热点5-1等差数列的通项及前n项和（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点5等差数列的通项及前n项和主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。题型1等差数列的基本量计算题型2等差数列性质的应用题型3等差数列单调性及应用题型4等差数列前n项和性质应用题型5等差数列前n项和的最值问题题型6含绝对值的等差数列求和题型7等差数列的判定与证明题型8等差数列的实际应用【题型1等差数列的基本量计算】满分技巧I、等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量,a,lldlnlS111知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想.2、数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换的作用，而0和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法.例l(2023四川乐山统考一模段等差数列qj的前项和S.,若邑=9£=36,则/+%+%。=(A.63B.51C.45D.27【答案】B【解析】由题意知等差数列6中，邑=9,$6=36,设首项为6,公差为d,3x23al+-d=9f1+=3贝",即5,_X6×5.勺幺clHd=6a.+J=3612,2I故4+%+4。=34+241=51,故选：B【变式1-1（2023全国高三校联考期中）记等差数列叫的前项和为S”，若$=51,q=15,则%的公差为（）13A.-B.-1C.-D.-222【答案】C【解析】设等差数列4的公差为d,因为17=51且=15,可得17q+W&=17xl5+U/d=51,解得d=-.故选：C.【变式-2(2023广东广州高三广雅中学校考阶段练习)已知数列%(£N')是等差数列，S0是其前项和.若a2a5+%=。,Sg=27则的值是()A.1B.-1C.-3D.-5【答案】C【解析】设等差数列的公差为"，丁)+"+7"一°，解得4=-5,d=2,所以=4+d=-3.故选：C94+36d=27【变式1-312023湖南衡阳高三衡阳市八中校联考阶段练习月知等差数列的前项和为S”若生=35&=1。，则4=.【答案】0【解析】设数列%的公差为d,由已知有6+d=3,S4=¼÷6J=10,解得q=4,d=-,所以外=4+4d=4-4=0.【题型2等差数列性质的应用】满分技巧1、在等差数列知中，当*时，d二四二&为公差公式,利用这个公式很容易求出公差，m-n还可变形为am=an+(m-ny)d.2、等差数列%中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3、等差数列%中,若m+n-p+/510all+am=ap+aq(n,m,p,N*)f特别地,若m+=2p,则an+am=2ap.【例212023全国模拟预测后知等差数歹j,1的前项和为S”，6+24+43=120贝耳5必=()A.60B.120C.180D.240【答案】C【解析】根据等差数列下标和性质可知。3+2%+%=24+2/=46=120,得=30,所以一一5%="0；即-)-5%=114-5%=6%=180.故选：C.【变式2-1（2023山东济宁高三统考期中）设等差数列q,的前项和为S一已知名+%=18,4+4+4=21,则Sg=（）.A.32B.64C.80D.128【答案】B【解析】因为q是等差数列，所以/+%=2%=18,则%=9;又出+%+牝=34=21,则包=7；则§8=细/=4（&+%）=4xl6=64.故选：B.【变式2-2（2023上海高三校考期中）已知数列噢3叫是等差数列，氏3%÷logs4+1%=8090贝Utt2O23=【答案】9【解析】因为数列10g3q是等差数列，所以Iog34+Iog3g+Iog35=8090,所以l0g34+陛3叫=2Iog33=4,所以叫3生023=2f所以）23=9.【变式2-3（2023河南高三校联考期中）（多选）记等差数列4的前项和为S一则根据下列条件能够确定L的值的是（）A.I=10B.a4+ag=10C.7=10fS13=130D.57=100,S14=300【答案】AD【解析】S"=m+?21=驾包=2皿一所以A正确,由于。4+。19="II+a2I结合S?=2IqI,所以B错误，对于C,%=10,又=号凶2=网芽=13%,故C错误，对于D,SM-S7=300Ioo=200=%+%+即=/+%+a1+ld×l=100+49,S1=al+a2+%=100,所以49=100,又S2-S14=i5÷i6+a2=+«2+%+14dX7=100+200=300,所以S2=Ss+300=600,故D正确，故选：AD【题型3等差数列的单调性及应用】满分技巧当公差工O时，等差数列的通项公式为=+5TM=M+"是关于的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d>°,则为递增数列，若公差d<°,则为递减数列.【例3】(2022广东惠州统考一模)设等差数列%的公差为d若勿=2/厕"d<0”是“%<"("N)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若“<0,则*-4=d<0,即3%,.2<2册,BP÷<,所以充分性成立；必要性：若心1<,即2%V2%,，凡“”，贝!。+勺=<0,必要性成立.因此JZ0”是“<媒的充要条件.故选：C.【变式31】(2023.吉林白山.抚松县第一中学校考模拟预测)若等差数列qj的前"项和为S”，且满足S*>0，S*<0,对任意正整数，都有同,贝”，的值为()A.2020B.2021C.2022D.2023【答案】C【解析】依题意S4w=4043(?a.)=4043t>。，、2>，又S*J044Sj44(M4)V0,BP«1+4<0,贝1|。2022+。2023<。M3<,fi2<l3,所以等差数列。为单调递减Ia>a2>'">¾Q2>a2022>0>电023>“2024>，所以对任意正整数，都有同M,则，=2022.故选，C.【变式3-2(2022湖北襄阳.高二校考阶段练习I多选股等差数列%的前项和为S”，若品<Sq<S10,则下列结论正确的是()A.数列叫是递减数列B.4o+%<OC.当19时，S“<0D.516-S4<0【答案】ABCD【解析】若SUVS9<So,可得Su-Sg=%+4o<O,So-S9=4°>(),可得B正确；%<。d<0故数列为递减数列，故A正确；因为4o+对<。，所以%=4+&+.+)=l(+11)<0,因为>>0,所以S9=x19=当X19=4°X19>O,因为数列是递减数列，故当>19时，5.<0,故C正确；=5+6+%=6(qo+q)<O,故D正确;：ABCD.【变式3-3(2023黑龙江.高三校联考阶段练习)(多选)若数列4是等差数列，公差d>O,则下列对数列2的判断正确的是()A.若4,则数列低是递减数列B.若2=Y,则数列也是递增数列C.若2=4+%,则数列出是公差为d的等差数列D.若2=4+,则数列或是公差为d+的等差数列【答案】AD【解析】由4=4+5T)d=d"+(4-d)且d>0,A:由“=-4=T"+(d-q),即数列也是递减数列，对；B：由2=Y=dn+(al-d)fl若d>q时，如d=l,4=-2,4不单调，错；C:由2=q+。向=2办+(24-d),则数列2是公差为2d的等差数列，错；D:由a=a“+=(d+l)+(4-4),则数列也是公差为d+1的等差数列，对故选：AD【题型4等差数列前n项和性质应用】满分技巧1、等差数列的依次k项之和，Sk,S2k-Sk.S3LS2左，组成公差为Rd的等差数列.2、数列斯是等差数列OSi2+加3,b为常数)=数列用为等差数列.3、若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和，公差为d,当项数为偶数2时，s偶-S奇=M普=a；5偶Un+1S奇11当项数为奇数21时，S奇-S偶=如，牖=F.【例4】(2024四川宜宾南溪第一中学校校考模拟预测)已知等差数列为的前项和为S一若A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】设等差数列4的公差为",4+(T)，nn-)d2n可知是以首项为一公差为?的等差数列，$2024 Sl2024 12023× ,即6072 -2020202412023Xg ,解得d = 2 ,所以纭一=8m=4d=8.故选：D.202120132【变式4-1】（2023湖北荆州高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列%、也的前项和分别为S.Sn2n+2a,+au与八且m=F，则拓寸二（）A.WB）C.竺D,197154【答案】B【解析】由等差数列演得，器=丽晶询二W啜喘，等差数列4前项和满足52l=（2-1）4,则4=11%,等差数列也前项和满足&广（2-1），则=1收，12y .故选：B、"_品_2xll+2_24所以凉一年11+3-77【变式4-2】（2023海南校联考模拟预测）等差数列,也前项和分别为S.Z,且金=3,贝Uy3&'13【答案】y【解析】由等差数列性质可得*=需=3,解得菅=*【变式4-3（2023安徽安庆高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知S"为数列”的前”和，下列说法正确的是（）A.若数列勺为等差数列，则S“一S2nt-Sm,SlM-Szrtj为等差数列B.若4为等比数列，则Sm,S2ro-smrS3,$2,为等比数列C.若包为等差数列，则曳，4L,把为等差数列m2m3mD.若叫为等比数列，则巨，。应，立为等比数列m2m4m【答案】AC【解析】对于B和D,当公比g=T时，且用为偶数时，Sia=SLE=SVWQ,此时Sm,S2m-Smt/”-匕不为等比数列；&=第=O,此时曳，*,4L不为等比数列，则B和D错误；in2m4/wtn2m4m对于A,若数列%为等差数列，设公差为d,则L=4+生+4,SImSm=4+I+°"r+2+2m2m=+2m+2+3，”,由等差数列片窗口性质知S,“，S2tn-SfnlS3”,一S2,”为等差数列，公差为2d,A正确；对于C,若%为等差数列，设公差为d,贝j2x第=8+第，所以&,ML,第为等差数列，C正确；故选：AC2mm3mm2m3？【题型5等差数列前n项和的最值问题】嬴丽1、二次函数法：将S"=M+3A仁乳+口一分配方转化为求二次函数的最值问题，但要注意"N*,结合二次函数图象的对称性来确定的值，更加直观.2、邻项变号法：当«i>0,d<0l时，S取得最大值；当6f1<0,d>0l时，S”取得最小值特别地,若>0,d>0,则S是的最小值；若al<0fd<0,则Sl是的最大值.【例5】(2023.贵州.高三贵阳一中校考阶段练习)已知S是等差数列q的前项和，a¾<,且4+ai4+a5+"19>°,则S”的最大值为()A . H?B . 513D . S15【答案】A【解析】设数列为的首项为%,公差为d,由S”-So=q+at2+aj3+al4+al5=5a13<0,可得小<。,> ,可得4+7>。，又由+«14+45+9=4+454=445334因为4+彳1=4+12_=%_01>0,所以d<q<0,所以d<0,可得等差数列叫为递减数列，又因为4+fd=（4+lld）+Jd=%+弓>。，所以42>一弓>。，4444故等差数列/的前项和S.最大值为力.故选;A.【变式5-1】（2023黑龙江高三省实验中学校考阶段练习）等差数列%的前项和为S“，4=15吗+3+%+。5=30,则S“的最大值为（）A.60B.45C.30D.15【答案】B【解析】因为6=15,O2+%+牝=30,贝U+3+%=4+d+4+2d+%+3d+%+4d=4+1Od=60+IOd=30l贝Ud=3,贝U4a=q+（_l）d=-3+18l令二。，解得：=6,因为4是等差数列，所以当"6,"wN"时,atl>0a=O,当>6eN*时，an<0l所以5”的最大值为S5=Sf=丝展0=45.故选：B.【变式52】（2023.江苏无锡高三江阴市第一中学校考阶段练习I多选谈增等差数列q,满足%=3%,前项和为5.，下列选项正确的是（）A.d>0B./<0C.当=5时S,最小D.S”>0时的最小值为8【答案】ABD【解析】A、B：由题意可设等差数列%的公差为d,因为%=3%,可得4+6d=3（4+4d）,解得q=-3d,又由等差数列q是递增数列，可知d>0,则/<。，故A,B正确._7£由一二得，当=3或4时S.最小，故C错误.d2【）：令邑=32-£>0,解得<0或”7,即5”>0时的最小值为8,故D正确.jABD【变式5-3】（2023河北石家庄高三新乐市第一中学校考开学考试）（多选）已知等差数列q,其前项和为S一若九,则下列结论正确的是（）A.%>B.使S”>。的的最大值为16C.公差d<0D.当=8时S”最大【答案】ACD【解析】等差数列见,S15=y+15）=15>0,¾>0,又<-1<<-¾<0,fl8+a9<O,.同>4,A正确.d=a-a<-2a<0,C正确.勾十为<0/.S16=-y(1+aih)=y(t+9)<0,S15>0,使S.>0的的最大值为15.B错误.%>0,9<0，当8,f7>Q,n9,a<0,所以当=8时S”最大.D正确.故选：ACD【题型6含绝对值的等差数列求和】【例6】（2023上海高三校考期中）在公差为"的等差数列4中，已知=10,且，2%+2,5%成等比数列.(1)求d,勺；(2)若"<0,同+同+闻+同=Ioo,求.【答案】(1)d=4时4=4"+6,d=-l时可=Ij；(2)20【解析】(1)公差为d的等差数列q中，已知4=1。，且6,2%+2,5%成等比数列.所以(2%+2)2=54%,即(20+2d+2)2=5xl0(10+")解得d=4或d=-l,当d=4时，a”=10+4(-1)=4+6.当4=一1时，=IO-(W-I)=H-W.(2)因为dv,所以4=11-，令S,=同+同+同+，m(10 + 11 - H) «(21 - M) 2= -2-当1"11时,4NO,所以同=4,所以*=ai+a2+ay+-+an=ai+a2+.+an=当>11时，4<0，所以邑二同+同+同+，=ai+a2+.+ail-ay2-ali-.-anln(2-n)=2(+2+)-(+%+%+%),=1。.故SfJ=又闻+同+同+=IOo,且当U时S”VSM=IIx(2171)=55<00,所以>11,则她fR+110=W0,解得=20或=1(舍去).所以=20.【变式6-1】(2023江苏淮安高三江苏省清浦中学校联考阶段练习)已知S.是等差数列,的前项和，且分=-3,S9=344.(1)求数列见的通项公式与前项和S。；(2)若2=，求数列帆的前项和小【答案】(1)at,=-2n,Stt=0n-n2;(2)T=P。二七,r-10w+50,6【解析】(1)设等差数列应的公差为d,则2i，解得修二>9al+36«=3(4+3d)Id=-2所以数列的通项公式为4=9+(-1)(-2)=11-2，数歹Maj的前项和S.=9+1；-2。=io,l2(2)由。“=11-2>0得，所以当5时，为>0,hn=an=an;由凡=11-2<0得,所以当6时，4<0,bn=an=-an.所以，当5时，Tll=Sn=0n-n2;当6时，7；W+%+"=4+%+-+-/+,+%)=2(«+a2+ai)-(ai+a2+-+an)=2S5-Sn=2(10×5-52)-(10-n2)=2-10«+50.时、JI0"5所"-10+50,6-【变式6-2】(2023云南高三校联考阶段练习)已知数列%的前项和为S,Sn=n2-n.(1)求4的通项公式(2)若C=同，求q的前项和人-,118Nm【答案】(1)&=-8;(2)7；=22n2-n+56,n9,wN*122【解析】(1)由S”=；2-5，当2时，可得4=Szj-SflT=g?-葭(-1)=-8,当=1时，4=si=-y=-7,适合上式，所以数列q的通项公式为=-8.(2)由4=-8,可得J=同二|一8|,则=q+同+an,令fl0,可得8,当"8时，可得(=1+2+=一4一七-一=)，当>9时,可彳导(=q+4+en=-ay-a2-4+为+。+可=-(1+a2+8)+(9+10÷+an)=-58+Sn-Sji=Sn-2Ssl因为演=32-60=-28,所以7；=呆一4+56,15«W2/0.8,"N所以北二22M2-w+56?9,wN*【变式6-3】（2023重庆万州第三中学校考模拟预测）已知数列叫的前项和为S一旦半=”13.（1）求数列为的通项公式；（2）若数列M的前项和为。,设凡t,求（的最小值.Q【答案】（1）an=n-7;（2）-9V【解析】（1）因为3=”13,所以2S“二（”13）,n所以当=1时，24=72,所以q=-6;当2时，2S,=(-1)(-14),所以羽=2S”-2S=2"-14,所以可=一7,又4=-6满足上式，所以数列q的通项公式为%=-7.(2)由(1)知|?|=|一7| =7 - w, 1 < n < 7 n-lyn>l当"7时，=h+h+L=-q-%-a=l3nn当>7时，Tn=l+2+L+an=-al-a2-L-ar+ai+L+an=(q+/+4,)-2(4+电+%)=13+42;所以三,11172n4213r,2n21313-7当1"7时，&=壁递减，所以(K)miil=R,=看=3;、1,raC4213当>7时，rii=2+y，X4213设f()=3+下-与a>7),2x214?14?则r(x)=g-W,令/'(x)=g-W>O得>20T,此时单调递增，2厂2厂142令r*)=7-r<0得7<X<2",此时/(X)单调递减，2尸所以（在7<"9时递减,在210时递增，HD942138D10421327827PI/D8rf=y-y=3，%=万+丁E=正，且（正，所以（RM=W；综上，凡的最小值为最【题型7等差数列的判定与证明】满分技巧1、定义法：。+%=以£1<）或%1=4（2,1<）=4,是等差数列；2、定义变形法：验证是否满足4+L%=an-q-（2,N*）;3、等差中项法：+i=4+4+2（£N"）o4为等差数列；4、通项公式法：通项公式形如4=""+9（p,4为常数）。4为等差数列；5、前项和公式法：5“=2+刎,夕为常数）=4为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项%,为+M,+2,使得2。用工勺+q+2即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.【例7】（2023.广东深圳高三校考阶段练习）已知公比大于1的等比数列为满足：4+4=18q%=32.（1）求%的通项公式；（2）记数列也的前项和为S"，若S"=2,eN,证明：杵是等差数列.【答案】（1）凡=2”；（2）证明见解析【解析】（1）方法1：设公比为4,因为“是等比数列，所以用3=44=32,4=2伍=16又q+4=18,解得或.a4=Io&=2又31,所以二）,所以0:8,4=2.IA=I6因此勺=。4"=2"3_gf_24=16方法2：设公比为ql由等比数列性质得出'+，解得“：或1，qq44=32q=2</=-4=2又,所以O，4=2因此勺=qf=2".（2）由（I）得S“=2"-2",所以ST=¾+1-2"+',两式作差可得S“+S”=2Z*2”（22-2”），即%=2%-2"-2",整理得2=2”，eN.方程同除以2向得，一条二；,即畀一=；（eN'）.ZZZu11+lu乙所以数列I是公差为3的等差数列.IAJ2【变式7-1】（2023黑龙江高三佳木斯一中校考阶段练习）已知数列的首项为一前项和为S”.已知2S“=2叫-.（1）证明：%是等差数列；（2）若能，生，出成等比数歹!L求S”的最小值及取到最小值时的值.【答案】（1）证明见解析；（2）=12或=13时（SIL=-78.【解析】（1）证明：因为2S”=2勺2+，当22时，2S_+（-I）?=2（-l）an,1+（-1），-得，2Sw+n2-2S_,-（n-l）2=2natl+n-2（n-l）an,i-（-1）,即2（-1）%2（-1）4i=2（-1）,所以/-=l,2且eN*,所以为是以1为公差的等差数列.（2）由（1）可得=4+3,%=4+6,%=4+8,又久吗必成等比数歹IL所以婚二%.%,625T即（4+6）2=（q+3）（4+8）,解得4=T2,所以q=-13,所以邑=一12+所以，当=12或=13时（S“-78.【变式7-2（2023辽宁高三校联考期中）设数列"的各项都为正数，且向二总.（I）证明数列为等差数列；（2）设4=1,求数列作也J的前项和S“.【答案】（1）证明见解析；（2）S.=*【解析】（1）由数列也的各项都为正数，且加=缶，所以数列 十 是以1为公差的等差数列；(2)" = 1 ,由(1)得之二,所以"=L ,则b也+1n1 1 1 =+ n /7 + 1 *Il1I+= In 72 + 1 +1n77 + 1【变式7-3 （ 2023广东广州高三华南师大附中校考阶段练习）已知正项数列叫的前项和为S“,满足2S”a"nN,).（1）证明：数列q为等差数列；（2）设数列么二零等,求数列%前项和。的值.anan【答案】（I）证明见解析；（2）7；=里普4n+4w+l【解析】（1）由2S”当 =1 时，251 = 2«,=/解得4=5,当2时，2S,1awl÷l W-I 2I ,则2q,=j% +%+；)三三Q+%）&-%T）=。，又数列4为正项数列，则%+%。，所以q-4-l=0,即（一的=1,所以数列q是以为首项，1为公差的等差数列，所以6=g+5T）XI=-T;（2）由（1）彳寻% = -贝Ua向= n÷l2 + -2aA,n + - = 4 ,4(2-if (2j+ 1)2J ,所以7L=R+b2+.-+,1+bnzl . 1 1 1 1 1 1 1 1 1二4卜铲?方+落手+ +而旷西7+西广西716w2 +1647 +4i÷1【题型8等差数列的实际应用】【例8】（2023.海南海口.校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体.某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元.照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（）A.630万元B.350万元C.420万元D.520万元【答案】D【解析】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为4,可得q=30,%=50,所以公差为4=号L=K）,Qx7所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为8x30+y-xl0=520,故选：D【变式8-1（2023黑龙江齐齐哈尔统考一模）5G基站建设是众多“新基建”的工程之一,截至2022年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2022年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，则A地区到2023年12月底累计开通5G基站的个数为（）A.5650B.5950C.6290D.6590【答案】D【解析】由题意得，2022年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，且公差为40,则到2023年12月底要经过17个月，预计A地区到2023年12月底累计可开通300+50l7+40=6590个5G基站.故选：D.【变式8-2（2023.江西校联考模拟预测）天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由呷”起，地支由“子”起，比如第一年为呻子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（）A.癸未年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年【答案】A【解析】由题意得：天干可看作公差为IO的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于100÷10=10,余数为0,故100年后天干为癸，由于100÷12=84,余数为4,故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A.【变式8-3（2022.江苏南通高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与鹫马发长安至齐，齐去长安一T一百二十五里,良马初日行一百零三里，日增十三里；S马初日行九十七里,日减半里；良马先至齐,复还迎鸳马，二马相逢.则（）A.鸳马第七日行九十四里B.第七日良马先至齐C.第八日二马相逢D.二马相逢时良马行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列；记数列4为良马的日行里数,其中首项4=10,公差4=13，所以数列4的通项公式为q=13+90,N+记数列色为鹫马的日行里数，其中首项4=97,公差4=-0.5,所以数列也的通项公式为=-5"+975N+因此，对于A,鸳马第七日行里数为4=45x7+97.5=94,即鹫马第七日行九十四里；故A正确；第七日良马行走总里程为$=（4+%）=994,而齐去长安一干一百二十五里，因为994V1125,所以第七日良马未至齐；所以B错误；设第机日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，BP103117+0X13+97ffl-m，n0×0.5=2×1125,解得m=9或切=-40（舍），即第九日二马相逢；故C错误；9由C可知，第九日二马相逢,此时良马共行走了S（,=5（q+%）=1395f所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.限时检测(建议用时：60分钟)I.(2023四川乐山统考一模)设等差数列q的前项和S.,若S,=9,S6=36,则%+%+G=()A.18B.27C.45D.63【答案】C【解析】由题意得邑，§6-1,S9S6成等差数歹I，即9,369,%+4+卬成等级列，即2(36-9)=9+07+4+%,解得%+%+%=45:C2.(2023重庆渝中高三统考期中)已知数列叫,也均为等差数列，且卬=1也=7,a2+=12,设数列an+前项的和为S”，贝!JS20=()A.84B.540C.780D.920【答案】D【解析】根据题意可设数列,，也的公差分别为4，4；由4=1,4=7,02+4=12可知4+W=4f即可知数列4+2是以q+4=8为首项，公差为&+4=4的等差数列，所以可得。”+d=8+45-1)=4+4,即可得4=%4+4+&+么)=多8+4+4)=(2+6),所以S20=20(2x20+6)=920.故选：D3(2023全国模拟预测)已知数列q为等差数列,其前项和为S“，且=7,强夸=10厕Sg=()A.63B.72C.135D.144【答案】C【解析】设等差数列4的公差为d,则SL%+驾Dd,则鸟L=q+空区.2n2由讲今=10,得,+8一(4+2d)=10,解得d=4.又因为6=7,所以q=%-2d=T,PJUX59=9a1+三6=9×(-l)+×4=135.故选：C.4(2023.北京.高三顺义区第一中学校考阶段练习篇等差数列%和等比数列也满足4=4=2也=16,则叫的公差为()A.1B.-1C.-2D.2【答案】D【解析】设等差数列4的公差为"，等比数列的公比为4,则H4=如3=2q3=16l解得夕=2f所以，a4=b3=hiq=2×2"=8lC4-1七二2.故选：D.5.（2023海南高三海南中学校考阶段练习）在等差数列*中，4=-2024,其前项和为S“，且-=2'J4的值等于（）A . -2023B.-2024C,2023D.2024【答案】B【解析】设等差数列4的公差为d,.s."4+一"d.；=-=4+（-1）,所以数列9是等差数列，公差为3，_=2贝24=2,即d=2,Vfl1=-2024201020082S所以u=-2024+-1=-2025,n.=2024-2025=-l,解得S?。?=2024.故选：B.6.（2023河南.高三南阳中学校联考阶段练习）已知数列“满足：4：出：=4:3:2,且%=g.若字心2,凡-。41=2（国£1<）恒成立，则4+/+即）=（）9A.-24B.-6C.-D.-4【答案】CC31解析】因为：%：%=4：3:2t所以a2=crc3=-a>ci0.pa,-qa,=2WWFl由题知，即:&,化简得P=,，且P应不为0pa3-qa=213、-Pa-a=22所以可-4=,所以数列q是等差数列.2124因为的=4_;=Q-不,所以4=2%=1一7因为%=T,所以B=，解得P=Y,即公差4=-所以q=l2=2,所以=4+7d=2+7(-g)=3，所以+%+)=36=3x(-)=-.故选:C7.（2023江西南昌高三江西师大附中校考期中）设等差数列4的前项和为S”，已知(4-1)3+2023(%-1)=1,(1-l)3+2023(,-D=-I,则下列结论中正确的是()A . S2024 =2025B . S2024 =2024C . S2024 =2023D . S2024 =2022【答案】B【解析】设/(x)=V+2023x,其定义域为R关于原点对称，且f(T)=(_力3+2O23(-x)=-x3-2023X=-f(x),所以函数f(x)=V+2023x是奇函数，X,(x)=3x2+2023>0,所以函数/(x)=V+2023x是增函数，由题意/(q-1)=(。4-1)+2023(4-9=h(-9=(t7202i-0÷2023(a2021-1)=-1,从而3T+f(*)=o,即/3-1)=一/(*-1)=/("。碇)，所以。4-1=1-。2，整理得4+出021=2,所以由等级歹I的颗可知4+出。24=%+出阳=2,由等差数列前项和公式可知公”=")24x(：'生心)；迎警=2024.故选：B.8.(2023黑龙江高三大兴安岭实验中学校考阶段练习)已知等差数列(的前项和为5”，若4=6,4+/+4=27,则56=()A.45B.60C.160D.80【答案】A【解析】因为等差数列%中4+/+%=27,又q+%=2%,所以34=27,即=9,又=6,所以&=6("；%)=3x15=45.故选:A9.(2023.河南三门峡.高三陕州中学校考阶段练习)已知正项等比数列q的前项和为S”，若-3,S-九成等差数列，则-S10的最小值为()A.8B.9C.10D.12【答案】DS-SinS10-S5【解析】根据等比数列的片廓ttJ三有