第43讲利用空间向量求空间角和距离（讲）（教师版）.docx

第43讲利用空间向量求空间角和距离思维导图题型1：异面直线所成的角题型2:直线与平面所成的角题型3:二面角贝U领L以二IC9»&上»不3.二面角(1)若A8, CD分别是二面角a-/的两个平面内与棱/垂直的异面直线, 是向量工才与7万的夹角，如图(1)图(1)图(2)图(3)(2)平面Q与夕相交于直线/,平面。的法向量为n,平面用的法向量为】/为。或-0.设二面角大小为6 则IeOSM=kQs三骷如图(2)(3).4.利用空间向量求距离(1)两点间的距离则二面角(或其补角)的大小就Fl2/12» (I11, 2> =仇则二面角 aiTI；:F.一包涅耳目哙IE卅闫二知识梳理I.异面直线所成角设异面直线。，力所成的角为仇则CO2.直线与平面所成角如图所示，设/为平面的斜线，Z=,题型4:求空间距离异面直线所成角的取值范围出错致误常见误区(二面角的取值范围出错致误I直线和平面所成的角的取值范围出错致误Se=I瑞j,其中a,b分别是直线,b的方向向量.a为/的方向向量，n为平面。的法向量，3为/与所成的角,设点A。”y,z),点8(x2，yfZ2),则8=|=1(总一及)2+(y”>+-Z2=(2)点到平面的距离>如图所示，已知AB为平面a的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为|而|=嗤回题型归纳题型1异面直线所成的角【例1-1】（2020济南模拟）己知直角梯形ABa）中，AD/BC,ABLBC,AB=AD=-BC,将直角梯2形AeCD（及其内部）以AB所在直线为轴顺时针旋转90。，形成如图所示的几何体，其中为CE的中点.（1）求证：BM工DF；（2）求异面直线与斯所成角的大小.【分析】（I）建立空间坐标系，得出BM,。尸的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直;（2）计算和E尸的夹角，从而得出异面直线所成角的大小.【解答】（1）证明：ABLBC,AB上BE,BCBE=B,.AB，平面3CE,以8为原点，以BE,BC,HA为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设Ae=AD=1,则O（0,1,1）,尸（1,0,1）,B（0,0,0）,M（应，0,0）,.=(2,屈,0),DF=(1,-1,0),.BM.DF=逐一+0=0,.BMLDF.(2)解：E(2,0,0),故即=(-1,0,1),cos < BM , EF >=BM.EFBM EF 2×y2 5.设异面直线与所所成角为。，则CoSe=ICOS<3M,EF=-,2故。=工.【例1-2(2020北京模拟)在四棱锥尸-Aea>中，QAJ_平面ABC£),底面四边形Ae8为直角梯形,AD/BC,ADYAB,PA=AD=2,AB=BC=,Q为PD中点、.(I)求证：PDLBQ(II)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.【分析】(/)建立空间直角坐标系，只要证明尸。用2=0,即可证明结论.(IDCP=(-1,-1,2),利用向量夹角公式即可得出.【解答】(1)证明：如图所示，A(0,0,0),8(1,0,0),P(0,0,2),0(0,2,O),Q(0,1,1),C(1,1,0),PD=(0,2,-2),BQ=-,1,1),由PD.BQ=2-2=Q,:.PDlBQ,.PD1.BQ；(II)解：CP=(T,-1,2),2J?cos<CP,BQ>=L-L=-3×63.异面直线PC与BQ所成角的余弦值为4.【跟踪训练1-1】（2020运城三模）如图，四边形ABCz）为平行四边形，且AB=4）=M）=2,点E,F为平面ABC。外两点，）7/4。且后尸=24£：=26，ZEAD=ZEAB.（1）证明：BDA-CF;（2）若/石AC=60。，求异面直线AE与Z）厂所成角的余弦值.【分析】（1）设8力与AC相交于点G,连接£G,从而3OLAC,推导出E4D=E4B,从而皿）J_平面ACFE,由此能证明8£>_Lb.Z轴建立空间直角坐标系G -孙z ,(2)过G作AC的垂线，交EF于/点，分别以GA,GB,GM为x,y,利用向量法能求出异面直线AE与"所成角的余弦值.【解答】解：(1)证明：设9与AC相交于点G,连接£G,由题意可得四边形ABa)为菱形，所以3f>"LAC,DG=GB,在E4f>和E4B中，AD=AB.AE=AE,ZEAD=ZEABt所以EW=E4B,所以ED=ES,所以3。_LEG,因为ACEG=G,所以8。_L平面AC庄,因为bu平面ACFE,所以BDLCF.(2)解：如图，在平面A£FC内，过G作AC的垂线，交E尸于M点,由(1)可知，平面ACFEj"平面AHa),所以MG_L平面ABa),故直线GM,GA,GB两两互相垂直，分别以G4,GB,GM为X,y,Z轴建立空间直角坐标系G-j>z,因为NEAC=60°,则A(",),0(0,-1,O),E(,0,-)，F(-,0,-),2222所以AE=(*,0,),Z)尸=(一乎异面直线AE与DF所成角的余弦值为：【名师指导】用向量法求异面直线所成角的一散步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量：(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值：(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹闲余弦值的绝对值.题型2直线与平面所成的角【例21(2020海南)如图，四棱锥尸-他8的底面为正方形，底面ABCr.设平面EAD与平面PBC的交线为/.(1)证明：/_L平面叨C；(2)已知包=AD=1,Q为/上的点，Q8=,求PB与平面QCz)所成角的正弦值.【分析】(1)过P在平面皿内作直线/AD，推得/为平面EAQ和平面QBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)以。为坐标原点，直线DC，DP所在的直线为4,y,Z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,求出Q(0,1,1),运用向量法，求得平面QC。的法向量，结合向量的夹角公式求解即可.【解答】(1)证明：过P在平面RAZ)内作直线/AD,由AO/5C,可得/HC,即/为平面PA。和平面PAC的交线，Pz)L平面ABC。，BCu平面ABCD,:.PD工BC,又BC人CD,CDPD=D,.8C_L平面PCZ)，IHBC、./_L平面PCZ);(2)解：如图，以。为坐标原点，1'纹。4,DC,OP所在的宜线为X,)，Z轴，建立空间直角坐标系D-xyz,PD=AD=It。为，上的点，QB=应,:.PB = S , QP = I,则D(0,0,0),A(l,0,0),C(0,LO),P(0,0,1),BQ,1,0),作PQ/AD,则PQ为平面EAD与平面PBC的交线为/,取Q(l,O,1),则OQ=(1,0,1),PB=(1,1,-1),DC=(0,1,0),设平面QCo的法向量为=(,6,c),rlln.DC=OIb=O"则J,.，取c=l,可得=(T,0,1),n.DQ=O(+c=O. cos < n，PB>=3-=*叁|IlPBl瓜近3.08与平面QCZ）所成角的止弦值为手.【例2-2】（2020北京）如图，在正方体48Co-ASeQ中，E为BBl的中点.（I）求证：BG/平面AAE；（II）求直线M与平面AAE所成角的正弦值.【分析】（I）根据正方体的性质可证得BG明，再利用线面平行的判定定理即可得证:(II)解法一：以A为原点，AD.A8、",分别为X、y和Z轴建立空间直角坐标系，设直线AA与平面ADlE所成角为。，先求出平面4。IE的法向量相，再利用Sine=ICos<帆，AAl>H|以及空间向量IMAA11数量积的坐标运算即可得解.解法1：设正方体的棱长为2a,易知SMD=22,结合勾股定理和余弦定理可求得cosE4A=噜，再求得S.纳=gAAAEsinNEA；设点A到平面E4。的距离为从根据等体积法匕曲目=匕一小,，可求出/?的值，设直线A4,与平面AAE所成角为6,则SinO=人，从而得解.AiA1【解答】解：(I)由正方体的性质可知，ABICQ中,且AB=GA,.四边形ABCa是平行四边形，.BCJAA,又8CU平面AAE,AAU平面ARE,.BQ/平面ARE.（三）解法一：以A为原点，AD.AB.AA分别为x、y和Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为,则A(0,0,0),A1(0,0,a),D1(a,0,a),E(0,-a),:.AA=(0,0,),AA=(,0,),AE=(0,a,a)»设平面AAE的法向量为m = (x,y,z),则如阴二°, gp.mAE = 0a(x + z) = 0I ，a(y + -z) = O令z=2,则x=-2,y=-l,an=(-2,-1,2),设直线AA1与平面AAE所成角为。，则Sine=ICoS<2,4,>Hm，AAI=-=-,ImAAIIa33故直线AAI叼平面AAE所成角的正弦值为;.解法二：设正方体的棱长为为，则叫=2缶，AE=A,ED=3a,SMC=殳Q=2,由余弦定理知，cosZE4D1 =AD； + A£：2 - EH 8/ +5/ -邮 _ 102ADrE22j2a.>5a 10.小八310., sin NEADl = 埼 ,S EAA = AD1 AEsin ZEDl =3a2»设点A到平面EAA的距离为力，A1-EAD1 =%”1,-2 ICC 214-n3a = -2a2a» .n = -a ,3334h Ia 2 设直线AAI与平面AD1E所成角为。，则Sine =金一=4 .A4, 2« 3故直线M与平面AAE所成角的正弦值为:.【跟踪训练2-1】（2020山东）如图，四棱锥尸-ABCD的底面为正方形，P£）_L底面ABC£>.设平面QAO与平面尸BC的交线为/.（1）证明：/_!_平面PDC；（2）已知PD=4）=1, Q为/上的点，求PA与平面Qa）所成角的正弦值的最大值.【分析】（I）过P在平面Q4O内作直线/A0，推得/为平面FAO和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）以。为坐标原点，直线A4,DC，OP所在的直线为“，y,Z轴，建立空间直角坐标系。-型，设0（0,m,1）,运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基木不等式可得所求最大值.【解答】解：（1）证明：过P在平面E4D内作直线"/AD,由4)BC,可得/8C,即/为平面EAO和平面PBC的交线,Pz)J_平面ABCr>，BCU平面ABCf>,PDLBC，又BC工CD,CORP。=。，."CL平面Pc£),IHBC，.L平面PC。；(2)如图，以。为坐标原点，直线D4,DC,OP所在的直线为X,y,Z轴，建立空间宜角坐标系。-孙z,则O(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),6(1,I,0),设Q(m,0,l)(n>0),DQ=(m,0,1),PB=Q,1,-1),OC=(0,L0),设平面Qs的法向量为=(,b,c),则.DC=。,匕。取,=,可得=(，0,1),OQ=0Ia机+c=0mcos< PB>=-1 MPBl/汨与平面QCzZ所成角的正弦值为1 211+- + f机 mm叵i+,走丘=远,当且仅当E=I取等号,3J,w÷l3V23V机:.PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值为当【名师指导】利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角.题型3二面角【例31】(2020江苏)在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=小,BD=I,。为8。的中点，40»L平面80AO=2,E为AC中点.(1)求直线A8与班所成角的余弦值：(2)若点尸在3C上，满足3尸=LBC,设二面角/一OE-C的大小为9,求Sine的值.【分析】(1)由题意画出图形，连接。C，由已知可得Coj.BP,以。为坐标原点，分别以08,OC,OA所在Il线为X,y,Z轴建立空间宜角坐标系，求出所用点的坐标，得到AB=(TO，。石=(IjI),设点线AB与OE所成角为,由两向量所成角的余弦值，可得直线与Z)E所成角的余弦值；(2)由=得BF=：BC,设/3,y,z),由向量等式求得尸(：，；，°)，进一步求出平面。所的一个法向量与平面DEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cos。，再由同角三角函数基本关系式求解Sin。.【解答】解：(1)如图，连接。C,CB=CD,O为BD的中点，.'COLBP.以O为坐标原点，分别以。3,OC,QA所在直线为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.BD=2,.OB=OD=,则OC=J属一丽=5三T=2.8(1,0,0),4(0,0,2),C(0,2,0),D(-l,0,0),E是Ae的中点，.E(0,1,1),AB=(-1,0,2),Df=(1,1,1).A8DE _-1 + 2AB VDE +4.1 + 1 + 1设直线AB与小所成角为a,则COSa即直线AB与DE所成角的余弦值为噜;(2)BF=-BC.BF=-BC,441131设F(x,V»z),则(X1,y,Z)=(，»0),/.F(，,0).42427I.DE=(1,1,1),DF=(-,0),DC=(1,2,0).42设平面OE尸的一个法向量为m=(x1,y1,z1),mDE=x1+jji+z1=0由71,取玉=-2,得?=(-2,7,-5)；mDF=W玉+5y=0设平面DEC的一个法向量为=(W,%，z?)，,nDE=X,+y,+Z1=0rZi=I由<一九-,取=-2,得H=(-2,l,l).nDC=x2+2y2=0,.Jssei=Z=/14+7-：|=姮ImMnI4÷49+25.4+l+113【例32】(2020新课标I)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.MBC是底面的内接正三角形，P为OO上一点，PO=-DO.6(1)证明：平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值.D【分析】（1）设圆。的半径为1,求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到R4_LPC，PALPB,进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC及平面PCE的法向昂：，利用向状的夹角公式即可得解.【解答】解：（1）不妨设圆。的半径为1,OA=OB=OC=T,E=AD=2,AB=BC=AC=6do=da2-oa2=,Po=旦O=Z62PA=PB=PC=-JPO2+AO2=，2在AEAC中，+PC2=AC2,故EAJ.尸C,同理可得B4LP8,又PBnPC=尸，故以_L平面PBC；建立如图所小的空间直角坐标系，则有唔辟。一职”（。,。当,E(0, 10)，ABC = (-3,0,0),CE =吟;,。）,CP =吟,一设平面PBC的法向量为m = （,y,z）,mBC = -y3x = Orn.CP = -x-y + -z = O222可取所= (0,l),同理可求得平面PCE的法向量为n = （2,-6,-2）,故COSe = I皿=冬£,即二面角B-PC-E的余弦值为拽.pwh I 55【跟踪训练3-1】(2020新课标In)如图，在长方体ABCD-A4GR中，点、E,F分别在棱力Q,BBl上,且2DE=ED,BF=2FB.(1)证明：点G在平面AEF内；(2)若Ae=2,4)=1,AA1=3,求二面角A-EF-A的正弦值.【分析】(1)在AAI上取点M,使得AM=2A",连接EM,B1M,EC,FC1,由己知证明四边形片EAM和四边形瓦MW都是平行四边形，可得AF/M与，RAF=MBi,ADilME、h,AD=ME.进一步证明四边形4GEM为平行四边形，得到EG/Mq,且EG=M片，结合AFM0,KAF=MBi,可得A”/EG,且A尸=EC，则四边形A“；E为平行四边形，从而得到点Cl在平面板内：(2)在长方体ABCD-A与GR中，以G为坐标原点，分别以GA，CiBi,CC所在直线为X,y,Z轴建空间直角坐标系.分别求出平面AEF的一个法向量与平面AEF的一个法向量，由两法向代所成角的余弦值可得一面角A-EF-4的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角A-EF-A的正弦值.【解答】(1)证明：在AA上取点M，使得AM=2AM,连接EM,B1M,EC1,FC1,在长方体ABCf)-A中，有DDJAAJIBB,且。A=AAI=BBL又2DE=ED,AyM=2AM,BF=2FBi,.DE=AM=FB1.四边形BiFAM和四边形EDAM都是平行四边形.AF/MBi,且A尸=M8,AD/ME,且AP=AfE.又在长方体ABCo-A旦GA中，有A。/与C,HAD=B1C1,.B°JME且BCl=ME,则四边形与GEM为平行四边形，;.ECJIMB,且EJ=MBr又AFHMBAF=MB1,AF/ECi,且A尸=EG,则四边形A“；E为平行四边形,.点G在平面Afi尸内;(2)解：在长方体ABCD-ABGR中，以G为坐标原点,分别以G9，C1B1,CC所在直线为X,y,Z轴建立空间直角坐标系.AB=2,AD=I,A41=3,2DE=EDx.BF=IFBx,.A(2,L3),E(2,0,2),尸(0,1,1),Ai(2,L0),则E尸=(-2,1,-1),AE=(O,-1,-1),AE=(O,-1,2).设平面AEF的一个法向量为=(N,ypz1).nxEF-2x1÷V1-Z1=0ZI=I,1,取斗=1,得=(IJT);nAE=-yl-Zl=O设平面AE厂的一个法向量为2=(工2，必，Z2)4在7=0,取占=,得“(1,4,2).n2AyE-y2+2z2=0w1,1+4-2Jl：.COS<71,>=-!-=LI-=.123.2T7X【跟踪训练3-2】（2019天津）如图，AEj_平面ABa）,CF/AEfAD/BC,ADLAB,AB=AD=X,AE=BC=2.(I)求证：8尸平面AM：；(II)求直线CE与平面8力E所成角的正弦值；(III)若二面角E-/的余弦值为j，求线段C尸的长.3EB【分析】(I)以A为坐标原点，分别以A8,AD,AE所在直线为,y,Z轴建立空间直角坐标系，求得A,B,C,D,E的坐标，设CF=S>O),得户(1,2,h).可得AB=(1,0,0)是平面4)石的法向量，再求出B尸=(0,2,)，由BF.A8=0,且直线BFU平面AD£,得BF/平面ADE；（三）求出CE=(7,-2,2),再求出平面瓦圮的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面胡定所成角的余弦值，进一步得到直线CE与平面8。E所成角的止弦值；(III)求出平面BDF的法向量，由两平面法向量所成角的余弦伯为g列式求线段CF的长.【解答】(I)证明：以A为坐标原点，分别以AB,AD,HE所在直线为X,y,Z轴建立空间直角坐标系，可得A(0,0,0),3(1,0,0),C(l,2,0),。(0,I,0),E(0,0,2).设CF=fS>O),则r(1,2,h).则AQ=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又Z户=(0,2。),可得BFA8=0.又直线出十平面仞心二班7/平面女坦；（三）解：依题意，BD=(-14,0),BE=(-1,0,2),C£=(-1,-2,2).设=(x,y,z)为平面BDE的法向量，llln.BD=-x+y=O.ci则1,令z=1,得=(2,2,1).nBE=-x+2z=0.cos<CE,t>=-CEICEWMl.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为-；9(III)解：设机=(X,y,z)为平面卸W的法向量,mBD=-X+y=02»取y=l,可得防=(1,1,一一)，m»BF=2y+hz=0力由题意,.I mn Icos < n,n >|=I M n IJ, 3xj 3经检验，符合题意.线段b的长为色.7【跟踪训练3-3(2019新课标I)如图，直四棱柱AACo-AHCQ的底面是菱形，AA=4,AB=2,NKM)=60。，E,M,N分别是3C,BBi,AD的中点.(1)证明：MV平面GOE；(2)求二面角A-MAI-N的正弦值.【分析】(1)过N作M/_LAO,证明再证明可得NM/DE,再由线面平行的判定可得MV/平面CQE：(2)以。为坐标原点，以垂直于DC得江线为X轴，以Z)C所在白线为)，釉，以。所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面4MN与平面MAA的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-MAl-N的正弦值.【解答】(1)证明：如图，过N作M/_LAD,则M/MA，且M=g"1,又MBA4,M8=(a1,.四边形为平行四边形，则NW由N”AA,N为Ao中点，得”为AD中点，而E为BC中点，:.BEMDH、BE=DH，则四边形阻归为平行四边形，则8/。石，:.NMIlDE、NMU平面CQE,OEU平面GoE,.MZV/平面GoE：(2)解：以O为坐标原点，以垂直于QC得百线为X轴，以DC所在自线为y轴，以OA所在门.线为Z轴建立空间直角坐标系,设平面AiMN的一个法向量为m =(X, y,z),ki. +3mNM =X + V = 022由，mNAx -与4>2z = 0取 X=G 得 m = (I,-i),又平面MA41的个法向量为M=(LO,0),nun315.cos<m,n>=1小ll55.二面角A-MAy-N的正弦值为萼.【名师指导】利用空间向量计算二面角大小的常用方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求南的大小.（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.题型4求空间距离【例4-1】（2019新课标I）如图，直四棱柱A8C。-AqGA的底面是菱形，AAt=4,AB=2,/84）=60。,E,MfN分别是BC,BBi,AO的中点.（1）证明：MV平面GOE；（2）求点C到平面GOE的距离.【分析】法一：(1)连结30,ME,推导出四边形MWE是平行四边形，从而MN/ED,由此能证明MN平面CQE.(2)过。作CIE的垂线，垂足为H,推导出OE_L3C，DELCiC,从而OEJ_平面GCE,DE-LCH,进而C_L平面GDE,故。”的长即为C到平面CQE的距离，由此能求出点C到平面GOE的距离.法二：(1)以。为原点，AA为X轴，OE为y轴，OA为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向依法能证明MN/平面CQE.(2)求出。C=(T,3,0),平面GO七的法向状=(4,0,1),利用向量法能求出点C到平面GoE的距离.【解答】解法：证明：(1)连结80,ME,M,E分别是8B,8C的中点,.MEBC,又N为A。的中点，.ND=AxD,由题设知AB/。，.BiC/AlD,.MEND,.四边形MNDE是平行四边形,MNHED,又肋VU平面Go七，.MV平面GOE解：(2)过C作GE的垂线，垂足为”，由已知可得小_LBC,DELCxC,.力E_L平面CCE,故DE工CH,.CH_L平面QDE,故CH的长即为C到平面ClDE的距离，由已知可得CE=1,CC1=4,.C1E=7,故CH=铝,.点C到平面CQE的距离为生叵.17解法二：证明：(1)直四棱柱A38-13CA的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=o,E,M,N分别是8C,BBi,A。的中点.OR_L平面4B8,DEAD,以。为原点，/M为X轴，DE为y轴，OA为Z轴，建立空间直角坐标系，M(l,G2),NQ,0,2),D(0,O,0),E(0,3,0),Cl(-1,G4),MN=(0,-3,0),DC1=(-l,3,4)-OE=(O,G,0),设平面GOE的法向量=(x,y,z),nDC.=-x+-Jy+4z=0“RIL，取z=l,得=(4,0,1),nDE=3y=0MN.n=0fMNC平面.MV/平面GoE.解：(2)C(-l,L0),DC=(-1,6,0),平面GoE的法向量=(4,0,1),.点C到平面CQE的距离：d=崎©=京=*.【跟踪训练4-1】(2020梅州二模)如图，%D中，NmA=90。，DP=DA=2,B,C分别是。4,PD的中点，将P8C沿8C折起，连结94,PD,得到多面体Q4BC"(1)证明：在多面体QABCD中，BC1PD；(2)在多面体RmCD中，当尸A="时，求点8到平面RAO的距离.【分析】(1)推导出8C_LCO,BCYPC,得到8CJ.平面PcD,由此能证明BC_LPO.(2)推导出PC_L平面ABa),以C为原点，CB为X轴，8为y轴，C尸为Z轴，建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点B到平面D的距离.【解答】解：(1)证明：Z¼。中，NPDA=90。,DP=DA=2,B,C分别是R4,尸力的中点，将P8C沿BC折起，连结¾,PD，得到多面体R438.BCVCD,BCSC,8PC=C,.Be，平面PCD,PDU平面Pa)，.在多面体7¾B8中，BCA-PD.(2)由(1)得ACj_平面Ps,又PCU平面PCZ),.BC-LPC,Z¾D,NPzM=90。，DP=DA=2,B,C分别是QA,尸。的中点，PA=R:.AC=>CD2+AD2=+4=5,PC2+AC2=42,:.PCAC,ACBC=C,.PC，平面B8,以C为原点，CB为X轴，CZ)为y轴，CP为Z轴，建立空间直角坐标系，5(1,0,0),P(0,0,1),A(2,1,0),0(0,1,0),PB=Q,0,-1),PA=(2,1,-1),PD=(0tI,-1),设平面PAz)的法向量=(x,y,z),lllnPA=2x+y-z=0ZeI则1J,取y=l,得=(O,1,1),nPD=y-Z=O.点B到平面小力的距离为：d_IPB.fiI_1_1|2×22'【名师指导】求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.