（理）第6讲函数与方程教案-经典教学教辅文档.docx

第六讲函数与方程适用学科数学适用年级高三（理）适用区域通用课不时长（分钟）120知识点1 .方程的根与函数的零点2 .二分法3 .函数与方程的综合成绩教学目标1.结合二次函数的影像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.根据具体函数的影像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这类方法是求方程近似解的常用方法.教学重点函数与方程。的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也必然会是.高考的考点.从近几年高考的情势来看，非常注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研讨了它的许多重要的结论，并付诸运用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”成绩有关.教学难点函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也必然会是高考的考点.从近几年高考的情势来看，非常注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研讨了它的许多重要的结论，并付诸运用.高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”成绩有关.教学过程一、知识讲解考点1.方程的根与函数的零点讲解内容(1)函数零点概念：对于函数y=(x)(xO),把使AX)=O成立的实数X叫做函数y=f()(三£>)的零点.函数零点的意义：函数y=f()的零点就是方程/()=0实数根，亦即函数y=(x)的图象与X轴交点的横坐标.即：方程Fa)=O有实数根=函数y=(x)的图象与X轴有交点o函数y=(x)有零点.二次函数y=+bx+c(WO)的零点：1)>0,方程or?+"+c=0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二次函数有两个零点；2)=0,方程or?+"+c=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与X轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；3)<0,方程如2+以+c=0无实根，二次函数的图象与X轴无交点，二次函数无零点.零点存在性定理：如果函数y=(x)在区间向上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/()S)<0,那么函数y=(x)在区间Qb)内有零点.既存在c(,Z?),使得/(C)=0,这个C也就是方程的根.考点2.二分法讲解内容二分法及步骤：对于在区间也，切上连续不断，且满足了S)<0的函数y=f(x),经过不断地把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度£,用二分法求函数Ax)的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，b9验证/()S)<0,给定精度£；(2)求区间(,Z?)的中点再；(3)计算Fa)：若f()=O,则再就是函数的零点；若f()*/(x1)<0,则令8二阳(此时零点XOe(,X);若F(X)S)<0,则令。二再(此时零点XoEaM)；(4)判断能否达到精度J即若|<£,则得到零点零点值(或字);否则反复步骤24.注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使/*)=()的实数；从“形”的角度看：即是函数/(X)的图象与X轴交点的横坐标；若函数73的图象在X=X。处与X轴相切，则零点/通常称为不变号零点；若函数73的图象在X=X。处与X轴相交，则零点/通常称为变号零点注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件/S)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.考点3.二次函数的基本性质讲解内容(1)二次函数的三种表示法：y=ax+bx-c;尸a(x为)(x加；片a(x扬尸+.(2)当a>0,F(X)在区间夕，上的最大值弘最小值加，令xo=g(炉。).若一2夕，则F(P)=m，/(Q)-M2a若夕<2<Xo,则f(2)=%，/(7)-M2a2a若XoW2<q,则FS)=/%/()=7;2a2a若一22S则f(2)-M,/(q)=m.2a(3)二次方程f(x)=aV+6户k的实根分布及条件.方程F(X)=O的两根中一根比r大，另一根比r小Od(r)<O;=/?2-4c>0,二次方程f()=O的两根都大于To-2>，2aaf(r)>()=Z?2-4ac>0,b二次方程广(X)二O在区间5,Q)内有两根O"一五<心“f(q)>O,f(p)>O;二次方程F(X)=O在区间(Dq)内只需一根OfS)F(q)<O,或(夕)二0(检验)或“。=0(检验)检验另一根若在(0q)内成立.二、例题精析【例题1】【题干】方程Ig户产3的解所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,÷oo)【答案】C【解析】(I)在同一平面直角坐标系中，画出函数尸IgX与片-x+3的图象(如图).它们的交点横坐标与，明显在区间(1,3)内，由此可排除4,D至于选8还是选C,由于画图精确性的限制，单.凭直观就比较困难了.实践上这是要比较与与2的大小,当产2时，Ig产lg2,3-产L由于lg2Vl,因而%>2,从而判定'，二70Zc20(2,3),故本题应选C卜、【例题2】【题干】设a为常数,试讨论方程Ig(X-1)+炫(3-%)=7)的实根的个数【答案】当l<3或=:时，原方程有一解；4当3<<与时，原方程有两解；4当l或时，原方程无解.4x-l>0【解析】原方程等价于3>°即L2+5-x>01<%<3(x-l)(3-x)=-x构造函数y=-/+5一3(l<x<3)和y=,作出它们的影像，易知平行于X轴的直线与抛物线的交点情况可得:当l<3或="时，原方程有一解;4当3<“<曝时，原方程有两解；4当l或八4时，原方程无解.4【例题3】【题干】设函数f(x)在(-,+)上满足/(2-x)=(2+x),/(7-x)=(7+x),且在闭区间0,7上，只需/(l)="3)=O(I)试判断函数y=(x)的奇偶性；(II)试求方程/(X)=O在闭区间-2019,2019上的根的个数,并证明你的结论【答案】(I)函数y=(x)是非奇非偶函数(II)y=(x)在-2019,2019上有802个解.【解析】(I)由F(2-)=F(2+x),F(7x)=f(7+x)得函数y=(x)的对称轴为=2和x=7,从而知函数y=()不是奇函数,由，/(2-x)=/(2+x)_(7x)=(7+x)=(4-)J(X)=/(14T)n(4r)=(14)zz>(x)=(x+10),从而知函数y=f*)的周期为T=Io又/(3)=/(O)=0,时工O,故函数y=/(x)是非奇非偶函数;f=(4-)(x) = (14-x)= (4t) = (147)又/(3)=/(O)=0,/(11)=/(13)=/(-7)=/(-9)=O故F(X)在0,10和一10,0上均有有两个解，从而可知函数丁=/")在0,2019上有402个解,在-2019,0上有400个解,所以函数y=()在一2019,以函上有802个解.【例题4】【题干】设函数AX)=XTn(X+，其中常数加为整数.(1)当?为甚么值时，/(x)0;(2)请证明：当整数相>1时，方程/(x)=O在/z-也网-帆内有两个实根.【答案】后1见解析【解析】(1)函数F(X)=Xln(x+m),x(m,+8)连续，且当X£(一01m)时，f(X)<0,F(X)为减.函数,f(x)>F(l-m)当x(l-m,+8)时，/()>0,f()为增函数,f()>f(l-m)根据函数极值判别方法，f(lm”lm为极小值，而且.对x(m,+8)都有f()/(1-m)=l-m故当整数mWl时，F(X)l-m,0(2)证明:由(I)知，当整数m>l时，l-m)=l-m<0,函数F(X)=X-ln(x+m),在上加-孙1-6上为连续减函数.由所给定理知，存在独一的司H”-肛1-7),使11X)=0而当整数m>l时，类似地,当整数m>l时,函数F(X)=XTn(X+m),在口-九/"-M上为连续增函数且F(l-m)与一异号，由所给定理知，存在独一的巧l-zn,e-m一Z,使/(12)=0故当m>l时,方程F(X)=O在-九1内有两个实根.【例题5】【题干】关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A. “二分法”求方程的近似解必然可将y=f()在旧6内的一切零点得到；B. “二分法”求方程的近似解有可能得不到y=()在出6内的零点；C.运用“二分法”求方程的近似解，y=f*)在出川内有可能无零点；D.“二分法”求方程的近似解可能得到/()=()在a"内的精确解；【答案】D【解析】如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只需限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实行满足零点存在性定理，在区间内必然存在零点，乃至有可能得到函数的精确零点.【例题6】【题干】方程/3=0在0,1内的近似解，用“二分法”计算到人=0.445达到精确度要求.那么所取误差限J是()A.0.05B.0.005C.0.0005D.0.00005【答案】C【解析】由四舍五入的准绳知道，当XH)0.4445,0.4455)时，精度达到XH)=O.445.此时差限J是0.0005,选项为C【例题7】【题干】设二次函数/(x)=+b+c(>0),方程F(X)-X=O的两个根X,%2满足。<玉<%2<L当X(,xj时，证明X<f(x)<X1.【答案】见解析【解析】由题意可知f(x)-x=a(x-xl)(x-x2),.当X(0,X)时9fx>X.又/(X)-Xl=(X-Xl)(X-X2)+X一项="一2XaX-ax÷1)，综上可知，所给成绩获证.【例题8】【题干】已知二次函数/(x)=ax2+bx+(aib三R,a>0),设方程f(X)=x的两个实数根为王和马.(1)如果玉<2<X2<4,设函数/(x)的对称轴为X=X0,求证：X0>-1;(2)如果闵<2,员-力=2,求的取值范围.，【答案】(1)见解析(2)bJ或44【解析】设g(x)=f(x)-X=ax2+(Z?-l)x+l,则g(x)=0的二根为X1和超.(1)由a>0及王<2<%2<4，可得4,即，g(4)>016+4-3>0-b3八3+3<0,即2。4两式相加得2<,所以，>7；ZICh3八2a-4-2+<0,2a4a(2)由区-/)2=(3)2-土可得2+l=J(b-l)2+l.aa又XIX2=L所以x,它同号.，<2,-XI = 2等价于，0 < x1 < 2 < x2x2 < -2 < x1 < 02 + l = (Z?-1)2 +12 + l = JS-1)2 +1g(2)>0即g(O)>Og(-2)>0 或，g(O)>O解之得或/?>?. 442+1=JS-I)*+【例题9】【题干】设f(x)=+b+c(o),若(O)1,(1)1,(-1)1,试证明：对于任意-lxl,有”);【答案】见解析【解析】:/(-l)=t7-z?+c,/(l)=(7+z?+c,/(o)=c,工当-lxO时，当OxT时，综上，成绩获证.【例题10【题干】设a£R,函数f(x)=x+-a+l,x£R.(1)讨论/U)的奇偶性(2)求f(x)的最小值.【答案】(1)AX)为非奇非偶函数(2)当J时，f(2最小值为24当L时，F(X)最小值为4+1.22当时，/(X)最小值为+之.24【解析】(1)明显无0时，F(X)为偶函数，当z=0时，F(Z)=才+1,f13)-Q+21司I+1f(a)f-a)iF(a)+F(-a)#0，此时F(X)为非奇非偶函数.(2)首先应先去掉绝对值，再进行讨论.当Xa时,f(x)=X2-x÷6+l=(X-i)2+a+；.若aL则Ax)在区间(-8,司上单调递减，2,/U)的最小值为F(a)4+L(如图)若则f(x)在区间(-8,司上的最小值为Fg)=I+(如图II).当X，3时，f(x)=X2+X4+1=(X+)26Z÷,若a-g则/(X)在8+8上的最小值为如图I11).若。二，则F(X)在a,+8上单调递增.2则才)在凡+8上的最小值为P®=#+L(如图IV).综上，当J时，f(x)最小值为3-4.24当L时，F(X)最小值为4+1.22当时，/(X)最小值为+之.24【例题H】【题干】已知函数F(X)和g(x)的图象关于原点对称，且/(x)=2+2x.(I)求函数g(x)的解析式；(II)解不等式g()")-k-；(In)若MX)=g(*W(%)+在卜1上是增函数,求实数4的取值范围.【答案】(I)-y=x2-2x,BPy=-X2+2x,(x)=-x2+2x【解析】(I)设函数y=")的图象上任意一点。国,为)关于原点的xo÷x0对称点为尸亿力则2'即产T，丁点Q(XO,%)在函数y=()的图象上（三）由g(%)f(x)-x-1|,可得2T-io当xl时，2x2-x+10,此时不等式无解.当XVI时，2x2+x-1O9解得-lxL2因而，原不等式的解集为三、课堂运用【基础】1.若函数y=()在区间a,6上的图象为连续不断的一条曲线，则以下说法正确的是()A.若f()fS)>O,不存在实数c(,b)使得F(C)=0；8 .若/S)<(),存在且只存在一个实数c(,b)使得f(c)=O;C.若f()fS)>O,有可能存在实数c3份使得F(C)=0;D.若/S)<(),有可能不存在实数C(4向使得AC)=0；【答案】C【解析】由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项反可经过反例。=MX-I)(X+1)在区间-2,2上满足"-2)/<0,但其存在三个解TO,1”颠覆；同时选项4可经过反例03=(X-I)(X+1)在区间-2,2上满足/(-2)2)>0,但其存在两个解-覃”；选项C正确，见实例"(X)=X在区间-2,2上满足f(-2)X2)>0,但其不存在实数解”.9 .若关于X的方程2+mx+l=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是().A.(-1,1)B.(8,-2)U(2,+8)C.(-2,2)D.(8,-1)U(1,÷oo)【答案】B【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式>0,即m24>0,解得mV2或m>2,故选B3,若函数尸F(X)在R上递增，则函数y=f(x)的零点().A.最少有一个B.最多有一个C.有且只需一个D.可能有没有数个【答案】B【解析】由函数单调性定义可知4.如图所示的函数图象与X轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是().A.B.C.D.【答案】B【解析】影像中的函数虽有零点，但非变号零点.二分法只能确定连续函数的变号零点.【巩固】1.鄙人列区间中，函数F(X)=e'+4-3的零点所在的区间为().(1(1(1fl31a4?0Jb4°,4Jc2)d4；【答案】C十in1111Inll1【解析】由于6J=ea+4X厂3=J2V0,=e-+4×-,31 JIn=e-1>0,所以F(X)=e'+4-3的零点所在的区间为2 .能否存在这样的实数分使函数f(x)=2+(3a-2)x+a-l在区间-1,3上与X轴恒有一个零点，且只需一个零点.若存在，求出之的取值范围，若不存在，阐明理由.【答案】aVE或乃>1.(8、8【解析】Y/=(3a2尸一4(a1)=9才-16a+8=9ag2+>0若实数W满足条件，则只需f(1)F(3)W0即可.r(-l)f(3)=(l3w+2+z-l)(9+9a-6+a-D=4(l-a)(5a+l)0.所以aW：或al.检验：(1)当(一1)=0时，a=l.所以f(x)=V+x令f(x)=0,即V+=o,得X=O或X=-L方程在1,3上有两根，不合题意，故(2)当f(3)=0时，女=一士止匕时F(X)=X2警xg.5551Q公令f(x)=0,即X-X=09559解之得X=£或X=3.5方程在1,3上有两根，不合题意，故a#：综上所述，aVJ或a>L3关于X的一元二次方程f2a+a+2=0,当a为甚么实数时有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间;有一根大于2,另一根小于2；在(1,3)内有且只需一解【答案】H=2或言W水3.【解析】设f(x)=x-2ax+a+2,=4/4(a+2)=4(才一a2)=4(2)(a+l).1>0,(1)由己知条件Vx+x2=2a>0,解得於2.、汨用=a+2>0,>0,211由已知条件:解得2<a<-/(1)>0,5J>0,由己知条件r(2)<0,解得a>2.(4)由己知条件r(l)3)<0解得餐水3.117检验：当F(3)=0,W=W"时，方程的两解为X=Fx=3,当F(I)=0,即a=3时，方程的两解为x=l,x=5,可知日W水3.当d=0,=<3 2. l<a<3即a=2时F(X)=-4x+4=(x2)?方程的解Xl=至=2.a=2,综上有a=2或UWa<3.5【拔高】I已知二次函数f(x)=+bx+c,当-lxl时，有-l(x)l,求证：当一2x2时，有-7(x)7【答案】见解析【解析】由题意知：/(-D=+CJ(O)=Cj(I)=4+C,由一lxl时，有一lf*)1,可得(1)1,(-1)1,(0)l.(I)若-2走-2,2,则/在-2,2上单调,故当x-2,2时,2aJ此时成绩获证.若-F-2,2,则当r-2,2时,(x)ma=max(-2),(2),f)又b1 c4。+尚隹跑+|部AI) -/(T)4l + 2-= 2<74课程小结1 .函数零点的求法：(代数法)求方程AX)=。的实数根；(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.2 .学习二次函数，可以从两个方面动手：一是解析式，二是影像特点.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，；从影像特点出发，可以完成数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(普通式、顶点式、零点式等)，所以，在解决二次函数的成绩时，常常借助其解析式，经过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.(1)二次函数的普通式y=2+b+c(CWo)中有三个参数白,c.解题的关键在于：经过三个独立条件“确定”这三个参数.(2)数形结合：二次函数AX)="Y+"+c(w)的影像为抛物线,具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些影像特点解决有关二次函数的成绩，可以化难为易，抽象直观.由于二次函数f(x)=ax2+bx+c(aH0)在区间(-,-和区间,+)上2a2a分别单调，所以函数/(x)在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数|/(刈在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.课后作业【基础】1 .已知函数F(X)=X,+x+a在区间(0,1)上有零点，则实数。的取值范围是【答案】(一2,0)由已知条件【解析】函数x)=x+x+a在(0,1)上递增.0)(l)<0,BRa(a+2)<0,解得一2<水02.函数F(X)=<X +2X3,2 + ln x,XWOx>0的零点个数为().A.3B.2C.7D.0【答案】Bx<0, x +2-3=0【解析】由f(x)=0得x>0,9_.1_解得x=_3,或x=e.2+lnX=0,因而函数F(X)共有两个零点.3.函数F(X)=Iog3x+x3的零点必然在区间().A.(O,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【解析】函数f(x)=log3x+-3的定义域为(0,+o°),并且在(0,+8)上递增连续,又F(2)=log32IVO,f(3)=l>0,，函数f(x)=Iog3x+x3有独一的零点且零点在区间(2,3)内【巩固】21.已知函数fx)=x+2e-÷t1,g(x)=x+±(x>O,其中eX表示自然对数的底数).(1)若g(x)=%有零点，求力的取值范围；确定方的取值范围，使得g(x)-F(X)=O有两个相异实根.【答案】(1)zz2e(2)方的取值范围是(一e2+2e+l,+)2【解析】:g(x)=x+*22=2e,等号成立的条件是x=e.故g(x)的值域是2e,+),因而只需加N2e,则g(x)=/就有零点.(2)若g(x)f(X)=O有两个相异的实根，即g(x)=F(x)中函数2g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)=x+±(x>0)的图象.Vfx=-X+2ex+t-=-(x-e)*+l+e2.其对称轴为x=e,开口向下，最大值为1-l+e2.故当tl+e2>2e,即分一/+2e+l时,g(x)与F(X)有两个交点,即g(x)-F(X)=O有两个相异实根.，方的取值范围是(-e2+2e+L+).2.已知函数f(x)=ax-2ax+tia-在区间(一1,1)上有一个零点.求实数a的取值范围；若a=百，用二分法求方程F(X)=O在区间(一1,1)上的根.【答案】(1)l<a<2.(2)F(X)=O的根为)乙【解析】(1)若。=0,则f(x)=4与题意不符，a/0,r(-l)/(l)=8(a-l)(a-2)<0,l<a<2./、什32E/、32364I28(2)右a=,则f(x)28r(-)>o,D<o,(0)=万>0,/n1零点在(0,1)上,又45=0,上X)=O的根为：3设函数F(X)=:xInx,则函数F(X)()OA.在区间11,(1,e)内均有零点B.在区间11内有零Iej点，在(1,e)内无零点(1(I)C.在区间11,(1,e)内均无零点D.在区间1内无零e7Ve7点，在(1,e)内有零点【答案】D【解析】7I=5E=5+1>OJ(1)=/«)=；-IneVo【拔高】1.已知函数/(幻=2匚晟.(1)将y="x)的图象向右平移两个单位，得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的解析式；(2)函数y=(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=l对称，求函数y=(x)的解析式；(3)设F(X)=If(X)+心),已知/(X)的最小值是加且机>2+77,求a实数的取值范围.【答案】g(x)=/(x2)=2，”一券；(2)MX)=2-2皿+合；(3)<a<2.2【解析】g(x)=f(x-2)=2x-2-券S设y=依)的影像上一点Pgy),点PCU)关于y=l的对称点为(x,2-y),由点Q在y=g(x)的影像上，所以2一一券=2一门因而y=2-22+号,即正)=2-2一+券；（3）F（x）=-f（x）+（x）=2+（4；J）+2.aa42设好21则尸（X）=上人色二l+2.44t成绩转化为：土乌+虻l+2>2+7对"0恒成立.即4t土32-匹+（44-1）>0对经0恒成立.（*）Aa故必有j>0.（否则，若三<0,则关于，的二次函数4a4。=土卫产-标+（4a-1）开口向下，当f充分大时，必有（。<0;而4。当j=0时，明显不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数4。=宁一四+（4T）的对称轴”工>0,所以，成绩等价于8。j0z<0,即4a_,7-4（4d-l）<04。解之得：-<a<2.2此时，j>o,4-l>O,故产（X）=X+止1+2在/=伊）取得4a4atV4-67最小值m = 2F(4"l) + 2满足条件 4a2.若方程产号="（12）+3有两个不等的实根，则力的取值范围是（）5） 邛，同ri BQ 3j(5 3D-旧4【答案】D【解析】作出函数=新4_仁和%=4（-2）+3的图象，函数71的图象是圆心在原点,半径为2的圆在X轴上方的半圆（包括端点），函数%的图象是过定点尸(2,3).的直线，点A(-2,0),%弓.直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，堆细1=2,得+1,_5%=谈由图可知当时，两汉书影像有2个交点，原方程有两个不等实根，故选D.