第六章微分方程及其应用.docx

章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容6.2微分方程的基本概念教学任务目标了解微分方程背景，掌握微分方程的概念教学重点与难点重点：微分方程的概念难点：了解微分方程背景教学内容与时间安排1 .微分方程背景介绍2 .微分方程的概念教学方法与手段方法：讲授教学过程：一.背景介绍数学模型最常见的表达方式，是包含自变量和未知函数的函数方程,。但是在一些特定情况下这类方程还包含未知函数的导数(或微分)，称为微分方程.事实证明，在研究自然现象和社会现象，或某些工程技术问题时，微分方程相关理论应用得越来越广。特别是研究生态环境以及人类的社会生活规律时，微分方程被越来越多的研究者深入研究。例如：(1)种群增长的马尔萨斯(Ma1.thus)模型=M,(2)种群增长的逻辑斯dt谛(1.ogistic)模型把=M(I-&),(3)捕猎-食饵模型生二校4RW,dtKdtdW-=-rW+bRWdt又例如求过(1,2)点，且在曲线上任一点M(X,y)处的切线斜率等于3/的曲线方程。解设所求曲线的方程为y=/(X)。根据导数的几何意义，有=3x2或dy=3x2dx,(1)dx上例中的方程都含有未知函数的导数(或微分)。一其水梅令一.对于这类方程，给出下面的定义1、微分方程：含有未知函数导数(或微分)的方程2、常微分方程：在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量(y,=2x,xydx+(1+x2)dy=0等)3、微分方程的阶：方程中未知函数导数的最高阶数(V=X2一阶微分方程，y+V=O二阶微分方程)4、微分方程的解：能使微分方程成为恒等式的函数尸y(x)5、微分方程的通解：包含任意常数，且独立的任意常数个数与微分方程的阶数相同的解。下面介绍独立含义，定义后面给出。例3y=cxex+c2exVp-=I(常数)0与不独立y=cxex+c2e2x;W=4常数，G与Q独立ee(y=/+C是包=3/的通解，5=-0.3产+c,t+G是咚=-0.6的通解)dx-dr6、初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意数的条件。(y(O)=0,一阶一个条件s(0)=0,s'(0)=30二阶二个条件)【例】验证一阶微分方程y'=型的通解为y=C2(C为任意常数)，并求满足初始X条件y(1.)=2的特解.【解】由y=CY得方程的左边为y=2Cr,而方程的右边为ZZ=空.=2Cx,XX左边=右边，因此对任意常数C,函数y=C都是方程y二互解，即为通解.X将初始条件y(1.)=2代入通解，得C=2,故所要求的特解为y=2/7、微分方程的特解：不包含任意常数的解(满足初始条件的解)。(y=J是包=3/特解S=-03J+3出是“=-0.6的特解)dxdr特解的几何图形称为该方程的一条积分曲线。8、线性微分方程：所含未知函数及其各阶导数全是一次哥时微分方程(y'+(sinx)y=0,y'-2=0)练习：验证方程Ay+3y=0的通解为)，=Cr3(C为任意常数)，并求满足初始条件丸=2=1的特解。三.本次课小结通过本节课的学习，希望学生对于微分方程的概念有正确的认识，能够体会到微分方程的重要作用以及相关性质。作业:习题6.2授课内容章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容6.3一阶微分方程教学任务目标了解一阶微分方程的类型，掌握一阶微分方程常用解法O教学重点与难点重点：一阶微分方程常用解法难点：常数变易法教学内容与时间安排1.可分离变量微分方程（40分钟）2.齐次微分方程（40分钟）；3一阶线性微分方程（40分钟）教学方法与手段教师课堂讲授、师生互动、学生小组讨论等方法§6.3一阶微分方程教学过程：一、可分离变量的微分方程形如半=/（）.g（y）*的微分方程称为可分离变量的方程。dx特点：右边是两个函数之积，其中一个只是X的函数，另一个只是y的函数。处理方法：（1）当g*）w时，分离变量&=/*）八g（y）（2）两边积分J磊=7（大心求出积分G（X）=R*）+C从而得*的解，这种求解过程叫分离变量法。例1解:求微分方程y+冷，=0的通解,y,+xy=0=一孙=-xdx.空dx包y两边积分呼=J-xdx得1.ny=-x2+c1y=e+，22y=±ecir（令C=±）,另外y=0显然是方程解12于是y=ceW"（C为任意常数）是微分方程通解（注：可见积分结果为对数绝对值可省略）例2求方程今=10»丫满足初始条件Ni=O的特解解：原方程可改写为=IOxIOvdx即KrZy=Kr公两边积分10vy = 10at-10v= 10' In1.O1MO÷c化简，得Kr+107=-Cjn1.O令C=-GIn1.o于是10'+1.（v=C把初始条件MZ=O代入上式，求得C=I1。因此，所求微分方程特解为10'+1（T'=11问题诗论1求微分方程生=心，满足初值条件/=0时）=%的解。dt（y=%i”称指数变化律，常用于人口，放射性元素，货币等）二、齐次微分方程形如包=/（¥）#的微分方程，称为齐次微分方程。C1.XX处理方法：令)=即y=wxX得包=X+代入#,得关于未知函数为自变量为X的微分方程dxdxduc,、1du,/、x+«=/(«)或x=jM-udxaxandudx即=/(w)-wx-fducdx两边积分f-=Jf(u)-UJX得f=Inx-1.ncJf(u)-ufdux=ce7f求出积分，将=»回代即得#的通解。X例3：求微分方程y'=2+tan2的通解XX.ny,idydu解：令则y=ur,=x+uXdxdx代入方程得x=tanwdxnry.dx即cotvdu=X两边积分得InSin=InX+1.ncsinu=cx代回原变量得通解SinXVVVsin-练习：求微分方程y'cos2=1.+2cos的通解（原方程的通解为Cr=e"）XXX例4：求微分方程包=，的通解dxxy-x"解:原方程可写为半二dx(9X(2)-1.Xdxu-M-I1.u-idx即du=UX两边积分得w-Inw=1.nx÷C1u=In(XN)+c1即xu=euC=ceu(c=ee')将"=2代入上式，得y=ce：X三、一阶线性微分方程形如V+PMy=qx)(1)的方程称一阶线性微分方程,其中MR)应(X)为已知函数。g(x)称自由项。当式X)=O时，y'+p(x)y=0称一阶线性齐次微分方程。当qx)0时，/+p(x)y=式幻称一阶线性非齐次微分方程。一阶线性齐次微分方程/+p)y=0可用分离变量法手+p(x)y=OOX=-p(x)dxy=-pxdxIny=-pxc1.x+Incy=ce-iP(X)dX(C为任意常数)称公式一阶线性非齐次微分方程V+p()y=q(x)用分离变量法试尝-p(x)yy J件啖MX)卜1.ny = j q")dx - J p(x)dxJ岑 -JP(X 城y = e y e Jy是X函数.一j 也是关于X函数。不妨设c(x) = e3 yy = c(x)e J"。"(C(X)为函数)(3)与(2)形式一致关键求C(X) (3)代入得CJ(X)e J" " +c(x)e J" " -p(x)+ p(x)c(x)e Jc = q(x)即 c,(x) eip(x)dx = q()c'(x) = q(x)J'u"两边积分得C(X) = J"x)JPa"dx +c代回(3)得通解-P(X)dx)，=Jp)"J夕(X)JPa"Zx+c(4)公式其中C为任意常数，每个不定积分与表示一个原函数。从上述方法可知：一阶线性非齐次微分方程的通解，步骤(1)先求齐次线性微分方程的通解y=(2)用函数C(X)代替常数C得y=c(x)eJ"a"”为非齐次线性微分方程的通解。(3)代入原方程求出C(X)(4)将C(X)回代*得非齐次线性微分方程的通解，此方法通常称常数变易法。例5：求微分方程V-1.y=InX的通解。X解：方法一(公式法),()=-q(x)=InX二.原方程的通解：y=e->""Jq(x)eP(x)dxdx+c-f(-)dt.(-i)dr=ejxIJInxeixdx-c=3"J1.nxeTn'公+c=x(-dx-c)z112XX12=x(In-%+c)=Inx+cx22方法二：(常数变易法)先求其对应的齐次线性方程y,-y=OX的通解：=-dx=-dxIny=InX+1.ncyXJyJX齐次线性微分方程的通解为y=cv令原微分方程的通解y=c(x)X代入原方程得c,(x)x+C(X)C(X)X=InXX或c,(x)=1.InxX两边积分得C(X)=Inxd=-In2x÷cJX2因此，原方程通解为：J=(-In2X+c)x=In2X+er22练习：求一阶线性微分方程包一,二3的通解(Id+5)dxX3例6：求微分方程dy+(2孙-X+1)公=O满足初值条件Ni=O的特解。解：原方程可改写为，+-y=-dxXX它的通解为y=eJ"j'(幻"AdX+cd"M鼠+d叫可=(rX1dx+c)=(x-V)dx+cXJJrXj1A2、11Cy= 2=UfX+c)=7÷-X22XX类型微分方程解法可分离变量孚=/(幻g(y)ax分离变量法齐次dxX令2=",再分离变量法X一阶线性齐次y,+p(x)y=0分离变量法，公式法y=cepdv非齐次y,+p()y=q()常数变易法，公式法y=e"""Jq(x)e，()dKdx+c将ya=o代入上式，得C=；于是所求微分方程特解小结：一一十-7X2x本次课小结：作业：习题6.3授课内容章节（单元、专题）第六章微分方程及其应用内容64二阶常系数微分方程教学任务目标了解二阶常系数微分方程背景，掌握微分方程的概念教学重点与难点重点：1.二阶常系数线性齐次微分方程2.二阶常系数线性非齐次微分方程难点：二阶常系数线性非齐次微分方程的解教学内容与时间安排1 .二阶常系数线性齐次微分方程解的结构（40分钟）2 .二阶常系数线性齐次微分方程的解法（40分钟）3二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构（40分钟）4二阶常系数线性非齐次微分方程的解法（40分钟）教学方法与手段方法：讲授教学过程：一.背景介绍线性微分方程在自然科学中的应用非常广泛，除了在上一节我们介绍一阶线性微分方程，还有二阶常系数线性微分方程.形如：y,r+py,+qy=f（）（1）的微分方程，即称为二阶常系数线性微分方程.其中p,g为常数，/（x）为X的连续函数.如果/（九）三0,则y"+"y'+9）'=0称为二阶常系数线性齐次微分方程，如果f（x）不恒为零，则称为二阶常系数线性非齐次微分方程.接下来将分别介绍二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程及其解法。二、二阶常系数线性齐次微分方程1 .二阶常系数线性齐次微分方程yff÷py,+qy=0的解的结构【定义】设y（x）,KCr）是两个定义在区间（。,加内的函数，若它们的比里D为常数，y2M则称它们是线性相关的，否则称它们是线性无关的.例如，函数,="与%=2d是线性相关的，因为今二金=g；而函数y与是线性无关的，因为M二=e"c【定理1】（叠加原理）如果函数M（X）和乃（工）是齐次方程（11）的两个解，则y=Cyx（x）+C2y2（x）（2）也是齐次方程（1）的解,其中G,C2为任意常数；且当M（X）与（x）线性无关时，式（2）就是齐次方程（1）的通解.例如：对于方程），一y=0,容易验证y=-与%=e是该方程的两个解，由于它们线性无关，因此y=G+C2""就是该方程的通解至于定理2的证明不难，利用导数运算性质很容易得到验证，请读者自行完成.2 .二阶常系数线性齐次微分方程）'+），'+社=。的解法求齐次方程（11）的通解，可归结为求它的两个线性无关的解.从齐次方程（H）的结构来看，它的解y必须与其一阶导数、二阶导数只差一个常数因子，而具有此特征的最简单的函数就是指数函数-X（其中为常数）.因此可设y=才为齐次方程（11）的解（厂为待定），则y=r*,y=r2e",把它们代入齐次方程（1）得江（产+pr+q）=O,由于e"w,所以有产+pr+4=0.（3）由于可见，只要，满足方程（3）,函数），=*就是齐次方程（1）的解，我们称方程（3）为齐次方程（1）的特征方程，满足方程（3）的根为特征根.由于特征方程（1）是一个一元二次方程，它的两个根勺与弓可用公式：-p±7p2-,22求出，它们有三种不同的情况，分别对应着齐次方程（II）的通解的三种不同情形，叙述如下：（1） p2-4q>0时，有两个不相等的实根7与G，这时易验证y与=2X就是齐次方程（11）两个线性无关的解，因此齐次方程（11）的通解为：y=Ge"+C2crtx,其中q,。2为两个相互独立的任意常数.（2） P24q=0时，有两个相等的实根勺二弓=，这时同样可以验证y=e"与、2二庇是齐次方程（11）两个线性无关的解，因此齐次方程（I1.）的通解为:y=(G+C2x)erx,其中,C2为两个相互独立的任意常数.(3)p2-44<0时，有一对共枕复根=a+i4与R=旭(/工0),这时可以验证M=产、cos夕X与=e"sin夕彳就是齐次方程(11)两个线性无关的解，因此齐次方程(11)的通解为：y=(C1cosx+C2sinx)eax,其中G,。2为两个相互独立的任意常数.综上所述，求齐次方程y+“y'+gy=O的通解步骤为：第一步，写出齐次方程的特征方程产+pr+q=O;第二步，求出特征根(与R；第三步，根据特征根的不同情形，按照表6.2写出齐次方程(11)的通解.表6.2二阶常系数线性齐次微分方程y+py,+qy=O的通解特征方程r2+pr+q=0的两个特征根,弓齐次方程.v+py,+gy=0的通解两个不相等的实根勺与弓y=C1.er'x+C2erx两个相等的实根r1.=r1=ry=(G+C2x)erx一对共聊复根4=+与4=。一啰y=(C1cosx+C2sinx)eax【例】求微分方程y-2y'-3y=0的通解.【解】所给方程的特征方程为r2-2r-3=0,求得其特征根为Zi=T与与=3,故所给方程的通解为：y=C.e-x+C2e3x.【例】求微分方程'一"'+今=0,满足条件)，(0)=0,;/(0)=1的特解.【解】所给方程的特征方程为r2-4r+4=0,求得其特征根为=A=2,故所给方程的通解为：y=(G+C2x)e2x；将初始条件y(0)=0,V(O)=I代入，得G=0,C2=I,故所给方程的特解为：y=xe2x.二、二阶常系数线性非齐次微分方程1 .二阶常系数线性非齐次微分方程V*+py,+qy=/(a)的解的结构【定理2如果函数y.是非齐次方程“+力'+夕)，=/3)的一个特解，亍是对应的齐次方程y"+"y'+gy=O的通解，那么y=y+y(14)就是该非齐次方程(10)的通解.与定理1比较，可以看出，二阶常系数线性非齐次微分方程与一阶线性非齐次微分方程有相同的解结构.【定理2如果函数y；与y；分别是非齐次方程yf,+pyf+qy=fi()与/+py+=2(x)的一个特解，那么y；+y；就是非齐次方程y+R+qy=f(x)+人(X)的一个特解.2 .二阶常系数线性非齐次微分方程,v+py,+qy=fM的解法第一步，求出对应齐次方程y"+py'+9y=0的通解亍；第二步，求出非齐次方程/+py,+纱=/(x)的一个特解;第三步，写出所求非齐次方程的通解为y=亍+y*.可以看出，关键是第二步非齐次方程y"+py'+gy=/(X)的一个特解如何求.对此我们不加证明地，直接用表6.3给出两种常见类型f(x)时的非齐次方程的一个特解.表6.3二阶常系数线性非齐次微分方程y+py,+qy=/(x)的一个特解/(X)的形式条件特解V的形式f(x)Pm(x)ex4不是特征根y=QmMex4是特征单根y=xQmMex/1是特征重根y=x2QmWex/(x)=eax(Acosyffx+Bsinx)±例不是特征方程根y*=eax(acosx+bsinx)±仅是特征方程根y=xeax(acosx+bsinx)注：Ba)是一个已知的机次多项式，2”。)是与B(X)有相同次数的待定多项式;A,B,a,为己知常数，为待定常数.【例3】求微分方程y+y'=X的一个特解y".【解】因为f(x)=xe0x中的4=0恰是特征方程产+r=0的单根，故可设y*=xax+b)eix=ax2+bx,为方程的一个特解，其中为待定系数，则yt=2ax+b,(y*)"=2,代入原方程，得2a-2ax+b=X,比较等式两边，可解得故原方程的一个特解为：«12V=-X-X.2【例4】求微分方程y-6y'+9y=*的通解【解】第一步，求对应齐次方程y"-6y'+9y=0的通解亍.因特征方程为r2-6r+9=0,所以特征根为(二5=3(是重根)，故对应齐次方程的通解为：y=(C1+C2x)e3x;第二步，求原方程的一个特解y*.因/(x)=中的；1.=3恰是特征方程的重根，故可设：y=ax1eix,其中。为待定系数，则(y*)'=(1.ax+3o¥2)e3r,(y")"=(2+12ax+9ax2)e3x代入原方程，得2a+12ax+9ax2-6(20r+3ax2)÷9ax2e3x=e3x,比较等式两边，可解得1a=2'故原方程的一个特解为：y=-x2e3x-,2第三步，于是原方程的通解为：y=(C1.+C2x)e3x+x2e3x.【例5】求方程y"+y=sinx的一个特解y”【解】因为*)=e°sinx中的+3=i(其中=0,力=1)恰是特征单根，从而可设特解为：y"=MaCOSx+8Sinx),代入原方程，可解得a=-,b=O,2故原方程的一个特解为：.1V=XCOSX.2本次课小结：本节课主要要让学生掌握2阶常系数线性微分方程的齐次和非齐次类型的通解与特解。作业：习题6.4