4,所以4=2,即=2,2C所以椭圆C的标准方程为手+y2=1.(2)由题意知，直线MN的斜率存在且不为0,设其方程为)=履+2,y=kx+2联立,v2,整理得(1+4)W+16心:+12=0,÷y2=由4=(16)2-4×(1+4F)×12=16(433)>0,可得卜2>3.4设M(x,y),N(X2»”)，则X+?=屿、歹,x1x2=9,l+4k2l+4k2所以"V2=(-1+2)(te+2)=k2X1X2+2k(X1+X2)÷4=44k9-I/l+4k2因为日IE。，所以xx2+y2=124Ykj=4(4-k?o,即必V,故梳<l2<4l+4k2l+4kjl+4kj4设直线OP的斜率为k',因为2xI 2 141y1-y92 ,两式相减得二_2l+x2“2 上 2 1T+y2=14(y+y2),所以k二一 J，则k' 4k，-16k2c64, 12 )故直线OP的斜率的取值范围是1 x2)U(. *)+y2=(<o)相交于222. (2020平阳县模拟)已知抛物线c：y2=2px(p>0)的准线与半椭圆心：1/4A,B两点,且IABl=(I)求抛物线Ci的方程;(II)若点尸是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线Cj的两条切线，切点分别为C,D,求aPCO面积的取值范围.【分析】(1)利用抛物线的直线方程与椭圆方程联立，结合IABI=E求解p,得到抛物线方程.2(2)设点P坐标为(o,和)，满足T>+y：=设切线PC为(X-XO)=m(j-Jo),代入C1：y2=4得y2-4wy+4myo-4xo=O,通过=O得到方程，设切点C(x,y),y=2m,得到y2-2yy1+4xq=0,设切线产。为(X-M)=m(y-川)，切点。(处.¥2),可得4-2丫0丫2+4乂0=0,转化求解CD直线方程为4x-2)a+4xo=O.利用三角形的面积求解即可.【解答】解：(1)抛物线Cjy2=2px(p>0)的准线：X=-,由抛物线Cjy2=2p(p>0)的准2线与半椭圆C=+y2=(<o)相交于A,B两点,且IABI=，42可得与一+(李)2=得=2,所以J：y2=42(2)设点P坐标为(打，和)，满足+y2=由题意可知切线斜率不会为0,4yO1设切线PC为(x-xo)=m(y-yo),代入C1：y2=4x得/4n11H-4w>fo-4o=O,由=()11J?!11j-ym+X0=O®，设切点C(,Ji)>所以y=2m,代入可得y2y0y+4x0=O.设切线PO为(X-Xo)=112(y-.yo),切点。(x2,”)，同理可得yj-2y°y2+4x0=0®.由可知W，*是方程丁-2必+4加=0的两根，所以产+*=2加，yy=4xo,又y；=4x2=4x2,所以代入可知C（XhJi×0（x2，y）是4x2即+4刈=0的两根,即CD直线方程为4,r - 2>y+4xo=O.114x0-2y0y0+4x0sPCD=-d.Icd1=2/22/16+4y又因为£"+y退XO-2,0,（-x2-16x0+4）1sPCD=而,82J23. （2020濮阳一模）已知O为坐标原点，抛物线C=2py（p>0）的焦点坐标为（0,）,点A,B在该抛物线上且位于），轴的两侧，0A*三=3（I）证明：直线AB过定点（0,3）；（II）以A,8为切点作C的切线，设两切线的交点为P,点。为圆（-1）2+y2=1上任意一点，求IPQl的最小值.【分析】（I）由已知求得p,可得抛物线C=2y.设直线AB的方程为y=辰+b（b>0）,联立直线方程与抛物线方程，化为关于X的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积公式列式求解江可得直线A8过定点（0,3）；（II）利用导数求得函数在A,8处的切线方程，联立解得交点纵坐标，可得两切线交点尸的轨迹方程为y=-3.然后结合圆心到直线的距离求解.【解答】（I）证明：根据题意，工上，p=l.22故抛物线C：x1=2y.由题意设直线A8的方程为y=h+Z?（Z>>0）.2_0由.x-Zy,消去），整理得f-2H-2b=0.y=kx+b显然4=4F+88>0.设A(x,y)>B(2>y2)(X1>0,X2<O)>则;112=-2力，22.-*-*X1乂290A0B=x1x2+y1Y2=-+x1x2=b-2b由题意得启-2b=3,解得b=3或力=-1(舍去).直线AB的方程为y=U+3,故直线AB过定点(0,3).(11)解：.y'=x,/I=xfy,I=x2j故以A为切点的切线方程为y-y=x(-),即y=xx-y,以5为切点的切线方程为y-*=x2(X-A2),即y=2xyz,y=x1x-y119联立,1,解得yJ?.=×2-y22又."LT2=-6,两切线交点2的轨迹方程为y=-3.Y圆心到直线y=-3的距离为3,，圆上一点到直线)，=-3的最小距离为3-1=2,故IPQl的最小值为2.24. (2020广州二模)己知点4,B的坐标分别是(-20),(,0),动点M(X,y)满足直线AM和的斜率之积为-3,记M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)直线)，=依+加与曲线E相交于P,。两点，若曲线E上存在点R,使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求小的取值范围.2【分析】(1)根据题意得匕ArAaW=-T=Y-=-3,(y0),化简可得曲线E的方程.x÷2x-2x2-2(2)设P(i,y),Q(X2,*),联立直线与曲线E的方程，得关于X的一元二次方程，结合韦达定理得x+x2,y+y2,>()，根据题意得P0的中点也是OK的中点，得/?点的坐标，再代入曲线上的方程，得2=F+3，将代入得小的取值范围.2【解答】解:(1)kAMkBM=7三三=-=-3,(y0)x÷2x-22-2化简得曲线E的方程：卷(二i(y0)(2)设P(x,y),Q(X2,y)y=kx+m（y0）联立<22,得（3+2）j+2kmx+m1-6=0,I261x+x=y+y2=k（x1+x2）+2m=m,3+k23+k2=（2km）2-4×（3+必）（m2-6）=-12m2+24it2+72>0,BP-w2+22+6>0,若四边形OPRQ为平行四边形，则尸。的中点也是OR的中点，所以R点的坐标为（-g咚，一包二），3÷k23÷k2（二2（鼻2又点K在曲线E上得，=1化简得2=F+326将代入得，M>o,所以MW0,由得2"PN3,所以机2喙或MW-喙，当直线P0经过（±50）时，a=±5匕代入得勿=±2不符合题意所以加的取值范围为（-8,-2）u（-5-喙U喙，2）u（2,+8）.25. （2020沙坪坝区校级模拟）如图，O为坐标原点，过点P（0,3）作圆O的两条切线分别交椭圆22C：LJ-=I于点A、8和点。、C.43（1）若圆O和椭圆C有4个公共点，求直线48和CO的斜率之积的取值范围；（2）四边形A8CO的对角线是否交于一个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【分析】（1）若圆O和椭圆C有4个交点，推出尸（3,4）,设过点P的切线方程为），=行+3,然后求出女的范围，直线y=h+3和椭圆有两个交点，转化求解在线A8和8的斜率之积的取值范围；（2）设AC方程，代入椭圆方程，化简，设A（x,yi）,CG2,”），由题设条件易知女网+bc=O,推出整生%=0对一切女成立，得到四边形ABCO的对角线交于定点（0,1）.【解答】解：（1）若圆O和椭圆。有4个交点，则A（3,4）,设过点P的切线方程为y=kx+3,则厂/3s,C(V§2)"卜2£冬，2)l+k&又因为直线y=履+3和椭圆有两个交点，22由y=履+3代入椭圆C：工-+2-7,消去yn(3+4炉)f+24心+24=0,=96(2k23)>0k2>-432由可得：k?E号，2)，所以kABkcD=-k2f(-2,1-)22(2)设AC：y=kx+t,椭圆C：2_J_=i，代入消去yn(3+4妤)x2+8to+4r-12=0,43设A(XI,Jl)»C(X2，J2),由题设条件易知kP+kpc=Oy1-3y2-3x2(y-3)+x1(Y2-3)x2(kx1+t-3)+x1(kx2+t-3)"以kp÷kpp=+r=rArtxi×2xlx2xlx22kx1x9+(t-3)(x1+xo)-=0lx2即2-j2+33)3+、2)力4”_瞪C)段(Ly=O对彻回3+4k23+4k2所以1,即直线AC过定点(0,1),同理可得直线8。也过定点(O,1),所以，四边形A8CO的对角线交于定点(0,1).26.(2020兴宁区校级模拟)已知A,8是X轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且A8=(>0),过A,8作X轴的垂线，与抛物线=2p(p>0)在第一象限分别交于O,C两点.(I)若=p,点A与抛物线>2=2p的焦点重合，求直线Co的斜率；S1(II)若。为坐标原点，记AOCO的面积为Si,梯形ABCo的面积为S2,求一L的取值范围.S2【分析】(I)求得抛物线的焦点坐标4,可得B的坐标，代入抛物线方程可得C,。的坐标，应用直线的斜率公式可得所求值；(II)可设CO：y=kx+b(A0),CG11,y),D(x2,”)，且4-川=小联立抛物线方程消去x,可得)，的二次方程，应用韦达定理和判别式大于0,可得OV妨</，再由点到直线的距离公式可得。到8的距离，应用三角形的面积和梯形的面积公式可得Si.S2,即可点到所求范围【解答】解：（I）由题意可得A（导O）,B（吗,0）,则C（呜,2pa+p2D（导P），又a=p,可得C（3，;）,则直线CD的斜率为当P-P=5-1；25P号（II）可设CO：y=lcx+b（k0'）fC（.xfy）,D（X2,”），且rx=,y=kx+b由.消去K,可得k2-2py+2pb=0,y227. （2020包河区校级模拟）己知圆。：/+）2=2,点夕为椭圆C 工+工_=1上一点，, 8分别是椭圆 2C的左右顶点.（1）若过P点的直线与圆O切于点Q（Q位于第一象限），求使得aOPQ面积最大值时的直线QQ的方=2px=4p2-8p妨>0,即妨V*，又yi+j2=>0,y1y2=-k>O,可得2>0,b>0fkk则ICQI=x2=ay2,O到CD的距离为/ P，则S-我理得.舟.班M=MS2=-v+>2-n-刘=-7=型,2'2kk则*L=Kk,.ov姑V