题型114类三角函数选填解题技巧（图象与性质、异名伸缩平移）（解析版）.docx

题型114类三角函数选填解题技W（三角函数图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、3的取值范围）技法Ol三角函数图象与性质的解题技巧技法02三角函数异名伸缩平移的解题技巧技法03三角函数最值与值域的解题技巧技法04三角函数3的取值范围解题技巧技法01三角函数图象与性质的解题技巧n高常常见题型解读在高考中经常考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0,对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.02跟我学,解题思维剖析例1-1.（2021全国统考高考真题）下列区间中，函数"x）=7SinbqJ单调递增的区间是（A（°图B加C卜有）D.仔同技巧点拨O由24万一工x工224+2（AeZ）,解得22乃一代x2Ar+生伏Z）,26233取4=0,可得函数/（力的.个单调递增区间为'4），故选：A.例12（2023山东潍坊统考模拟预测）（多选）已知函数/（x）=cos2-6SinxCOSx,则（）A. /(x)的最小值为一;B. /(x)的图象关于点信0)对称C.直线X=方是“X)图象的一条对称轴D./(“在区间'号)上单调递减技巧点拨O由题意得/(x)=cos2X-VJsinXCosx=+cssin2x=cos(2x+y)+，故/(x)的最小值为-1+；=-A正确；将X=V代入/(力=COS(2x+$+:中，得/信=cos*+§+；=；,即/(x)的图象关于点倨,£|对称，B错误：将x=T代入f(x)=cos(2x+g)+;中，得/R)=cos(笄+与+；=即此时f(x)=8S(2x+§+；取到最小值，即直线X=T是/(x)图象的一条对称轴，(:正确;当Xe(一去L'2x+(0,),由于y=COSX在(0,兀)上单调递减,上单调递减，D正确,故选：ACD!4知识迁移强化1. (2023河北邯郸统考模拟预测)(多选)已知函数/a)=2cos(2x+e),则下列描述正确的是()A.函数/(x)的最小正周期为兀8. X=J是函数/U)图象的一个对称轴OC.1号0)是函数“X)图象的一个对称中心D.若函数/%)的图象向左平移J个单位长度可得函数g(x)的图象，则g(%)为奇函数0【答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】函数x)=2cos(2x+e)的最小正周期T=与=Jt,故A正确；/(=2cos2×=2cosJ=0,所以力关于(亲0)对称，故B错误；1.=2cos(T+"=2COS19=0,所以号0)是函数/(x)图象的一个对称中心，故C正确；将函数八力的图象向左平移,个单位长度得到8(力=2852l+总+2=2cos(2x+£=_2sin2x,W1J8(-)=-2sin(-2x)=2sin2x=-g(x),所以g(x)为奇函数，故D正确：故选：ACD2. (2023全国模拟预测)(多选)将函数/(x)=J3sin3x-8sw(0<3<6)的图象向左平移J个单位长0度得到函数g(x)的图象，且gQ)=2,则下列结论中正确的是()A.g(x)为奇函数B.当XWp时，/(x)的值域是2,1C.g(x)的图象关于点(-*0)对称D.g(x)在OW上单调递增【答案】BD【分析】根据三角函数的平移变换求出g(x)的表达式，然后依次判断各个选项即可.【详解】因为/(X)=V3sinty-CoSs=2sin(s-弓)，所以g(x)=2sin(<x+詈,fA(_z.<_.)由g2=2Sm工-=2,得F-=-+2k,keZ,16JI36J362则。=2+6,kZ,又0vv6,所以刃=2,所以f(x)=2sin(2x-2),g(力=2sin(2x+,).对于A：g()=2sin,2x+t)-g(x),所以g(x)不是奇函数，A错误；,.,兀"I,C5n1l对于B：当XW-,时，2x-,2666所以g(x)的图象不关于点(Wob寸称，C错误；TrJTTrTr对于D：当0x2时，-2x+-,6662根据正弦函数的图象与性质可知，Trg(x)在0,-上单调递增,D正确.故选：BD3. (2023广东汕头校考一模)(多选)已知函数x)=sin®x+。)(。0,|同9的最小正周期是,把它图象向右平移。个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是()A.函数/(x)的图象关于直线X=*寸称B.函数/(力的图象关于点心。)对称C.函数/(x)在区间g后上单调递减D.函数/(x)在:考上有3个零点【答案】AC【分析】根据周期及奇函数的性质求出/(x)=sin(2x-方)再利用正弦函数性质逐项判断即可.【详解】因为函数"x)=SinwX+3)口0,|同外的最小正周期是兀，所以。=?=2,2则/(x)=sin(2x+o),把它图象向仃平移半个单位后得到的图象所对应的函数为y=sin(2x+e因为 y = sin(2x + °_1为奇函数，所以。一与=E,ZZ,即9=与+E,kwZ,因为所以A=-I,伊=4,所以f(x)=sin(2x-J,故A正确;对于a,/()=sin(2×f-y)=1-所以函数/U)的图象关于直线X=I对称，对于B,彳部对2哈司=SM用=-»,所以函数/(x)的图象不关于点(色，01寸称，故B错误；函数y = Sinx在-y,-j上单调递减，对于 D,由/(x) = sin(2x-1) = 0 ,得2x-I = E,对于c,当Tg-旧时，2-v4e-4三-4即I号+2Z,令f"+J孚，解得!k?,又AeZ,所以&=1或A=2,426263所以函数/在上有2个零点，分别为与，y,故D错误.故选:AC.4. (2023山西吕梁统考二模)(多选)若函数/(x)=2sin5(cosey-siy)-l(<>0)的最小正周期为兀，则()A./-j=0B./(同在:弓上单调递减C./(x)=-2在0,y内有5个零点D./(x)在-：,：上的值域为一1,应【答案】BC【分析】先利用三角恒等变换公式化简函数解析式，根据其最小正周期求出。的值，从而确定函数解析式,代值计算即可判断A：根据正弦型函数的单调性可判断B；根据正弦函数图象即可判断CD.【详解】/(x)=2sin6Ar(cosftr-sin<y)-l=2sin<5vcos(x-2sin26ur-l=sin2x+cos2twx-2=-sin2x+-2.因为函数的最小正周期为兀，所以=>G=1,故/(力="却2%+力-2.2k47对于A，/-=2sin-2=-2,故A错误；对于B,当XW时,2x+(,，此时F(X)单调递减,故B正确;对于C,7(x)=0sin(2%+：)-2=-2=sin(2x+；)=O,C兀，Trkuv02x+-=ku=X=+9&eZ,482当xe0,时，满足要求的有言，,乎，孚，粤，共有5个零点，故C正确；.2JOOOOO对于D,当XW时，2x+：W»则sin(2x+：)e-,故/(x)-3,忘-2,0D错误.故选：BC技法02三角函数异名伸缩平移的解题技巧常见题型解读在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的伸缩平移变换相对简单，异名三角函数的伸缩平移变换需要先转化为同名三角函数，然后在进行伸缩平移变化，是高考中的高频考点，需强化练习.知识迁移通常用sinx=cos!X-进行正弦化余弦，用CoSX=Sinx+进行余弦化正弦02跟我学解题思维剖析例2-1.（2022四川模拟）若要得到函数力=呵2%+北的图象，只需将函数g（x）=cos（2x+J的图象（）A.向左平移$个单位长度6C.向左平移9个单位长度B.向右平移/个单位长度6D.向右平移三个单位长度解题,技巧点拨O我们可以对平移前g(x)=cos(2x+j进行变换，=cos2x+l=sinf2x+l=sin(2x+y从而转化为g（x）=sin（2x+州j（x）=sin（2x+V）的变换；我们同样也对平移后f（x）=sin（2x+施行变换，/（x）=sin（2%+）=cos（2x+看一）=cos（2x-1），从而转化为g（x）=cos（2x+1力=85（2"-1）的变换，进而求解变换过程【答案】D例22（2022江苏模拟）为了得到函数y=sin（2x+：）的图象，可以将函数y=8s（2x+g）的图象（）A.向左平移三个单位B.向右平移2个单位C.向右平移三个单位D.向左平移三个单位解题技巧点拨O【详解】y=C0S（2x+Ij=Sin+1+/J=Sin（2%+看），设平移了8个单位，得到g（x）=sin（2x+?U2/,则+2Q=f,解得：=,6/6424即向右平移了g个单位.【答案】B!4知识迁移强化1 .（全国高考真题）为得到函数y=cos（2x+£|的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A.向左平移着个长度单位B.向右平移普个长度单位C.向左平移苧个长度单位D.向右平移学个长度单位OO【答案】A【分析】设出向左平移。个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】y=cos（2x+'）=sin（2x+1+3=sin（2x+K）,将函数y=Sin2x向左平移9个长度单位，得到y=Sin。1+独）,故28=营，解得9612即向左平移需个长度单位.故选：A2 .（天津高考真题）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin（2x+?）的图象上所有的点的A.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动E个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动营个单位长度OC.横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动!个单位长度/OD.横坐标缩短到原来的5倍(纵坐标不变)，再向右平行移动E个单位长度24【答案】A【详解】令/(x)=2sin(2x÷-)当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)4时，函数为1,/(x)0Sinu+土)，若图象再向左平行移动£个单位长度，则函数为244yV2sin(x÷-+-)V2sin(x÷)Ecosx，于是选A.4423 .(全国商考真题)为了得到函数y=sin(2x-£|的图象，可以将函数y=cos2x的图象A.向右平移个单位长度B.向右平移!个单位长度03C.向左平移m个单位长度D.向左平移9个单位长度03【答案】B【分析】由三角函数的诱导公式可得y=sij2x-j=cos(2x-9-J)=cos2(x-J),再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由y=sin(2x-m=cos(2x-m-1)=8s2(x-1),V6J623即为了得到函数y=sin(2x-7)的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移？个单位长度，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.4 .(全国高考真题)已知曲线Ci：X=COSX,C:y=sin(2x+g),则下面结论正确的是A.把Cl上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移J个单位长度，0得到曲线C2B.把Cl上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移已个单位长度,得到曲线C2C.把G上各点的横坐标缩短到原来的!倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移J个单位长度，得到曲线C2D.把Q上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移二个单位长度,212得到曲线C2【答案】D【详解】把Cl上各点的横坐标缩短到原来的T倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移三个单位长度，得到函数y=cos2(x+3)=Cos(2x÷7)=sin(2x+4)121263的图象，即曲线C2，故选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但"先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必烈熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母-V而言.函数y=Asin(8+*)(xwR)是奇函数<=>=k(keZ)；函数y=Asin(ftr+夕)(xR)是偶函数Oe=E+(AEZ)；函数y=Acos(fir+0)(xR)是奇函数Oe=E+(AeZ);函数y=Acos(x+°)(xR)是偶函数OO二A(AZ).技法03三角函数最值与值域的解题技巧崂高、常见题型解读在三角函数及三角恒等变换的学习中，经常会遇到求解三角函数型的值域问题，解决问题的关于在于整体思想或换元思想，本内容在高考中也是重要考点.02跟我学解题思维剖析例3-1.(2019全国高考真题)函数/(x)=sin(2x+2y)-3COSX的最小值为解题技巧点拨O【详解】fW=sin(2x+-)-3cosx=-s2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+l=-2(cosx+-)2+,一1COSX1,，当8SX=1时，Znin(X)=T，故函数f(x)的最小值为Y.例3-2.(2023全国,高三专题练习A. /(x)的最大值为3,最小值为B. /(x)的最大值为3,最小值为-C. /(x)的最大值为3+0，最小D. /(%)的最大值为3+应，最小技巧点拨O【详解】因为函数f(x)=SinX+COSXTsinx÷cosx=>2sinx+=r,t则2sinxcosx=/-1,所以y=产+1+1=,+；)+1,ft-1 Q当"一5时，/(Omin=4;当f=&亦故选：C喏看帚知识迁移强化1 .(全国高考真题)函数/(X)=COS2;A.4B.5【答案】B【详解】试题分析：因为/=>2si力取得最大值5,选B.【考点】正弦函数的性质、二次函数【名师点睛】求解本题易出现的错误£)已知函数/(x)=SinX+cosx+2sinxCOSX+2,则()113值为：4值为3-&2sinxcosx+2,一£勾hW+6+6CoSe-X)的最大值为C.6D.7311x+6sinx=-2(sinx一一)2+，而SinXei-1,1,所以当SinX=I时，22的性质QQ1I吉认为当SinX=；时，函数y=-2(SinkT十号取得最大值.2(全国高考真题)函数/(x)=:sin(x+g)+cos(x-g)的最大值为55【答案】A【详解】由诱导公式可得COS(X-1)=cos=Sin(X+则力=M1+扑sin"升轴0+1),函数/(x)的最大值为所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为),=Asin(av+e)+8的形式，再借助：.角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.3.(全国商考真题)函数f(x)=s疗x+6c3一(0,)的最大值是.【答案】1【详解】化简三角函数的解析式，3厂可得/(x)=I-COs2x+>3cosx-=-cos2x+>3cos+-=(cosX+1，由xeO,E,可得COSX0,l,2当CoSX=立时，函数/*)取得最大值L24.(全国高考真题)函数y=coslix-3cosx+2的最小值为()A.2B.OC.-D.64【答案】B【分析】设，=COSX,则-lfl,结合二次函数性质求其最小值即可.31【详解】因为y=cos23cos%+2,设，=COSx,则y=J-3+2=(f-W(TWf小)，由二次函数性质可得当r7,l上单调递减，所以当f=l,y=/一3r+2(Tl)取最小值，最小值为0,故当x=2&,%Z时，函数y=cos2-3cosx+2取最小值，最小值为0,故选：B.5.(2023春河南商丘高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习)函数/(x)=cos2-6cos25+5的最小值为()1A.B.0C.2D.64【答案】B【分析】由题意可得*)=CoS2X_3COSX+2,T=COSX,，£-1,1,根据二次函数的性质求出g(f)=-3+2的最小值即得答案.【详解】解：S/(x)=cos2-6×5-i+5=cos2x-3cosx+2,设=cosx,r-lj,则g(f)=/3/+2,-l,l,由二次函数性质可知当，时，g(r)单调递减，所以当f=l时，g()取得最小值0,故了(力的最小值为0.故选：B.技法04三角函数3的取值范围解题技巧常见题型解读D.2 89,9解题技巧点拨O【详解】因为f（x）22<3)所以若恭X哼则疗1,又/>0,解得0<3<l,.u,3则<x<23323,KTt<,-234,zc34/1Qfl三-<k-/、32323(+l),2328当&=O时，-<-2当&=一1时，因为O<<yl,所以可得Ovtg.所以o,|,1.故选：B!4知识迁移强化1. （2023山西吕梁统考三模）（多选）已知函数/（x）=sin（8+>0,网图，满足加/卜髀/胎）=0,且在信,引上单调，则0的取值可能为（）A.1B.3C.5D.7【答案】AB【分析】由小）=4-,知函数/（力的图象关于仃线X=W对称，结合/年=o可知工是由改O）12k12712“X）的零点，进而得到0=2n+l,"z,由/3住信,引上单调，可得06,进而3=1,3,5,分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由“力=/卜表，知函数/（）的图象关于直线=q对称，又值=0, H喑是函数/(x)的零点,则净方(2+1)/=(2+*片，包即好=2+1,nZ. 218,9上单调,lll122'jll,2918所以。=1,3,5.当。=1时，由五+夕=E,ZeZ,=-+k,kwZ,乂Idg,所以L*此时当Xe悟荒时，-三(-¾-)所以/(x)=Sinn)在伍磊上单调递增，故°=1符合题意；当=3时，由x3+°=A,kwZ、得°=-+E,kwZ,又Id唠,所以0=-彳，此时当Xe信用时，3”：喉割，所以/(x)=Si”3"一；)在(己,1)上单调递增，故0=3符合题意；当。=5时，由15+°=E,kwZ,得/=-+E,kwZ,又Id告,所以L/此时当Emh5x*睚,票)，所以x)=sin(5x*)在悟引上不单调，故&=5不符合题意.综上所述，G=I或3.故选：AB.2. (2022全国统考高考真题)设函数/(x)=sin(s+')在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()-513、-5191(1381<1319'A.b7,T-C.-½D.»"7"36)|_36J63JV66【答案】C【分析】由X的取值范围得到S+?的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意可得0>0,因为Xe(O,乃)，所以0x+q(,wr+q要使函数在区间(0,%)恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx,xe(q,3r)的图象如下所示：1.lll5,八A,J4a13/8.f138则一<+-3、解得一<-,即<丁=.2363163故选：C.3. (2022全国统考高考真题)记函数/(x)=COS(3+8)(g>0,0V兀)的最小正周期为7；若f(7)二亭，X=I为/O)的零点，则。的最小值为.【答案】3【分析】首先表示出7,根据/(7)=*求出。，再根据=方为函数的零点，即可求出口的取值，从而得解；【详解】解：因为/(x)=CoSwX+夕)，(0>0，0<<)所以最小正周期丁=»因为/(T)=COS(e0+夕)=COS(2+e)=cos0=*,又0vg<,所以夕=今，即/(x)=cos(公t+.J,又X=I为/(x)的零点，所以g0+=W+E,kwZ,解得3=3+%/wZ,9962因为0>0,所以当A=O时、=3；故答案为：3,、a,ah,、<、4. (2023浙江校联考模拟预测)定义mm,b=%设函数/(x)=minSinoX,cos以3>0),可以使/(x)在用,今上单调递减的0的值为()73l3"1A.W,B.2,3C.»2D.3,4【答案】C【分析】分段写出函数八幻解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，/W = jcos x, X 2k 5 2ksinxyX函数口的递减区间是一券笥Tl2（2A1r2k2An,一,一+1,keZ,十z57C、r3兀2k2E,nz5r2k2A1,r,于是仁,大）曰一丁+,-+或（KRaL+,+，keZ,122421224即32k,5+40''2.kwZ,解得2、+,2224k594k-,5由0<4k-24k9,1,<4k-55得出<1,无懈2k,5+3-+-50<s4k+2或，412.ryfe,.zfa24&,左£2,解得二25F一.2o4A+2,由<24A5上4心得5-<k<二，则A=0或2=143当A=O时，-6>2,当A=I时，275<6,选项C满足，ABD不满足.故选：C