专题跟踪检测（三）平面向量的运算及应用.docx

专题跟踪检测（三）平面向量的运算及应用一、题点考法全面练1. （2023荆州二模）己知向量m=（3,-4）,n=（-12,5）,则mn+n=（）B. 69D. 43A.56C.-43解析：选C因为向量m=(3,4),n=(-12,5),则mn÷n=3×(-12)÷(-4)×5+叱12)2+52=-3620+13=43.故选。2. (2023全国甲卷)已知向量a=(3,l),b=(2,2),则CoS(a+b,a-b)=()A-LB近a170-17CYD.平解析:选B由题意知,a+b=(5,3),a-b=(i,1),所以C。Sa+b,ab=端转埼5X1+3X(-1)211.,.4.d=3217故选B3. （2023永州二模）设。为448C所在平面内一点，AD=3Af则（）A. CD=3CA2CBB. CD=3CA-l-2CBC. CD=-2CA3CBD. CD=-2C4*+3C解析:选D依题意作图,则B=CB+BD=CB+27H=CB+2(+CB)=2AC-3CB=-2CA+3C,故选D.4.已知平面向量a=2,b=l,a,b的夹角为60o,a+b=3(rR),则实数，=()A.-1B.1C.D.±1解析：选A因为a+也=小，所以aF+2ab+z2bF=3,即4+2X2XCoS60。+=3,解得，=-1.5.已知向量a,b满足（a+b）b=2,且Ibl=I,则向量a在向量b上的投影向量为（）A.1B.-IC.bD.b解析：选C因为Ibl=1,(a÷b)b=a-b+b2=2,所以ab=.所以向量a在向量b上的投影向量为需j=B.故选C.6. (2023临沂模拟)已知等腰直角三角形ABC中，4=5M,N分别是边48,BC的中点，若武=工时+%必，其中s,f为实数，则s+f=()A.-1B.1C.2D.-2解析：选D由题意可得笆=AC-ABiAN=AB+AC,CM=AM-AC=2AB-AC,若BC=SAN+rCM,则AC一AB=S(JABACAB-ACJ=&+»)7耳+&C,可得$+*=1,故s+f=-2.故选D.7. (2023全国乙卷)正方形ABCO的边长是2,E是AB的中点，则笆后=()A.5B.3C.25D.5I解析：选B法一：由题意知，EC=EB+BC=2AB+4。，ED=EAAD=-A+ADt所以笆访=07万+扪)(一小耳+加)=2-a2=4-1=3,故选B.法二：以点A为坐标原点，ABt市的方向分别为居)，轴的正方向建立平面直角坐标系，则E(1,O),C(2,2),D(0,2),则笆=(1,2),S=(1,2),ECED=-1+4=3,故选B.8.设向量a,b满足a=2,Ibl=1,若a+zb<a+b,则向量a与b的夹角不等于()A.30oB.60°C.120oD.150°解析：选C设向量a,b的夹角为仇e0,由向量数量积的运算律可将原问题转化为mR,(a+b)2<(a+b)2,即出+2出心+口)2<或+284+1)2,根据题意整理得尸+4fcos。一4cos-1<0有解，所以/=(4CoS)24(-4cos-1)=16cos2÷16cos6+4=4(2cos。+l)2>0,解得。#120。，故选C.9.(多选)ZABC是边长为2的等边三角形，已知向量a,b满足7H=2a,AC=2a+b,则()A.b=2B.ab=-2C.(4a+b)lCD.a-b=l解析：选AC对于A,b=(2a+b)-2a=AC-AB=BC,则Ibl=IBC=2,故A正确；对于B,ab=1?-"BC=MB>Ccos120o=×2×2×(-=-l,故B错误;对于C,由(4a+b)b=4ab+b2=4X(-l)+22=0,得(4a+b)LBC,故C正确；对于D,a-b2=a2-2ab+b2=l-2×(-l)+4=7l,即a-bwi,故D错误.故选A、C.10.已知等边aA8Cft勺边长为2,。为BC的中点，P为线段AO上一点，PELAC,垂足为E,当下亍下不=一飘，PE=)1>2>1>1A.一£AB÷zACB.TB+AC1>12>1C.-TAB+ACD.-AB+7AC0533解析：选B设R=CSo<<D,则同-XT5TS,=aS,-XAD,PCW=(AC-AD)(AB-Xad)=ACAB-CAD-ABAD+z24D2=2-×2×3××2+3P=3-6z+2=-,922-18z+8=0,.1=,或4舍去).为AABC的重心.PEJMC,£为AC的中点，：.P=A?-A?=-X?)1nI1TAD=AC-×z(AB÷A(f)=AB÷ACf故选B.1L（2O23游州模拟）（多选）如图，已知点O为正六边形ABCZ）E尸的中心，下列结论正确的是（）A.OA+OC+OB=0b. (oa-F)Cef-dc)=c. Coa)-bc=oaCafbc)D.I-OF+-D=M*+-D-c解析：选BC对于A,OA+-OC÷0B=2OB,故A错误；对于B,YpT-H=0A-0E=EAfEF-DC=EF-E0=OFt由正六边形的性质知O/JLAE,，(X-4)(e-"dc)=o,故B正确；对于c,设正六边形的边长为1,则力彳才=1»->1>»_>>>->1>11COS120。=-2，AFBC=Ibcos60°=,；(OAAF)BC=OA(AFBC)0CB=0,式子显然成立，故C正确；对于D,设正六边形的边长为1,o?+oS=oS=1,F-cff=OD+D-C=0-A=y,故D错误.故选B、C.12.(多选)已知向量a=(小，1),b=(cos仇sinJ),则下列说法正确的是()A.若。=竽，则8_LbB.若31）,则6=专C. ab的最大值为2D. |a-b的取值范围是1,3解析：选ACD对于A,当8=学寸，b=（cos号,sin号）=（一/ 乎）,此时ab=3(4)4×=o,故a_Lb,故A正确；对于B,若ab,则COSo=5si11e,所以ta11e乎COS e+sin 乎，所以J=+E,&Z,故B错误；对于C,ab=3cos÷sin=2=2Sin(O+)-2,2,故C正确；对于D,因为a=(5,1),b=(cos,sin。)，所以Ial=(3)2÷12=2,b=cos¼+sin=1,所以Iab=而二彳=?万不彳=2-2Z>+2=5-4sin+,因为SinM+)-l,l,所以5-4sin(<9+§el,9,所以a一bi,3,故D正确.13 .（2023日照二模）若向量a与b的夹角转，且a=4,b=（l,2）,则ab=.解析：因为b=（l,2）,所以b=yA+22=小.又因为向量a与b的夹角为，,且a=4,所以ab=lallblcos=4×75×2=25.答案：2514 .己知夹角为60。的非零向量a，b满足a=2b,Qa心)_Lb,则E=,解析：因为a,b的夹角为60。，JLa=2b,而(2ab)Jb,则(2ab)b=o,所以(2a-b)b=2ab-b2=2abcos60o-b2=0,则2X2xbFxa-db2=o,解得，=2.答案：215 .(2023舟鸟一模)己知。(0,0),A(l,2),8(3,1),若向量m3T,且m与N的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为.解析：根据题意可得1=(1,2),O=(3,-1).设m=(x,y)f因为向量m5才，'ly=2x,且m与力？的夹角为钝角，所以"3X÷(-1)><0,所以XV0,不妨令X=-I,所以y=-2,.3y(一I)%m=(-l,-2).答案：(一1,一2)(答案不唯一)16 .在aABC中，BD=2DC,CE=EA,BE与AD交于点O.若B=X7济+yCA(x,yR),则x+y=.解析：因为W=2锭,CE=EAf所以7浮=36，6=2存.又B=Xd+y,所以M=3xR+yK,CO=xCB+2)W.又BE与AD交于点O,所以3x+y= 1,+2y= 1,123所以x=§,y=j,即x+y=g.答案:二、压轴考法增分练17 .(2023德阳模拟)已知D为正三角形ABC中边BC的中点,七在线段AC上且AE=*C,若AO与8石交于点M,若丽先方=-27,则正三角形ABC的边长为()A. 6B.12C.18D.24A(0, 3),设 M(0, /),所以隹=( 嚼询=3, O. 因为点B,解析：选B如图，建立平面直角坐标系，设正三角形ABC的边长为2a(a>0),则AQ=ACSi号=51,因为AE=TEe所以虏，午勺，8(一,0),254«0,坐4),所以 MA>=(,雪引，Md（一a, 由 M4> M后=27 得一千27,解得a=6.所以AABC的边长为12.故M,E三点共线，所以一£一=彳，解得f=坐，所以T（T 里）.因为*=xS1+y5% 所以<COS G=X一分, sin。=察，23 . Ay sin ”，f-所以 x+y=cos 6+小SinX=Cos 夕+看Sin 8,e=2sin0+g.所以当9=宇时,x+y取得最选B.18 .(多选)已知扇形AOB的半径为1,NAoB=I20。，点C在弧A8上运动，OC=XoA+y口才，下列说法正确的有()A.当C位于4点时，x+y的值最小B.当C位于8点时，x+y的值最大C. C了石的取值范围为一/OD. 0?.谢的取值范围为一/I解析：选ACD以。为原点，以OA为X轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设NAoC=仇则C(CoSO,sin0,其中0y,A(1,O),坐-sin J,所以七T C8>=（l-cos，）（一义cos。） + （ sinsin cos /7- 2 s*n °=g-2 .5sin。+*).因为OWeW拳所以5W6+5律 故Wsin(°+专)1,因此一产受一§由(0+专)0,6,6,大值2,此时点C为AB的中点，当。=0或，=号时，x+y取得最小值1,此时点C为A或B点、,故A正确，B错误：因为丁=（1-CoS仇-sin<9）,CB=（-cost所以丁7F的取值范围为一/O,故C正确；碇京>=碇(W-)=(cosO,“、，冗)八.九15兀,3，所以肝叶肝不，2,故D正确.故选A、C、D.19 .（2023泰安一楼）如图，在等边三角形ABC中，A8=2,点N为AC的中点，点M是边C8（包括端点）上的一个动点，则无W"W的最大值为.I .设 M(x,解析：以AB的中点为原点，48边所在的直线为X轴，AB边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y),则 A = (x+ 1, y), =lx+Q+；, y2)t 刀鼠 N而=(X+则A(1,0),B(l,0),C(0,3),4C的中点乂一；，坐),I)G+；)+/一啕y.M(x,y)在直线BCx+半)一1=0上，x=1,AMNM=（2_察）停一坐）+Q_乎4L*y+3.0WyW5,当y=0时，刀广丽的最大值为3.答案：320 .已知平面向量a,b满足a-b=lRa_Lb,当向量ab与向量3a-b的夹角最大时，向量b的模为解析：taLb,.ab=o,；|a上口=舒一2ab+b2=a2+b2=,即a?=ib?：设向量ab与向量3ab的夹角为WoWeW), cos =(ab)(3ab)3a24ab+b2Iaf3ab9a2-6ab+b29-3-2b2ai一，9一尸3-43+r2I令9-82=z(>0),则cos0=9-8b2当且仅当E=*即=5时取等号）.当。最大时，COSe最小，此时49-8/=巾,解得Ibl=坐