热点5-2等比数列的通项及前n项和（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点52等比数列的通项及前n项和主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。题型1等比数列的基本量计算dZY题型4等比数列前n项和性质应用题型2等比数列性质的应用o等比数列的通j±±->题型5等比数列的判定与证明项及刖n项和题型3等比数列单调性及应用CI/题型6等比数列的实际应用【题型1等比数列的基本量计算】满分技巧等比数列的运算技巧1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量m,q,S其中首项和公比夕为基本量，且"知三求二"，常常列方程组来解答；2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如/,3都可以看作一个整体。1一夕【例1】(2024.全国模拟预测)已知正项等比数歹1仆的前项和为SrJ.若4。：一34%=0,S4=15,贝U*023=()A.22023-lB.22022-lC.22023D.22022【答案】A【解析】设正项等比数列4的公比为q(q>Q). .-4La6=0,工(-他)(4+0)=0. ,4>0,%-%=0,故F=d=4,解得夕=2（舍负值）,a44（1-力-q1-2=15_/23 4=，S2023=÷7=22g-l.故选：A.12【变式1以2024.全国模拟预测H知正项等比数歹uqr的前项和为s”若一44：一3。必+24-8q=0邑=15,则Sz023=()D . 22022A.22023-lB.22022-lC.22023【答案】A【解析】由题意，设正项等比数列4的公比为4（9。）,Vc-4J-346+2a6-84=0,（t-4¾）（t+4+2）=0.4>0,¾+¾+20,.4-44=0,.f=d=4,解得q=2(负值舍去),a44 (I-V)1一4q()1-2= 15"=151_720234=1,=-=22023-l.i½：A.12【变式1-2】（2023辽宁高三统考期中）已知4为等比数列，其公比9=2,前7项的和为1016,则log23%）的值为（）A.8B.10C.12D.16【答案】C【解析】依题意，S7=%21=1016,127«=1016,解得4=8,因此4=22，71-2所以隰34）=隰（2'27）=1吗2|2=12.故选：C【变式-3(2023四川雅安统考一模)在等比数列%中，若506111111a3+a4+as+a22l+2022÷2023=2024,则:十7+丁+；-+-等于()。3a4a52O21a2O22fl2023A.1B,2C.3D.4【答案】D【解析】等比数列%,若4=1,则”=廓或凡=-506,验证不成立；故”1ta4a2022=aq"'=506,a3+a4+a5 +“2021+a2O22+a2O23=4夕-；=2024,Ira 21-2021 两式相除得到4' "，/"Zl 2 2024 一今%q【变式l-4(2023全国模拟预测)已知正项等比数列q的前项和为S-若6=1,9SLIoS2=O,则SL()a134012180A.B.一C.-D.9278127【答案】C【解析】设等比数列4的公比为4,当4=1时，9S4-1052=36a1-20al=6ax0l不符合题意，(注意对4=1情况的讨论)，所以9工1,由9510由=。得9x(匕叫=K)Xq)一夕,得q=！l-q-q3(注意等比数列/为正项数列，故乡。)，因此&=吐上省.辘C5-q118113【题型2等比数列性质的应用】iW的一1、等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2、应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质,特别是性质“若A+/=加+伏,相,"N«),则有akal=a,nJ,可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【例2】(2023湖南永州高三校考阶段练习)在等比数列%中，若G=IO,则Igq+%=()A.1B.2C.10D.100【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，%=W=100,所以Igq+lg%=lg(q%)=lgl00=2.故选：B【变式21I2O23全国模拟预测月知正项等比数列4的前项积为此目M2024=3M刈9若2=陶%,则"1023+b302l=()1231A-ib?c?0-3【答案】B【解析】:“2024=32019/*2O192O2O212O222324=20191*a2020a2021a2022a202324=3，25z1Xa2(n0a2024=a2(na2Q23=¢,2O22,“2022=3,得。加，=?'l12:023+2!=l°g3423+bg31=1083(4。23%02J=1g32=lg.335=故选：B.【变式2-2(2023陕西校联考模拟预测)等比数列叫满足：4>0,9>0吗6饮必=32,则/+6的最小值为.【答案】4【解析】依题意，等比数列4满足：ax>0,g>0,aiaia5a1a9=32,所以C=32,4=2,且勺>0,所以a2+&N2az=2&=4,当且仅当%=%=2时等号成立，此时q=2.所以生+6的最小值为4【变式23】(2023.江苏淮安高三校联考期中)已知数列6是正项等比数列，数列也满足a=log2%若=2。，贝岫+a+仄+4=()A.24B.27C.36D.40【答案】B【解析】数列4是正项等比数列，华8=d,由a2a5a8=2，得6=2。，得6=8,bl+b2+=log21+log2t2+log2a3+log2<9=Iog2(ca2ai«9)=1。82(的9)34)3%)(。4%)/=1。82(的9)34)3%)34)%=Iog2)()()a5=log2=91og25=91og28=9×3=27：B.【变式2-4】(2023.安徽六安.高三六安一中校考阶段练习)已知函数/O)=岛，数列4为等比数列，%。，112=1,/(lnizl)+(lna2)+(ln03)+÷(ln2023)=.【解析】因为加岛，所以“*)+)=W+SrL又因为数列4为等比数列，q>。，2=1所以42023=。242022=2=1,所以Inq+In限=In%+In2=21n1012=0设S2023=/(Inq)+/(ln%)+f(ln%)+/(Ino2023)则S2o23=(ln23)+(ln0222)+(ln022j+(ln4/2023由+得：2S2023=2023所以S223=华【题型3等比数列单调性及应用】满分技巧等比数列前项和的函数特征1、S”与q的关系(1)当公比"1时，等比数列的前项和公式是5=L，-q它可以变形为S“=3-丹/,设A=3,则上式可以写成SzI=A-A/的形式，I-<71-q-q由此可见，数列Sn的图象是函数y=A-Aq'图象上的一群孤立的点;(2)当公比9=1时，等比数列的前项和公式是S.二叼，则数列的图象是函数y=qr图象上的一群孤立的点。2、S“与明的关系当公比夕工1时，等比数列的前项和公式是SzI=牛，它可以变形为S=-3-an-q-q-q设A=-二，8=3,则上式可写成Slt=A,r+B的形式，则S”是册的一次函数。-q-q【例3】(2023福建厦门高三厦门第二中学校考阶段练习)已知等比数列2的前项和为S”，前项积为，则下列选项判断正确的是()A.三S2022>S2021,则数列4是递增数列B.若加2>加一则数列qJ是递增数列C.若数列母,是递增数列，则限2%)2lD.若数列区是递增数列,则%【答案】D【解析】对于A中，如果数列4=7,公比为-2,满足S2g>S202,但是等比数列qJ不是递增数列，所以A不正确；对于B中，如果数列Jq=I,公比为-g,满足弓2>加一但是等比数列4不是递增数列，所以B不正确；1（一）”对于C中，如果数列4=1,公比为:，可得工=-=2（1-.），2数列，是递增数列，但是2022<42以，所以C不正确；对于D中，数列，是递增数列，可知（>7L,可得勺>1,所以,可得“2022-%O2I正确，所以D正确；故选：D.【变式31】（2023.广东佛山统考一模）等比数列4公比为夕（夕工1）M>0,若q=。化4（"N）,则“是''数列4为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为等比数列6公比为夕,所以<=q=q（aq）（40"）=味4'+"+"T=小夕2'当4=（m=2时，7；=1f7；=1,显然数列4为不是递增数列；当“数列为递增数列”时，有好>n.因为4。，所以如果。<0,例如4=1，4=-1,显然有4=1,n=T,显然数列4为不是递增数列，因此有4>,<7>,r¾（n+l）Tn+l9所以由加乜=于L=q=4">,当/l,q>l时，显然4>1对于NN'恒成立,当ql,0<9<l时，4>1对于NeN*不一定恒成立，例如4=2,夕=；;当Ovq<1a>1时，%q">1对于NWN"不一定®立，例如勾=；,q=g；当O<%<l,O<q<l时，4W>1又寸于NCN"恒不成立，因1F>1''是数列优为递增数列”的必要不充分条件，故选：B【变式3-2】（2023湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习）（多选）设等比数列q的公比为4,其前项和为S”，前项积为丁且q>l,a6a7>l，三<。，则下列结论正确的是（）a7lA . 0<”1【答案】ABDB . O<a7a < 1C. S”的最大值为S,(I【解析】A项，且%>l>0ng>0,而七<°=4-1和%1异号.%T由于6>1知外T>0,a-<,即4>1,%<,°<夕=,<1,故A项正确；«6B项，从前面的求解过程知q>1,o<4<,说明勺是单调递减的正项等比数列，且。</Vl,所以O</<l,那么0v%/Vl,故B项正确；C项，q是正项数列，S”没有最大值，故C项错误；D项，从前面的分析过程可知可前6项均大于1.从外起全部在(OJ)上.所以，的最大值为"，故D项正确，故选：ABD【变式3-3】(2023云南曲靖高三曲靖一中校考阶段练习)(多选)设等比数列q的公比为4,其前项和为S“，前项积为，且满足0<4<1,生叱。2023>1,0-%3)G7)>0,则下列选项正确的是()A.为递减数列B.S2on+I<$2023C.4m是数列1中的最小项D.当7>1时，的最小值为4045【答案】BC【解析】因为0<%<1,限。的>1n的>1,所以q4tm>3>1n4>1,贝U“各项为正数，a所以T=q>ln%>外,即%为递增数列，A错误；xn由A项及(1-a2(X>2)'(23-1)>。可得%022<】<。2023,则1<232G22l故B正确；由上可知4<生<<嗅2<1<的)23,故呼I*02?*,即C正确；/2022,2023丁。2023<,2023由a2G22,a2O23=a'6,4044>1=44=(a2O22，fl202?)'>1，显然的最小值不为4045,即D错误.故选：BC.【变式3-4(2023全国高三专题练习I多选)已知等比数列4满足6>0,公比”1,且4%o2vl,6出)22>1,则()A.o22>lB.当=2021时，4%。”最小C.当=IOll时，4%q最小D.存在VlOlI,使得。,4“=q.2【答案】AC【解析】对于A,F>(),”1,刈>0,又卅2出财<1,%2>1,故A正确;对于B,C,等比数列4满足4>0,公比”1,4=4/>0,誓=4>1,4>0,4.>4,.”为递增数列，%由等比数列的性质I。2021=。2“2020Z="ll"ll2="1011，又aa2''"a2Q2<t,'aai,02O2I=011,<1,勺>0/.0<loll<1,0202022=4a2021=-.=401101013=4012/tta2'*2022>,a2a3a4,“2022>,*a2a3a4,a2022=。抵>一,44八八1IV6f,6f2<1,a1>0,q>,.,0<4<l,贝!1丁>1,aI202If,2"304*a2O22=。1012>>1，即ao2>1,aq为递增数列，故当=IOlI时，%勺最小，故B错误，C正确；对于D,当VlOll时，an<ai0ll<lq为递增数列，:七4山<<勺+2,故D错误.故选：AC【题型J等比数列前项和性质应用】满分技巧等比数列前项和的性质(1)在公比#一1或夕=T且为奇数时，S-S2w-S,53n-S2,仍成等比数列，其公比为夕"(2)对VSN'，有SE=SZn+3；S(3)若等比数列%共有2项，贝!jf=4,其中S偶，S奇分别是数列%的偶数项和与奇数项和；J奇(4)等比数列的前项和臬=#-一产q",令k=,则S,=Z-%q”(k为常数，且4工0,1)l-q-q-q例4(2023.陕西榆林.高三校考阶段练习)已知各项均为实数的等比数列q的前项和为S.，若5lo=IOS30=70t则S40=()A.150B.140C.130D.120【答案】A【解析】设等比数列凡的公比为夕，在等比数列q中，由SH)=IO,S3o=70可知9工-1,所以SW,S20-SK),S30-S20,S40-S30构成公比为q'的等比数列.所以(S2。-SH)2=SH)(S30-S20),BP(S20-IO)2=1O(7O-S2o),解得S2。=30(负值舍去).S70S,o3010,/、因为=fTT=2=/，所以S40-S30=2(S30-S2o)=8O,邑°=Sr+80=150故选：AJlOIU【变式44I2023河:IbS家庄高三统考期中H知数列q是等比数列S为其前项和若4+%+%=3,a4+ai+at,=9,则几=()A.27B.39C.81D.120【答案】D【解析】由题知，¾=3,56-S3=9,因为数列邑应-S3,S9-Se,5?一风成等比数列，所以$9-1=27,S2-S9=8l,PJiU2=59+81=S6+27+81=53+9+27+81=120：D.【变式4-2（2023云南昆明高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列“的前项和为Sn三4m=（）A.8B.9C.16D.17【答案】A【解析】设S4=x（x）,则Sg=4x,因为q为等比数列，所以5,品一舟,£2-58，1一品仍成等比数歹1.易知,咛二3,所以512-58=3(¾-54) = -512=3(512-S8) = 27恪2=13XS16_40x516=40x,S4+S8x+4X.故选人【变式4-3】（2023河北保定高三保定市第三中学校联考期末）（多选）已知数列4为等差数列，公差为d；数列a为等比数列，公比为。，则下列说法正确的是（）A.存在d和q,使得q=包.B.若3为%的前项和，则S-SLS-Syn-S2n,L成等差数列C.若7；为例的前项和，则口T2n-n,Tyn-T2ntL成等比数列D.当包0时，存在实数4使得Ad="【答案】ABD【解析】对于选项A:例如4=0力=1,4="=1,故A正确；对于选项B:因为%）“-Sfel=ahl+i+%+2+%+=4+或+%+WW+4+板/=S.+M叔）,壮N”所以S”，52rt-Sw,S3rt-S2w,L成等差数列，故B正确；对于选项C：例如H=(T)",则q=A+4=7+1=0,可得，,T2n-Tn,T3n-T2n,L不一定成等比数列，故C错误；对于选项D：因为数列4为等差数列，设勺=析+b,又因为">0,则A>0,g>0,令A=bj>O,4=gZ>0,则Aa""二仇I/=eI=biqnl=bnl即存在实数4。使得AY"=2,故D正确；故选：ABD.【变式4-4(2023安徽高三怀远第一中学校联考阶段练习)记S.为等比数列q的前项和，Si.=ISe.(1)若无=12,求S”的值；(2)若>0,求证：S611+6>2S611.【答案】(1)60;(2)证明见解析.【解析】(1)设等比数列凡的公比为夕，因为几=7§6,所以"1,2=56+56=56(l+<76)=12,所以SfWO,故$6,S2-S一凡-弗成等比数列，且公比为，所以S8=S6+(Sn-S6)+(S8-S2)=S6+g6S6+d2s6=7S6,整理得S6(，2+g66)=0,因为$6工。，故/2+/-6=0,解得d=2,所以§24=S12+区厂S2)=S2+°l-Si2=S2(l+4ll)=5S2=60.(2)因为&>。,所以VHT,由(I)知，/=2,因为数列之几-S6,S8-S.,%6-S6”是以$6为首项，/为公比的等比数列，所以S66=S6+(品一S,J+(品一心)+(SdS6zt)=I±2)=S6"+6一S6=2S6“'S61-q又56”+6-56”=56'(成)”=&乂严，则S6"+6=2S6f-S6<2S64=2(S66-SG,所以S6.6>2S6.【题型5等比数列的判定与证明】满分技巧1、定义法：=<7为常数目400)=数列伍"是等比数列.2、等比中项法:+1=tz+2(wNO)。数列qj是等比数列.3、通项公式法：4=均”(四0,"N*)。数列%是等比数列.4、前n项和公式法：若数列的前项和Sft=-Aqn+A(A工()国0,q1),则该数列是等比数列.其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中.注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.（2）只满足4用=44gWO）的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要40【例5】（2022新疆统考一模）在数列叫中,6=1,%=2,且嗫=3-+¼,.（1）证明：%+%是等比数列；（2）求数列q的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）=4z",÷（-【解析】（1）由凡+2=3。川+4。”得：%+%=4（%+4）,且%+4产O,an+an则；J=4,又=3,4+1十Un所以数列qx+4是首项为3,公比为4的等比数列.（2）由（I）知：/+a”=3+*x4"T=34",又am+向=34",则az/=%,当为奇数时，（=4+（%-4）+（4-）I4"-342彳O=l+9（l+42+4-3）=I+9-=-.4',÷-,vf1-4255当为偶数时，4=34"-=g4"一羡牡”L【变式5-1】（2023.上海.高三校考期中）已知数列4的前项和为5一且5“二-2。"+5，为正整数.（1）证明：,7是等比数列；（2）求数列佃,的通项公式及其前八项和Sn.【答案】（1 ）证明见解析；（2）4=1 +Si-2.自 +3【解析】（I）因为5“=-2%+5,所以当=1时，Ol=E=I-%+5,解得=2,Jiya1-I=I,当2时，Sn=n+-2art+l+5,两式相减可得:%+=I-2%+2anl即可得3(%-1)=2(%-I),显然fl-lO,即fM=可，an1”所以q-I是首项为1,公比为g的等比数列.-l所以 S"二 一 2q,+5 = "-2+ 5 = 一 2.图 ÷3.【变式5-2（2023重庆高三重庆一中校考阶段练习）记S”为数列,的前项和，Tn为数列S.的前项和，若4=2且a”+】=2Sz,+2.（1）证明：数列设”+1是等比数列；（2）若7；>39-成立，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）4【解析】（1）由%=2Sfl+2可得S"S”=2S.+2,即S川=3S,+2,即“+1=30+1）,而E+1=3,所以S“+1是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知Sfj+l=3x3",即S"二3"-1,23(13")3n+,3=S1+S2+r=3,-l+32-l+3n-l=-n=-n-1322由74>39-可得j>39-w,整理可得3"">81,解得>3,因为£W,所以的最小值为4.【变式5-3（2023.福建厦门高三厦门外国语学校校考阶段练习）设S”是数列依的前项和，已知4=1，%（1）求知,并证明：陆厂2是等比数列;（2）求满足邑”>0的所有正整数.7【答案】（1）4="证明见解析；（2）1,2【解析】（I）由=1可得%=9+I*,517所以。3=%2><2=一彳，可得%=j%+3=；224由已知得知+2=；生川+2+1=g3”-4）+2+1=g生”+1,所以%+2-2=g（%,-2）,31其中“2=5，。2-2=一万工。f所以%,-2是以-g为首项，3为公比的等比数列；(2)由(1)知%-2=所以%,=-(g)+2,%=6-4-(g),所以 a2n- + a2n = 8 - 4 - 3 所以S2“=(%+%)+(%+/)+÷(,-l+%)二8- 4(1 + 2+ +n-2n2 +6-3 + 3x(；)+ - + 3× 2由二次函数及指数函数性质可知当2时，S"单调递减,5721其中邑=*="6=4L，Z4o所以满足S*>O的所有正整数为1,2.IS1Q【变式5-4】(2023云南曲靖高三校考阶段练习)已知数列&满足，.=铲“+2+:，且生=丁(1)证明：数列M3+2为等比数列，并求出数列q的通项公式；(2)求数列应的前项和7；.【答案】(1)证明见解析，a”=(gj'+3-2；(2)t=+【解析】(1)因为川=；6+2+(,1513令=1,则4=铲i+2+§=,解得q=2f则q-3xl+2=l0,目3("+l)+2"+2"沁+1)+2M-3+2),an - 3+ 2an -3«+ 2an -3/1 + 23可得数列包-3+2是以首项为1,公比为g的等比数列，即4=(g)+3n-2.r-1I +3-2(2)由(1)可知：%=(?+3-2,贝心(1+1)+(1+4+7+3-2)+I+；+,)+,+(；)所以八号1+"-(l-3n2-n 3 =+ -22(l + 3n-2) 2【题型6等比数列的实际应用】【例6】(2023.山东青岛青岛第五十八中学校考一模)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层,每一层的''浮雕像”个数是其下一层的2倍,共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列%,则1。82(6)的值为()A.8B.10C.12D.16【答案】C【解析】从最下层往上,'浮雕像''的数量构成一个数列6,则“是以2为公比的等比数列，.$7=驾Za=IoI6,1274=1016,解得q=8,所以=8、犷，12.Iog2(a3)=Iog2(8×22×8×24)=12.故选：C.【变式6-1(2023广东广州统考三模)小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入IooO元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存IOoO元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为，不考虑利率的变化.在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数(单位：千元)为().A(1+小(1+7)BO+城-(1+7。)PP2c(1+(1+同(1+70D(1+)8-。+同(1+7)PP2【答案】D【解析】设第年的存款到取出时的本息和为乙(千元)，=1,2,3,4,5,6,则4=(l+p)6,6t2=2(l+p)5fg=3(1+p)',4=4(l+p)3,a5=5(l+p)2,6=6(l+p),所以小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数为：5=(1+2(l+p)5+3(1+“J+4(1+p)3+5(l+p)2+6(1+p)所以T-S=(I+pf+2(l+同4+3(l+p)4(l+p)2+5(l+p)+6,所以IS=(I+py+(+p)5+(+p)4+(+p)3+(+p)2+(+p)-6,所以÷S=9邛-6,+p>(+p)所以S+/Tadis60+)=)W匕或),故选：D.P2P2【变式6-2(2023湖南校联考模拟预测)已知某公司第1年的销售额为«万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的12倍，则该公司从第1年到第11年(含第11年)的销售总额为()(参考数据：取1.2"=7.43)A.35.15.万元B.33.15万元C.34.154万元D.32.154万元【答案】D【解析】设第i(i=L2,11)年的销售额为4万元,依题意可得数列q(i=12-U)是首项为4,公比为1.2的等比数列，则该公司从第1年到第H年的销售总额为匚2")=(1.2-7)=(7.437)=32.15万元.1-1.20.20.2辘：D【变式6-3(2023.安徽高三马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)0.618是无理数与1的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，ABC是顶角为A,底8C=2的第一个黄金三角形，gC4是顶角为4的第二个黄金三角形，ACMC是顶角为G的第三个黄金三角形，VB?CG是顶角为生的第四个黄金三角形L,那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约C . 4.472×0.6182021D . 4.472 × 0.6182022【答案】D【解析】第一个黄金三角形MBC的底为5C=2,由瞿=与1得腰长AB=K-I=AC,BC2记第个黄金三角形的底边长为，当2时，第n-l个黄金三角形的底边长为，腰长为与Ia小，而第个黄金三角形的底边长/为第n-l个黄金三角形的腰长，则可=与Iaz,因此，各个黄金三角形的底边长依次排成一列得数列,，是首项为2,公比为与！的等比数2列，第个黄金三角形的底边长=2x(与1严，腰长为与L“=2x(专与，周长为为+2x"q=2x(个)”-+4x(专)“=(铝)Z(2+4x铝)(2+4×0.618)×0.618"T=4.472×0.618,所以第2023个黄金三角形的周长大约为4.472x0.618政2.故选：D【变式6-4(2023.山东.统考一模)假设某市2023年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中、低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万平方米.求：(1)截至到2032年底，该市所建中、低价房的面积累计(以2023年为累计的第一年)为多少万平方米？(2)哪一年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?【答案】(1)4750;(2)2028【解析】(1)设中、低价房面积构成数列4,由题意可知4是等差数列，其中q=250,J=50,贝IjS“=250+X50=25/+225，所以SH)=4750,所以截止2032年底，预计该市所建中、低价房的累计面积为4750万平方米.(2)设新建住房面积构成数列他,由题意可知也是等比数列，其中=400,4=1.08,则勿=400x(1.08严，由题意可知4>0.85,所以250+(w-l)×50>400×(1.08)-'×0.85,化简得到：+4-6.8xl.08"i>0,令Se)=ZZ+4-6.8xl.08"T,则Se)-S(-I)=I-0.544xl.08"-2,当6时，l-0.544×1.08rt-2>l-0.544×1.084>l-0.544×l.I4>l-0.544×1.5>0,故Se)在1,2,3,4,5,6上为增数列，ff(5)=9-6.8×1.084<9-6.8×1.162<9-6.8×1.34<0,而s(6)=10-6.8x1.08,=10-6.8×1.085=10-6.8(l+5×0.08+10×0.082+10×0.083+5×0.084+0.085)=0.48-(0.07836+34×0.084+6.8×0.085)>0r故满足上述不等式的最小正整数=6,所以到2028年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.限时检测（建议用时：60分钟）1.（2023甘肃天水高三校联考阶段练习）在等比数列对中，2%+%=5,4q+2%=80,则=（）A.1B.4C.D.242【答案】B【解析】设等比数列”的公比为“因为4q+2%=80,所以26+4=40,所以（为+%）=4O,即5/=40,解得夕=2.所以2q+2q=44=5,解得q=不故选B2（2023安徽合肥高三合肥一中校考阶段练习）三正项等比数列q中若4+%+%=18,7+7+/=2cClj则，:（）A.IB.2C.3D.23【答案】C【解析】因为叫为等比数列，所以-=W,111a.+,1a.+a1+a.18-,故工+丁+；T=七寸+；-/>=2，所以4=9，qClClyClGyCl?ClCl）又出>0,所以生=3.故选：c3.（2023河南高三校联考阶段练习）在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人第4天与第5天共走的里程数为（）A.24B.36C.42D.60【答案】B【解析】设第天走的里程数为。一其中l"6wN,由题意可知，数列%是以勾为首项,；为公比的等比数列，所以L'）=378，解得4=192,1-2所以此人第4天与第5天共走里程数为4+%=192x6j+192x（；j=36.故选：B.4（2023四川高三校联考阶段练习在等比数列6中，4"9=8,%q%=24则/9。4=（）A.48【答案】B【解析】设等比数列4的公比为夕，又,能6。二24,a.a'a1224C所以:q二0=3,得至叼2=3,cl-Ct2-CAo又？丁？二学，所以的%4=3x24=72,故选：B.z.Gna>on+15.（2023黑龙江哈尔滨高三哈三中校考期末）若数列也满足4.产二不（O且T）,则笠一1.an十Dfl2O23+1与笠的比值为（）aV）22A.IB.C.2D.3【答案】D【解析】，由4/0，则凡kO,一124+3r3在等式式两边同取倒数得，=-=2÷-,+lanCln在两边同加1得，也包=3+a=3"l,。口a”%+1又T,则外+1工0,则有房丁=3,则数列"4是公比为3的等比数列.则誓士!与誓见的比值为3故选：da2O23a-2O226.（2023.全国.模拟预测）设等比数列qr的前项和是S”.已知=30,S6=12。，则1二（）A.13B.12C.6D.3【答案】A【解析】方法一因为§3=30,邑=12。，所以S3=4+/+4=3。，§6=4+/+%+/+4+%=120,所以S6-S3=4+g+4=90,所以炉=:：，：?=3.Cit,IL4S390又生+4=90xq3=270,得Sg=30+90+270=390,所以言=13.故选：A.O%DU方法二因为§3=al+a2+a3=30S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=1