专题跟踪检测（十七）概率与统计的综合问题.docx

专题跟踪检测(十七)概率与统计的综合问题1.某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格,也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为p(0<Xl).(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率小(2)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60元,需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为1万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算？解：(1)由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为CWp2(i-p)+cgP)每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为C(l-p)2l-(l-p)2,综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为<y=C2(lp)+C弼+C(lp)2l(1p)2=-3p5÷12p4-1Ip3+9p2.(2)设每辆汽车质量检测的费用为X元，则X的可能取值为60,100,由题意知P(X=100)=Cip(I-P)2,P(X=60)=1Cp(-p)2,所以随机变量X的数学期望为E(X)=60X1-Cjp(l-p)2+100×Cp1-p)2=60+120P(I-p)2(元)，p(0,l),令/c)=60+120x(1x)2,x(0,l),则f(x)=120(l-X)2-2x(1-X)=120(3-1)(-1),所以当0<x<时，/(x)>0:当彳仁弓，1)时，/(x)<0:所以函数7U)在(o,§上单调递增，在0,1)上单调递减，所以/(x)WjQ)=60+120X1；)2=翠，即E(JQW*(元).所以此方案的最高费用为1+3OoX竿XlOr=与(万元)，综上可知，实际费用估计不会超过预算.2.锚定2060碳中和，中国能源演进“绿之道”.为响应绿色低碳发展的号召，某地在沙漠治理过程中，计划在沙漠试点区域四周种植红柳和梭梭树用于防风固沙，中间种植适合当地环境的特色经济作物.通过大量试验发现，单株经济作物幼苗的成活率为0.8,红柳幼苗和梭梭树幼苗成活的概率均为p,且己知任取三种幼苗各一株，其中至少有两株幼苗成活的概率不超过0.896.(1)当P最大时，经济作物幼苗的成活率也将提升至0.88,求此时三种幼苗均成活的概率；(2)正常情况下梭梭树幼苗栽种5年后，其树干地径服从正态分布M250,52)(单位：mm).梭梭树幼苗栽种5年后，若任意抽取一棵梭梭树，则树干地径小于235mm的概率约为多少？(精确到0.001)为更好地监管梭梭树的生长情况，梭梭树幼苗栽种5年后，农林管理员随机抽取了10棵梭梭树，测得其树干地径均小于235mm,农林管理员根据抽检结果，认为该地块土质对梭梭树的生长产生影响，计划整改地块并选择合适的肥料，试判断该农林管理员的判断是否合理？并说明理由.附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则PaoWZW"+o户0.6827,P(-2°WZW+2)0.9545,P(z-3Zju+3)0.9973.解：(1)由题意得，任取三种幼苗各一株，至少有两株幼苗成活，包括恰有两株幼苗成活，三株幼苗均成活两种情况，故概率为(l-0.8)xp2+2x0.8xp(lp)+0.8Xp2<0.896,47R即3p28p+4.4820,解得或2记(舍去).又p>0,故P的取值范围为(0,I,故P的最大值为0.8,记红柳和梭梭树幼苗均成活为事件A,经济作物幼苗成活为事件8,则有P（八）=O.8X0.8=0.64,P(BlA)=0.88.故所求概率为P(AB)=P（八）P(BA)=0.64×0.88=0.5632.(2)设正常情况下，任意抽取一棵梭梭树，树干地径为Xmm,由题意可知XN(250,52),因为235=250-3X5,所以由正态分布的对称性及“3/原则可知，P(X<235)=×1-P(235X265)×0.0027比0.001.理由1:农林管理员的判断是合理的.如果该地块土质对梭梭树的生长没有影响，由可知，随机抽取10棵梭梭树，树干地径都小于235mm的概率约为0.001，为极小概率事件，几乎不可能发生，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为该地块对梭梭树的生长产生影响，即农林管理员的判断是合理的.理由2:农林管理员的判断是不合理的.由于是随机抽取了10棵梭梭树，所以不可控因素比较多，例如有可能这10棵树的幼苗栽培深度较浅，也有可能是自幼苗栽种后的浇水量或浇水频率不当所致.(答案不唯一，言之有理即可)3.某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节.小张弄了一个套玩偶的摊位，设即表示第i天的平均气温，表示第i天参与活动的人数，i=l,2,，20,根据统计，计算得到如下一些统计量的值：20-20_20_(X/X)2=80,(yl-y) 3 5 2 1 5 2 3 1 31P(r = D=3×4×6+3×4×6+3×4×6=72>=9000,(XLx)(j,-y)=800.1-1/-IJ-I(1)根据所给数据，用样本相关系数4精确到0.01)判断是否可用线性回归模型拟合y与X的关系；3(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住玩偶的概率都为%,8家庭3位成员每轮每人套住玩偶的概率分别为；，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮,每轮每人收费20元，每个玩偶价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？xiyi-nXy附：样本相关系数厂=_(7-T)28亍AV/=1/=I解：(1)由题可知,20Xiyj-20Xy20_20_(为-X)28-y)2=l/=120_E(XLX)8-y)<-2(120(xi-X)2(yi-y)2I=I=l80080×9 000平心0.94,故可用线性回归模型拟合y与X的关系.(2)设A家庭中套中玩偶的人数为X,则Xi3,-),所以E(XD=3端=卷设A家庭的盈利为X2元，则X2=40X-60,所以E(X2)=40E(Xi)-60=-24.设8家庭中套中玩偶的人数为Yi,则Yi的所有可能取值为0,1,2,3,2355=0)=3×4×6=p(r'=1277 2 1仍+罚-,为常数数列，且 匕+罚-1 = P2+WPI=§+1义=1(22),"£=一卜?1却, '2"一)是以PLi=一卷为首项,-I为公比的等比数列,“T=-(一步，p"=5-×(3),-15.随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新渠道.某服装品牌为了给所有 带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了 100个带货平台的销售情况，销售每件服装平 均所需时间情况如下频率分布直方图.)=3×4×6+3×4×6+3×4×6=W=3)=×4×6=531513所以E(Vi)=O×-pr÷1×y÷2×z÷3×zz=.设8家庭的盈利为力元，则r2=4or-6,3所以E(y2)=40E(r)-60=40×-60=-30.因为-24>30,所以8家庭的损失较大.4.晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观(如王家大院、常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山、石膏山等).某旅行团带游客到晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览.若每位游客选择人文景观的概率是京选择自然景观的概率为作游客之间选择意愿相互独立.(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X,求X的均值与方差；(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为分的概率为匕，求P”.解：由题可知XB(5,1),于是E(X)=5x=*O(X)=5XX；=*12117(2)由题可知P=1,P2=3÷3×3=9当时，P,1=Pw-i+Ph-2,22即Pn+jPn-=Pw-+3Pn-2,(1)求m的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数。和中位数；(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间X服从正态分布N(,/),其中"近似为f=100.若该服装品牌所有带货平台约有10OoO个，销售每件服装平均所需时间在(14.4,44.4)范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件服装扣除罂元(Ov<10)；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装奖励舄元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.(结果保留整数)附：若X服从正态分布M4，)，则P(ZL<XV"+(7)=0.683,P(-2<X<+2)=0.954,P(-3o<X<+3)=0.997.参考数据：62.45.解:由频率分布直方图可得(0.008+2w+0.024÷0.032+0.004)X10=1,解得/=0.016.故平均数a=10×(0.008×10+0.0I6×20+0.024×30+0.032×40+0.016×50+0.004×60)=10×(0.08+0.32+0.72+1.28+0.80+0.24)=34.4.设中位数为X,由(0.008+0.016+0.024)X10=0.48<0.5,(0.008÷0.016+0.024+0.032)×10=0.8>0.5,得354<45,M0.48+(-35)X0.032=0.5,解得=35.625,即中位数为35.625.(2)由题意，"="=34.4,且14.4=34.420=幺2644.4=34.4+10=z+,故P(X>44.4)=P(X>+)=×(1-0.683)=0.1585,所以在时间大于44.4分钟的平台内约有IooooXO.1585=1585件；P(X<14.4)=P(X<-2)=×(1-0.954)=0.023,所以在时间小于14.4分钟的平台内约有100ooXO.023=230件,则“合格平台”约有10000-1585-230=8185件.所以需要资金为1585x(第)+230X+8185=10s3-5005÷8185,由于OVVI0,可令<s)=10d500s+8185(0vs<10),则/($)=30-500,令/(三)=0,则S=邛当0<$<斗时，f,(5)<o,单调递减；当耳<s<o时，f(5)>o,心)单调递增;故y（s）有最小值=8185一吗坐右6824,故至少需要准备6824元.