热点7-3双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

热点73双曲旗及其应用双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。-题型5求双曲线的离心率与范围/Y一题型6双曲线的中点弦问题双曲线及其应用7''p题型7直线与双曲线相交弦长、一题型8直线与双曲线综合问题【题型1双曲线的定义及概念辨析】ir"(1)在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数。满足约束条件：PF-PF2=2a<FF2(tz>O),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点生的一支；若IP闾-归制=2”忻闾(>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点片的一支;(2)若常数满足约束条件：ITP矶=2=忻用,则动点轨迹是以FkF2为端点的两条射线(包括端点)；(3)若常数满足约束条件：PFl-PF2=2a>FlF2,则动点轨迹不存在;(4)若常数a=0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。【例1】(2023全国高三专题练习)已知动点M(X,.y)满足而布于-而赤7=4,则动点M的轨迹是()A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】A【解析】设6(-2,0)迅(2,0),由题意知动点M满足IMKHM闻=4=|耳玛Il,故动点M的轨迹是射线.故选：A.22【变式1-1(2023四川绵阳.高三南山中学校考阶段练习)双曲线C：J-=l(a>0,b>0)的一条渐近线过点4-1，6）,R,6是。的左右焦点，且附1=2,若双曲线上一点M满足IM用=|,则I咋I=（）1-2【答案】B【解析】因为£（f。），IWI=2,所以J（+cp+3=2,所以c=2或O（舍），又因为双曲线的渐近线过点唳，司,所以-：罟，所以，=G,c=2所以<5=6,所以，所以Uf-?=1,a2+b2=C2若“在左支上"M用=>c-=l,符合要求，所以IgI=IM+24=>2=/若M在右支上，M用=<c+a=3,不符合要求，所以|“用|=，故选：B【变式1-2（2023河北模拟预测）已知双曲线C:/E=Tm>0）的上、下焦点分别为K,K,C的m一条渐近线过点（3,9）,点w在C上，且I峙I=5,则IMKI=.【答案】11【解析】由c：/_£=T（W>o）得双曲线的标准方程为：21-=1（m>0）,mm所以。=后力=1,所以双曲线的渐近线方程为：y=±=±而X,b又C的一条渐近线过点（3,9）,所以3而=9n诟=3,因为点M在C上，6,6为双曲线的上、下焦点，所以IIM国一四用=2=6f由|肛|=5,所以IlM用-5|=6,所以IgI=Il或IgI=T（舍去）.【变式L3】（2023全国高三专题练习）已知圆人:。+2）2+9=9,圆8:0-2y+/=,圆C与圆A、圆B外切，则圆心C的轨迹方程为.【答案】=l,x（h+）【解析】设圆C的半径为，圆A:(x+2)2+y2=9的圆心A(-2,0),半径4=3,圆3:(尤-2尸+丁=1的圆心8(2,0),半径4=1,因为圆C与圆A、圆B外切，则|04|=r+3,|侬=r+1,所以|6|一|。用=2<4=|的,所以点C的轨迹是以A5为焦点的双曲线的右支，又2c=4,2a=2,则c=2,=1,从=c?-储=3,所以其轨迹方程为f-卷=1,XGa÷0>).【变式1-4】(2023河北石家庄一中校联考模拟预测)(多选)已知复数7=IT,z=x+y(x,ywR),则下列结论正确的是()A.方程|二-%|=2表示的二在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程z-z°+z-耳=2表示的Z在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程IZ-ZoITZ-刁=1表示的二在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程二+&+Zo)=IZ-表示的Z在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】由复数模的几何意义知"z-z0=2表示复平面内点,，)与点之间的距离为定值2,则Z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，IZ-ZOMZ-刁=2表示复平面内点(x,y)到点(1,T)和(1)的距离之和为2,又2=,一刁，不满足椭圆的定义2>田用，故B不正确；由复数模的几何意义知JZ-ZolTZ-同=1表示复平面内点(,y)到点(1,7)和(LI)的距离之差为|又2=,一刁，满足双曲线的定义24<田国，故C正确；又寸于D,2+-(z0÷z0)=z-z0RTz+l=z-z0,表示复平面内点(x，y)到点(T,0)和(LT)的距离相等,轨迹是直线，故D不正确，故选：AC【题型2利用定义求距离和差最值】满分技巧利用定义IIPRHPBlI=2转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值【例2】(2023天津南开统考一模)已知抛物线V=16x上一点A(?,)到准线的距离为5,尸是双曲线1-(=1的左焦点，尸是双曲线右支上的一动点，则伊曰+陷的最小值为()A.12B.11C.10D.9【答案】D【解析】抛物线V=16x的准线为=Y,则点A(也)到准线的距离为m+4=5,所以m=1,则=±4,故A(l,±4),设6是双曲线11=1的右焦点，6(4,0)则IPHT叫=2=4,则归尸|=|尸耳|+4,JftPF+PA=PA+P+4A+4=9+16+4=9,当且仅当AF1三点共线时取等号，所以附1+照的最小值为9.故选：D.【变式2-1】(2023江西赣州统考一模)已知点电,3。,双曲线£：1,=1的左焦点为尸，点P在双曲线E的右支上运动.当二加步的周长最小时，hH+w=()A.62B.72C.82D.9应【答案】C【解析】由双曲线Eq-I=1得到q=%="c=3,左焦点P(TO),设右焦点耳(3,0).当村的周长最小时，MH+P尸I取到最小值，所以只需求出+归目的最小值即可.A+PF=A÷P+÷=4J(-3)2+(37-)2+22-8>.i½：C.【变式2-2】(2023四川南充校考模拟预测)已知P是离心率为2的双曲线G丁-乙=1(阳>0)的右支上m一点，则P到直线12>5y=0的距离与到点A(-2,0)的距离之和的最小值为()A岸【答案】ACTD.竺1313【解析】已知双曲线C：X2-=l(w>0),可知e=Jl+？=2,则?=3,in所以A(-2,0),8(2,0)分别为C的左、右焦点，则网-网=2=2,即IF=IM+2,设尸到直线12x5），=。的距离为d,3到直线12x-5y=0的距离为4,且4=冒，则d+尸Al=4+P8+24+2=V+2=费.故选：A.【变式2-3（2022.天津南开.高三统考阶段练习）已知双曲线=1,点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d,则d+1P/I的最小值为（）A.2+43B.63C.8D.10【答案】A【解析】由双曲线C：（-?=1、可得。=2#,力=2,F（4,0）.设双曲线左焦点为UI，。），不妨设一条渐近线为/：>=-%=-WX,BPx+3y=0,a3作正工/,垂足为E,即IPEI=d,作FHU垂足为"则IFm二号r2,因为点P为C左支上的动点，O所以IPFITaI=2,可得IPH=%+IPkI,/故d+印=I尸£|+加+IWI=勿+1用+1尸F,由图可知，当弋尸，石三点共线时，即E和"点重合时，2+%+尸口取得最小值，最小值为2x2>A+l尸”1=45万+2,即4+1。臼的最小值为4J+2,故选：A.22【变式2-4】（2023山东泰安统考二模）已知双曲线。:-2=1（。>060）,其一条渐近线方程为ab-x+3>=0,右顶点为A,左，右焦点分别为耳，尸2,点P在其右支上，点8（3,1）,三角形KAB的面积为1+/，则当附HPBI取得最大值时点p的坐标为（）a32j2b3+tj+tc3+j+（6+5质10+78"D'-22-，-22）【答案】B【解析】设尺（一。，0），八（a。），则由三角形ZAB的面积为1+*可得*+c）i=+J,即+c=2+J,又双曲线一条渐近线方程为x+6.y=0,故2=g,即=,a3/O故/=/+从=4,c=2"故&+»=2+。，解得6=1,故=J,c=2,双曲线Cq-/=1.又由双曲线的定义可得IP用-归臼=2+P周一P82J+忸周,当且仅当P，8,F2共线且3在P,F2中间时取得等号.此时直线明的方程为y=J-2),即y=x-2,X2IFT联立石-"=可彳导2-12x+15=0,解彳导x=3±及y=x-2满分技巧1、由双曲线标准方程求参数范围(1 )对于方程二+ f = 1 ,当加?<0时表示双曲线； m n当机> 0, < O时表示焦点在X轴上的双曲线；当机V 0, > 0时表示焦点在y轴上的双曲线.2(2 )对于方程上-上=1 ,当加2>O时表示双曲线； m n当m>0jt>0时表示焦点在工轴上的双曲线；当相<0, V0时表示焦点在)，轴上的双曲线.(3 )已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围。2、待定系数法求双曲线方程的五种类型(1 )与双曲蟾-p=l有公共渐近线的双曲线方程可设为' - = >.(A0);(2 )若已知双曲线的一条渐近线方程为y = H或产-% ,则可设双曲线方程为' -W =，及0)；(3 )与双曲线5冬二I共焦点的双曲线方程可设为 (4 )过两个已知点的双曲线的标准方程可设为5 - = 1(? > 0)或者。+ ?= 1(? < 0);(5 )与椭圆。+ W = 1(。> > 0)有共同焦点的双曲线方程可设为-y =(h2<</) a " a?由题意可得5在"中间可得代入y=-2可得y=+*,故,3+2=- b1 < k<a2）；【题型3双曲线标准方程的求解】例3（2。23全国.高三对口高考）与?-V印有相同渐近线焦距2对,则双曲线标准方程为（64【答案】D÷1c = ilD.” = ±l【解析】（.）若焦点在、轴上，设所求双曲线方程为3T。），因为鼻-斗=1（肛>0）与双曲线-y2 = l有相同渐近线， m n4所以,设该双曲线的焦距为2c , m 2又因为焦距2c = 2M ,所以C = M ,所以=K）,联立n _ 1,藐:5,解得?2 =8,"=2 ,则双曲线方程为：一=1 ；+ = 108 2（2 ）若焦点在N轴上，设所求双曲线方程为J-J = 15z>0）, m n因为工-W = 1（见 > 0）与双曲线1-9 = 1有相同渐近线， m n4所以，设该双曲线的焦距为2c ,n 2又因为焦距2c = 2M ,所以C = M ,所以病+772=c2=o ,联立m_n 2,解得 =2,/ =8 ,m2 + /F =10V2 r2则双曲线方程为, 2 S所以双曲线的标准方程为：!-=1或4-£=1X 22 o综上，双曲线标准方程为5q = ±L故选：D【变式印（2023.湖北荆州.高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线/A）的左、焦点分别为T F一过修乍其中T渐近线的垂线，垂足为 .已知明 =2 直线心的斜率为孝,则双曲线的方程为（a÷bT-F1c÷1dt-=1X【答案】D【解析】如图，因为玛（GO）,不妨设渐近线方程为），=,即版-町=0,所以仍周=，="=力，所以b=2a2+b2cIPFlbh设NPOK=%则tan"同"两7所以IoH=,所以|。闻=C因为必=:5%,所以力=或，22cab,所以tan。="="上，所以/=工，所以巴，一，xpXpaCccJah因为W），所以"L=肃rrl+CC所以（q2+2）=4,解得=&,所以双曲线的方程为-=1,故选：D【变式32】（2023.天津宁河高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线W-=l（>oe>）的右焦点尸与ab抛物线V=81的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点4肛-26），则双曲线的方程为（）A.二上=1B,i,Z=1C.-=lD.-Z=l1244123-3【答案】D【解析】由抛物线V=8x的焦点为（2,0）,因为双曲线£-1=1与抛物线V=8x的焦点重合，a-Ir可得双曲线的右焦点为尸（2,0）,即c=2,可得/+=4,又由双曲线Ef=I的f渐近线方程为=3,抛物线的准线方程为x=-2,因为抛物线准线与一条渐近线交于点4（皿-2#）,可得加=-2,即交点为4-2,-26）,代入渐近线方程，可得-26=-"，可得A=A,a将b=L代入/+/=4,可得=,所以=3,所以双曲线的方程为/-1=1.故选：D.v2【变式3-3】（2023.甘肃定西统考模拟预测）已知双曲线C：云=Ig>0>0）的渐近线方程为）,=±"r,左、右焦点分别为6,玛，过点E且斜率为6的直线/交双曲线的右支于M,N两点,若AMA明的周长为36,则双曲线C的方程为()A.LE=1B.U-f=lC.£-£=1D.-21=36510482【答案】D【解析】因为双曲线CE-I=Im>0,10)的渐近线方程为y=±6r,所以b二缶，O22则双曲线方程为*一3=13>0),F上岛l玛(Gao),a2a所以直线/为y=岛)，设M(X2JN(X2,%),卜2.二由，/2a2,得/一6GaX+11/=o,则+w=57j,x12=11万,y=y3(x-y3a)所以IMNl=TiTTJa+%2)2-4中2=2jl(2-44fl2=收,因为IMEI=IA低+2fNFi=NF2+2a,所以IMEI+1NKl=IM周+Ng+44=陌V+4a=200,因为AMNK的周长为36,所以MK+NE+MZV=36,所以2(k?+l&z=36,得=l,所以双曲线方程为-；=1,故选：D【变式34】(2023.四川乐山统考三模)设。为坐标原点，五一外是双曲线：5_4=1(>0,>0)的左、右焦点过匹作圆。：/+产=从的一条切线D切点为T线段用'交H于点M若SinH收=AOMT的面积为1,则的方程为()2y22y2,y2iy2A.-L=IB.-=1C.x2-=lD.D-=I24221644【答案】D【解析】由圆。的方程Y+V知，|如=人，XVOTLFJ,OTb在直角AOTE中,IKTI=加不所=7H=,且SinN4o=丽=7在AOMT中,OTlMT,由正弦定理，二嬴Z而在5中，sinMFxF2=sinZTF1O=-,Ug=享=独1-lSinNKME42，5由双曲线定义，M6=M国-2=弓-加,22又|取1”,MT=-,.MFl=a-,DO.5b_2_5b2.2a=a,即3=+.2b,2b/月丁。为直角，易知/片“鸟为钝角，43 由SinN用明=M知，CosZFiMF2=-,在鸟中，由余弦定理，巧用2=附用2+J一2|MKHM图.cosNKg,.一=修-2)+偿一2x传-20卜刿-J,/2九225/S,/225从5b2上, 4a2+4b-=1Oab+4-+F6ah,442整理彳导从一"二b(b-)=0,b=a.又3=曰+，将b=。代入，解得=b=22b 双曲线”的方程为：鸟-1=1.故选：D.44【题型4双曲线的焦点三角形问题】莉丽求双曲线中的焦点三角形bPFF2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出IIPKITP周I=2;利用余弦定理表示出IP周、归周、归用之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出IPEH尸的值；利用公式S=；XI尸周I"卜inNM尸工求得面积。(2)利用公式S=gx忻5H)U求得面积；S二E(3)若双曲线中焦点三角形的顶角ZF1PF2=Ol则面积3,结论适用于选择或填空题。tan一2【例4】(2023全国校联考模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为3,过F1的直线交双曲线左支于4B两点，且|蝴=5,若双曲线的实轴长为8,那么44职的周长是()B . 16D . 26C.21【答案】D【解析】由题意可知：AF2-AF=BF2-BFi=S,即M闾=8+A制,忸用=8+|班|,所以人即的周长I伍|+忸闻+1M=（8+Mi）+（8+%）+AB=16+2A网=26.故选：D.【变式4-1】（2023.重庆.高三重庆八中校考期中）设双曲线U/一号=1的左、右焦点分别为0尸？，点M在C的右支上，且/“£鸟=30。，则4MK6的面积为（）A.2B.6C.23D.4+2。【答案】【解析】C由题意得=Lc=S+2=G,由双曲线定义可得，|峥|-阿闾=2=2,内闾=2c=2石，由余弦定理得C。SNM时=叫需优产=（领二驾般.*1）*2MFi-FlF243M”即迎缥器产邛，解得顺=2Ml-6,43pwr1L又IMKIT峭1=2，解得|叫|=2,|峥1=4,故S/=国SinNMM=gx4x2jJxg=2A故选：C【变式4.2】（2023.四川成都高三校考期中）设九K分别是双曲线C：:-卫=1的左、右两个焦点，。45为坐标原点，点P在。上且|。小小啕，则和的面积为（）A.5B.10C.-D.202又大(-3,0),6(3,0),即它们也在尸点所在的圆上，且I玛6I为直径，所以APGK为直角三角形，NKP鸟=90°,如上图，|也|-|PEl=2=4,且I尸耳F+PKl2=4c2=36,所以2|PRIIPgl=(IPzI2+|PExlPzITP名旷=36-16=20,则IPFxHPF11=10,故Ng的面积为11PFlPF21=5.故选：A.V2V2【变式4-3】(2023广东湛江高三统考阶段练习)已知双曲线C:=-a=1的一条渐近线方程是a-b-y=r,耳,居分别为双曲线C的左、右焦点，过点用且垂直于X轴的垂线在X轴上方交双曲线C于点M,则UlnNZM=()A.也B.也C.BD.叵2323【答案】D【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是y=。，则2=应，a又由¢2=6+6,可得2FtcV3由过点6且垂直于X轴的垂线在X轴上方交双曲线C于点M,可知M的横坐标为C,代入椭圆方程即可得：-=l,4-i=,crh-a-crb-又有y>o,可知斗勺，所以tang="=".2=:应Xjl=乌故选：DLac2ac2V33【变式4-4(2023云南昆明高三昆明一中校考阶段练习)已知双曲线a9-产=1的左右焦点分别为耳，鸟，过点”的直线与双曲线E的左支交于A,B两点,若AEAE=O,则AA3;的内切圆周长为.【答案】2(5-3)【解析】如图所示：设内切圆半径为A,切点分别为mp,由题意/=3,/=1,则¢2=4,="c=2,所以恒闾=2c=4,由双曲线定义有IA闾TA用=忸图-忸周=2G;又因为A8A5=O,ZF2AB=,所以IA闾2+a用2=忻用2,因此IAEl+1AEI=J2佃用，欠用。（IAKHA用=2x42（26）2=2耶,从而直角三角形AB6的内切圆半径是R=J（48+A闾-忸周）=；（IA周+A周）彳（忸周-忸用）二有-石，所以A486的内切圆周长为2R=2（5-3）.【题型5求双曲线的离心率与范围】满分技巧1、求双曲线的离心率或其范围的方法c2a2+b2/（1）求,b,c的值，由U=层=1+/直接求e（2）列出含有a.b,c的齐次方程（或不等式），借助=/消去b,然后转化成关于e的方程（或不等式）求解，注意e的取值范围.（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法.例如，令=1,求出相应c的值，进而求出离心率,能有效简化计算.（4）通过特殊位置求出离心率.2、双曲崂-W=l（0,比0）的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当火0时，=a-'1二51；当NO时，&=-=-ye2-1.【例5】（2023.天津北辰高三统考期中）双曲线。上-1=150力0）的左、右焦点分别为K百，以E为ab圆心，花用为半径的圆与C的左支的一个公共点为。，若原点O到直线“2的距离等于实半轴的长，则双曲线C的离心率为（）A.IB.C.正D.西3422【答案】A【解析】如图：原点。到直线尸K的距离等于实半轴的长，月直线PK的距离为2。，又以后为圆心，怩周为半径的圆与C的左支的Y公共点为产，.归=|6闾=4,由双曲线定义的|尸国=勿+左，K直线PH的距离为2a l BP3c2-2ac-5a2=0 ,3e2-2e-5=0,解得e=T（舍去）或e=故选：A.【变式51】（2023全国.模拟预测）双曲线uW-1=l（>0,b>0）的左、右焦点分别为6，F2,点尸是其ab右支上一点.若附=3,IOpI=孚，4"=，则双曲线。的离心率为（）A或b.近C.叵D.叵2222【答案】B【解析】由双曲线的几何性质，可知点。是线段丹外的中点，贝UQ=g（尸6+尸尼），即41Poi2=卜用'彳"仍4池1+卜引，所以13=9+3Pq+熙，解得：IPq=1,所以2=匝HP同=3-1=2,故=l,印Ci（由CoSNK尸居=CoSg=3:尸；J，解得：C=W，/322×3×12/所以C="近，故B项正确.故选：B.a12【变式5-2（2023.江苏苏州.高三统考阶段练习）已知双曲线£5-=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）,5（c,0）,。为坐标原点，圆O"2+y2=02交双曲线上的左支于点P,直线尸尼交双曲线E的右支于点。，若。为P8的中点，则双曲线E的离心率为（）A巫b.巫C.MD.1322【答案】D【解析】设附1=1,则IP闾=，+旧f因为。为PK的中点,所以IPQl=I。用=3+。，则由双曲线的定义可知|。制=；+3。,因为圆。：/+>2=02交双曲线后的左支于点/>,所以%；，刊72,所以附MPQ=Mel2,即J+,+?+?贝U化耐得8+2s-r=O,即(2a+f)(W)=0,则Ia,所以IP周二GZ,所以IP耳f+PK2=耳目2,即(4y+(6=(2c)2,则化简可得52=4c2,即e=而故选：D.【变式5-3】（2023全国模拟预测）已知双曲线C:l（>O,b>O）的左、右焦点分别为耳，F2,IpeI尸为双曲线C的右支上一点，且PZJ",2<扇<4,则双曲线C的离心率的取值范围为（【答案】B【解析】因为IPKHPE|二加,PF1LPF2,-I尸图2=(附HP段"2p周陷卜加+2|尸引明=叱,b2=c2-a2,|历|P图=毋设标二叫则IPKl=MlPKI,2m4,|冏|一|%I=SIT)IPKl=加,陶=念，则困=.中册讣4版"2J=功=2p=2力，则/m2,2m+iw+l2,m设f(m)=m+,-2(2m4),则f'(m)=l-4>0,mm-./(加)在2,4上单调递增，/(2)=T/(/(4)=(,t肃2,4<-2 一22 <-8 - 9i3 一 .C- 4-lz9, 4L BX2。选1+故【变式5-4（2023河南洛阳高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线Cg*=l（>0/>0）的3,+°°£._2l证明：设A3, y）、B（X2, ）f2），则有,上式减下式得2222士一天y -%.y-yl-b2 22" Txi -X2 a, 十 % = Yf 2% = b2上下焦点分别为耳K,点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为。，若I如>诲闾TM制恒成立，则C的离心率的取值范围为（）C.(,2)【答案】A【解析】如图，过点尸2作渐近线的垂线，垂足为E,设口2日，则点乃到渐履的距离囱I=4a2+b2'sxJ7,t由双曲线的定义可得I峥ITMMl=为，故附用=IM用+北，jVz所以IMa+|峥|=|MDI-vMF2+2aEF2+2a=b+2a,5,即IMDI+1网的最小值为勿+力，因为IM忸周TM制恒成立，/2厂MX所以M0+M用>田周恒成立，即2+6>2恒成立，所以，b>2c-2a,BP；?2>4c2+4a2-ac,BPc2-a2>42+4a-Sac,所以，3c2+5-c<0,即M-8e+5<0,解得l<e<g½½:A.【题型6双曲线的中点弦问题】满分技巧解决中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线/（不平行于y轴）过双曲线一2=1上两点A、B,其中A3中点为P(X0,y0)，则有kABk0p【例6】（2023陕西宝鸡校联考模拟预测）已知双曲线E:5一*（4>0,6>0）的右焦点为（5,0）,过点F的直线交双曲线E于A、B两点.若AB的中点坐标为（6,-2）,则E的方程为（）d- = 1【答案】D【解析】设A(JyI),8(孙必),两式相减得上则,0(2)b2×6即曾=7.汉可化简得然=2-又。=5,。2=。2+。2,解得/=5,6=10,所以双曲线的方程为：总-冷1.故选：D.【变式6/】(2024.陕西宝鸡.校考一模)设A,4为双曲线F-?=l上两点，下列四个点中，可为线段A8中点的是()A.(U)B.(-1,2)C.(14)D.(1,3)【答案】C【解析】设人，凶)，*孙),则4A的中点时(当三,三B,设直线OM的斜率为"X+-可得3"XW=手，XX2+r2V1+X2- -22L9 2229- -2% 2W,两式相减得5-¥)-"比=O ,2因为A4在双曲线上，则所以原8A=45*=9对于选项A:可得Z=LL=9,则A8:y="-8,fy=9x-8联立方程I2J21,消去丁得72-2x72x+73=0,19lfc0=(-2×72)2-4×72×73=-288<O,所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；Q95对于选项B:可得=-2,M=-万，则4氏丁=一5”一5,22联立方程2,消去J得45+2x45x+61=0,X2-=19jttB=（2×45）2-4×45×61=×45×16<0,所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；Q97对于选项C:&=4,砥a=：,贝=,44497V=-X+-44联立方程（2，消去.v得63/126x-193=0,X2-=19Ifc0=1262+4×63×193>O,故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D:可得左=3,L=3,则AB:y=3x由双曲线方程可得。二】，=3,则A8:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C【变式6-2（2023陕西渭南统考二模）已知直线/过双曲线C:-?=的左焦点/，且与C的左、右两支分别交于AI两点，设。为坐标原点，为AB的中点，若AOFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线/的斜率为（A.±®2c4【答案】D【解析】设4（8方）,3（工2，%），2（%，），由AB均在C上，P为A8的中点,:二;+'；，则3（内-毛）（8+七）=（乂-必）（凶+必）z。人一1十）万.3Jf.X+%Jf.生,lk=3X1-X2x1+x2-X22%',°Pab设直线AB的倾斜角为。，则砥8=tana,不妨设。为锐角，V是以尸尸为底边的等腰三角形，直线OP的倾斜角为加，则勺o=tan2a.*.tanatan2a=3,tanata°=3,解得tana=-1-tana5，由对称性知直线/的斜率为±半.故选：D【变式6-312023上海.高三七宝中学校考二模与大轴重合的直线/经过点N(XN,0)(/0)双曲线C:22f=l(b>0)上存在两点A/关于/对称/8中点M的横坐标为h若X-Xm则的值为【答案】3【解析】设Aa,乂),8(七,必),“(加将)，x2-2l=i,"2，两式相减得X；=升-?I石-A一即(Xf)(XM)=(X+*),即,所以L二从，(x1-x2)(x1+x2)因为/是AB垂直平分线，有ML=7,所以,化简吟=W，故=，赃S【变式6-4】(2023全国校联考模拟预测)已知双曲线U5-，=1(>0力0)的右焦点为F,虚轴的上端点为AM,N是C上的两点，尸是MN的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为,若A产MN,则C的两条浙近线的斜率之积为.【解析】设尸(%)，M&，y)，N(w，%),因为M,N是。上的两点,P是MN的中点，。为坐标原点，直线OP的斜率为-;，所以F=-5，j-=1，与-普=1，+9=2%,y+必=2%lo2a-b-aib'所以，-得i-牛=o,整理得上M=平R=普=期a-b右(Y+%)2*a%所以L="L=-与，”oa因为双曲线C的右焦点为尸，虚轴的上端点为A,所以A(OM,F(c,0)，3T,因为A尸MN,所以鲍V=砥-即=_岑，整理得：/=2儿，ca所以=4b2c2=4b2(6+/),整理得4/+4a2b2一/=0,所以4Z+442+=2,即(2从+a)=2/,所以加+/=缶2,整理得与=玲！，a【例7】(2023山东临沂统考一模)已知双曲线U±-5 = l(>(U>0)的左、右焦点分别为吊入，过耳的 直线与C的左、右两支分别交于点M,N ,且忻M：怩N|：IMNI=I:3:4 ,则。的离心率为()A.叵B.囱C .叵D.巫232【答案】D【解析】因为|4Ml：|玛M：IMVl=I：3：4,所以旧MIX区M = MIMV I=芯,由双曲线的定义得|明|-优N = 2f =加,解得,则IMNI=4，设= x + c , M(APyl),N(w,%),如%>°，相>° ,my = x+c联立2 y2 1 ,消去X得伊病-a2)y2-2mcb2y+b4 =O l 序一 再由韦达定理得：y + y2 = MT J,y y2 = -r4-T ,bm - abm 一 a由田M：IMNI=I:4 ,得y=1% ,解得病=££二T ,2因为。的两条浙近线分别为y=",y=-2X,aa所以，C的两条浙近线的斜率之积为-与=上出a22【题型7直线与双曲线相交弦长】满分技巧求弦长的两种方法：(1)交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求.(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(片，y1)f(x2,诩，则弦长公式为：AB =1+Zr2(x1 +x2)2 -4x1x24w2c44Z?4仅2川叫2 -从加一【变式71】（2023湖南益阳安化县第二中学校考三模）已知双曲线C：-y2=l,若直线/的倾斜角为60。，且与双曲线C的右支交于M,N两点，与X轴交于点P1若IMNI=*l则点P的坐标为.【答案】（Go）【解析】双曲线双曲线C：-丁=的渐近线方程为丁=4（，而直线/的倾斜角为60。，则直线/的斜率为。，可设直线/的方程为y=6r+机，与双曲线方程J=1联立，化简可得8/+6后内+3/+3=0,=108/2-32（3w2+3）=12/zr-96>0,得心2近或应.设Ma,）,N（X2,%）,则N+/=-半>0，XS=>0，4S则TWVO,所以m<-20，IwM=Jl+（可IxI-X21=2a（x1+2）2-4x,x,=，"：-24=与,解得：7=3（舍去）或根=-3,所以直线/的方程为y=6-3,令y=0,可得X=6故点尸的坐标为（6）.【变式7-2（2023江苏苏州校联考三模）已知双曲线uW-1=i（a>O）,过其右焦点尸的直线/与双曲a12线C交于A、B两点,已知A8=16,若这样的直线/有4条,则实数。的取值范围是.【答案】俘8）【解析】记c=7