二维自适应滤波器设计和实现机械制造及其自动化专业.docx

目录摘要1Abstract2第一章绪论21.1 背景和意义21.2 自适应滤波器的原理及应用31.2.1 自适应滤波器的基本原理31.2.2 自适应滤波器的应用41.3 自适应滤波算法514论文结构5第二章2D-LMS自适应滤波算法72.1 LMS算法简介72.2 2D-LMS算法82.3 MATLAB仿真92.3.1 仿真条件92.3.2 仿真结果与分析10第三章2D-NLMS自适应滤波算法123.1 NLMS简介123.2 2D-NLMS算法123.3 MATLAB仿真123.3.1 仿真条件123.3.2 仿真结果与分析13第四章2D-APA自适应滤波算法164.1 APA简介164.2 2DAPA算法164.3 MATLAB仿真174.3.1 仿真条件174.3.2 仿真结果与分析18第五章二维自适应噪声消除（2D-ANO215.1 简介215.2 MATLAB仿真215.2.1 仿真条件215.2.2 仿真结果22第六章总结与展望246.1 总结246.2 展望24参考文献25致谢错误!未定义书签。摘要自适应滤波器通过使用递归算法来估计未知系统，具有较强的适应性和跟踪能力。而将一维自适应滤波算法扩展到二维结构便得到二维自适应滤波器。二维结构对自适应滤波器的图像数据处理能力有很大提高，二维自适应滤波器能够考虑到二维固有的非平稳统计特性数据以及二维统计相关性。目前，二维自适应滤波器已应用于各种图像处理应用，如图像恢复，图像增强，自适应噪声消除和二维系统识别等。本文首先对自适应滤波器的原理进行了讨论，详细介绍了三种二维自适应滤波器算法，即二维最小均方(2D-LMS)算法、二维归一化最小均方(2D-NLMS)算法和二维反射投影(2D-APA)算法，并通过使用MATLAB软件对其仿真得到MSD曲线，比较不同算法的性能。然后将三种算法用于图像处理中的图像噪声消除，对图像的去噪性能进行比较。关键词：二维自适应滤波器，噪声消除，MATLAB仿真AbstractTheadaptivefilterestimatestheunknownsystembyusingarecursivealgorithmandhasstrongadaptabilityandtrackingability.Aone-dimensionaladaptivefilteralgorithmisextendedtoatwo-dimensionalstructuretoobtainatwo-dimensionaladaptivefilter.Thetwo-dimensionalstructuregreatlyimprovestheimagedataprocessingcapabilityoftheadaptivefilter.Thetwo-dimensionaladaptivefiltercantakeintoaccountinherentnon-Stationarystatisticalcharacteristicdataandtwo-dimensionalstatisticalcorrelation.Currently,2Dadaptivefiltershavebeenappliedtovariousimageprocessingapplicationssuchasimagerestoration,imageenhancement,adaptivenoisecancellation,and2Dsystemidentification.Thispaperfirstdiscussestheprincipleofadaptivefilter,andintroducesthreetwo-dimensionaladaptivefilteralgorithmsindetail,namelytwo-dimensionalleastmeansquare(2D-LMS)algorithm,two-dimensionalnormalizedleastmeansquare(2D-NLMS)algorithmandtwo-dimensionalreflectionprojection(2D-APA)algorithmareusedtosimulatetheMSDcurvebyusingMATLABtocomparetheperformanceofdifferentalgorithms.Thenthethreealgorithmsareusedforimagewithnoiseeliminationinimageprocessing,andtheimagecancellationperformanceiscompared.Keywords:Two-dimensionaladaptivefilters,Noisecancellation,MATLABsimulation第一章绪论1.1 背景和意义自适应滤波器的开发与应用是在现今自适应信号处理领域中非常活跃的课题之一。由于其具备较强的自学习、自跟踪的能力以及算法的易实现性等特点，其理论及方法在通信、雷达、声呐、控制、导航、地震学以及生物医学等领域有着广泛应用1O传统的滤波器算法，如维纳滤波器是一一种基于最小均方误差准则建立的最优线性滤波器,它利用信号的统计特性,对含噪声信号进行滤波。当输入过程是广义平稳的，且输入信号的统计特性已知的情况下，维纳滤波器的输出与期望输出误差的均方值达到最小。但在实际应用中，信号的输入统计特性可能是未知的，也可能是变化的。在这种情况下，自适应滤波器有较好的滤波性能，不需要知道所处理信号的所有统计特性，且系数也不是固定不变的，而是能通过多次迭代的运算来实现系数的更新变化，完成滤波运算。即自适应滤波器能够根据环境情况的变化来改变滤波器的参数和结构。而在滤波器算法中，滤波器系数是根据运算过程中的误差函数或均方误差来进行调整的。目前的自适应滤波算法主要有最小均方算法(LMS).仿射投影算法(APA)和最小二乘法(RLS)以及一些改进的算法，如归一化LMS算法(NLMS),变步长LMS算法(VSS-LMS)等。二维自适应滤波器因为能够考虑到二维固有的非平稳统计特性以及二维的统计相关性，在图像处理中有着广泛应用，如图像恢复，图像增强，自适应噪声消除，二维自适应线性增强器以及二维系统识别3。而将一维自适应滤波算法扩展到二维结构便得到二维自适应滤波器，并由此提出了2D-LMS算法(二维最小均方算法)，2D-NLMS算法(归一化的二维最小均方算法)，2D-APA算法(基于仿射投影的二维自适应算法)。1.2 自适应滤波器的原理及应用自适应滤波器一般包括两个基本过程，其中滤波过程通过对一系列的输入数据产生输出响应，而自适应过程就是为了给滤波过程提供一种可调参数的自适应算法，这两个过程是相互影响的。1.2.1 自适应滤波器的基本原理自适应滤波器的一般结构如图1-1所示，设M攵)为输入信号，y(2)为输出信号，d(k)为期望信号，而误差信号y(Z)。通过利用误差信号构建目标函数，并通过使误差信号e(Z)尽可能的趋近于0,实现自适应滤波器的输入信号与输出信号的最佳匹配。d(k)自适应滤波器主要包括三个部分：(1)自适应滤波器的结构：自适应滤波器可以通过多种不同结构实现，并且不同结构还会对计算复杂度、收敛速度等性能造成影响。如FIR滤波器又称为横向滤波器;格型预测器，具有模块结构；脉动阵列，即并行计算网络。本文主要参考横向滤波器，以此为基础建立的自适应横向滤波器是自适应滤波器的基本结构。(2)性能判据：自适应滤波过程是一个迭代收敛过程，本文采用稳态均方误差(MeanSquareDeviation,MSD)来分析自适应滤波器的算法性能。根据图1-1,将一维扩展到二维，则均方差可以定义为：MSD=:101og10M(i,)-W0(i,)(I.I)KA=I其中，WO(V)表示未知系统，、町(")表示网络中第节点(仃)的权值向量。(3)算法：自适应算法使用不同的目标函数，通过输入信号X伙)和期望信号"(Z)的迭代来确定滤波器参数。不同的算法对计算复杂度，最优解的存在性等自适应特性有直接影响。1.2.2 自适应滤波器的应用通过对自适应滤波器的期望信号和输入信号使用不同的选取方式，就可以得到自适应滤波器的不同应用。自适应滤波器的应用主要分为四种基本类型，包括系统的辨识(图1-1就是一个简单的一维自适应滤波器的辨识模型)；还包括干扰消除(例如噪声消除)；逆模型；预测。本次毕业设计主要涉及二维自适应滤波器在图像噪声消除的应用以及二维自适应滤波器的辨识的应用。1.3 自适应滤波算法本次毕业设计涉及的自适应滤波算法目前主要分为以下几种：最小均方算法(LeaStMeanSqUare,LMS)：是目前使用广泛的滤波器算法，具有计算复杂度低，稳定性强，易于收敛等特点。而二维最小均方算法(2D-LeaStMeanSqUare,2DLMS)实际上是LMS算法的在二维上的扩展，用于非平稳图像的估计，但其特征值差异具有高度敏感的特性，并且其收敛速度较慢，在许多应用中不适用。(2)归一化最小均方(NOrmaIiZedLeastMeanSquare,NLMS)算法：通过将LMS算法进行归一化处理就能得到NLMS算法，NLMS算法考虑了滤波器输入幅度对其收敛速度的影响。而且可以防止输入信号MZ)的突变带来的自适应系数的突变，使算法性能得到提升。将其扩展到二维便得到二维归一化最小均方(2D-NormaIiZedLeastMeanSquare,2D-NLMS)算法4。(3)仿射投影(AffinePrOjeCt,APA)算法：当输入数据高度相关时，使用仿射投影算法能够提升收敛性能，但计算复杂度大大提高。将其扩展到二维得到基于反射投影的二维自适应算法(2D-AffInePrOjeCt,2D-APA)算法5。该算法收敛速度快，跟踪能力强，缺点就是计算复杂度过高。1.4 论文结构本文的主要内容如下：第一章介绍了自适应滤波器的背景及意义，自适应滤波器的原理与应用，本次毕业设计使用到的几种自适应算法，并说明了本文的内容及主要工作。第二章介绍了二维最小均方算法(2D-LeaStMeanSqUare,2D-LMS),并进行仿真，分析其稳态性能。第三章介绍了二维归一化最小均方(2D-NormaIiZedLeastMeanSquare,2D-NLMS)算法，并与2D-LMS算法进行仿真比较6。第四章介绍了基于仿射投影的二维自适应算法(2D-AffineProject,2D-APA),并与2D-LMS,2D-NLMS两种算法进行仿真比较。第五章将2D-LMS,2D-NLMS,2D-APA三种算法应用于图1-3所示系统，对同一含噪图像进行自适应噪声消除，并通过去噪结果比较几种算法的性能。第六章对全文进行简单总结和展望。第二章2D-LMS自适应滤波算法2.1LMS算法简介泛应用。该滤波器的输出为误差信号可以表示为最小均方算法(LeaStMeanSquare,LMS)由B.维德罗于上世纪70年代提出7。LMS算法利用线性组合器实现滤波器，具有结构简单，性能稳定等特点，得到了广(2. 1. 1)(2. 1.2)y（八）=X(Z)W/（八）ek)=d(k)-yk')=(A)-x(A)w7k)其中y(Z)为输出信号，d仪)为期望信号。该算法的滤波器系数由输入信号MZ)与误差信号42)来决定，从而实现最小均方误差准则8。对于i=0J2,.,N-l,求估计误差e(女)与抽头输入式(左-，)的内积，得到自适应滤波系数相对于维纳解的误差可以表示为w(左)=w（八）w(2.1.3)其中WO=RT,利用最陡下降法可以得到权值向量w(Z+l)=w(攵)-I2,g(Z)(2.1.4)其中g=W(w)=a(w)/冰，W(W)为代价函数J(W)的梯度向量。k表示迭代次数,为步长参数且>0,1/2因子的引入可以使计算方便。由式(2.1.4)可知，在攵到Z+1次迭代时，校正量w(Z)=T/2g(Z)(2.1.5)设d(%)和MZ)是联合广义平稳随机过程，可以通过矩阵R（八）和向量P(Z)来估计。则g（八）=-2P（八）+2RW(Z)(2.1.6)其中(2. 1.7)R（八）=X(Z)XT(%)P(k=x(k)d(k)由此得到的梯度算法即为LMS算法。将(2.1.6),(2.L7)代入1.4)中可以得到其迭代方程为w(攵+ 1) = W(Z)+ 2(Z)x(Z) 1.8)2.2 2D-LMS算法将最小均方算法(LeaStMeanSqUare,LMS)扩展到二维，便得到二维最小均方算法(2D-LeastMeanSquare,2D-LMS)0该算法采用有限脉冲响应(FlR)线性模型。为了简化估计任务并减少实时应用中的计算量，提出了这种方法。让它作为一个线性二维FlR模型的输入，每个点定义在规定间隔的区间上，即(i,)M,M2，其中MI和M2指定输入数据的顺序。y(ij)为二维有限脉冲响应(FlR)数字滤波器的输出信号，表达式如下：y(V)=f£卬(人少(,，-/)2.1)/=O/=0其中MV)是输入信号，VVa/)为滤波器权矢量，Nl和N2指定了FIR滤波器的阶数。该二维未知系统是由满足正态分布的随机数组成的NxN2的矩阵，为了比较方便，将其转换为长度为Xl的一维列向量。在迭代期间，这些列向量可以表示为 2. 2)(2. 2. 3)Wji,y)=W(0,0),W(0,l),.,W(-l,V2-2),W(M-LN2-1)FXGj)=MhXMQJ-D,.,X(i-N1+1J-N22),4-Vi+1J-TV2÷1)7'其中k是迭代次数且0%MM2°从(2.2.2)和(2.2.3)可知，二维FlR滤波器的输出外(i,1)可以表示为”(i,j)=W(i,j)X*(i,j)(2.2.4)2D-LMS算法同LMS算法一样基于最陡下降法，并且根据该原理，二维滤波器权矢量可以表示为wa÷ia，J)=Nkaj)f C.(2. 2. 5)其中为步长，.(i,j)为迭代k次的误差信号，可以表示为eg,j) = dk(i,jAWKLj)X&j) 2. 6)另外，4(i,力为期望信号。2DLMS算法是实现二维维纳滤波器的一种实用方案，没有明确求解维纳-霍夫方程。因此，2D-LMS自适应滤波器的迭代公式可以表示为(2. 2. 7)WEaj)=W式i,j)+2"X",力Ga,力2.3 MATLAB仿真2.3.1 仿真条件本节基于MATLAB软件，使用2D-LMS算法实现了自适应滤波器的系统辨识结构的应用9。图2-1二维自适应滤波器辨识结构图如图21二维自适应滤波器辨识结构图所示，仿真条件如下10：(1)未知系统%：在公式2.2)和2.3)中已经知道，未知二维系统WO是一个NxN2的矩阵，为了与自适应滤波器方便比较，将其转换为长度为NMXl的一维列向量。本次实验中，通过randn函数产生正态分布的矩阵，均值为0,方差为1,该一维列向量为100Xlo(2)输入信号：首先由mndn函数产生一个二维高斯白噪声矩阵(,/),大小为300x300,将其通过如公式3.1)所示的二维低通滤波器，就能得到有色输入信号x(i,)<>x(i9j)+mx(i,j-l)+mx(i-l,j)+nx(iJ-2)+nx(i-2j)+m2x(i-lJ-l)()+n2x(Z-2,y-2)+wr(-l,J-1)÷wtr(Z-2,y-1)=v(,y)其中滤波器模型系数加=T).2,n=0.6o注：将矩阵大小设为300x300主要考虑到第五章二维自适应噪声消除应用中处理的图片大小。(3)误差信号e(i,力：误差信号可由公式(2.1.2)扩展到二维得到，公式如下：e(i,j)=d(i,j)-y(i,j)3.2)(4)测量噪声f(ij)是一个均值为0,噪声方差为0.001的二维高斯白噪声，并且与输入信号互相独立11。(5)性能判据：采用稳态均方误差(MeanSqUareDeViation,MSD)来分析二维最小均方算法(2D-LeaStMeanSquare,2D-LMS)的性能，单位为分贝(dB)。仿真结果都是经过30次独立实验平滑后得到的结果12。2.3.2 仿真结果与分析如图2-2所示，实现了基于2D-LMS算法的辨识系统的仿真。-35-400123456789迭代次数XIO40 5 0 5 112 2 _ 一 _ffipQs图2-22D-LMS算法仿真图由于步长因子4的选取会对2D-LMS算法的性能产生影响，所以本次实验分别采用了不同步长因子进行仿真，步长因子取值4=0.006,/=0.009和=0.012。从图中可以知道，当步长因子"=0.006时，收敛曲线大约在迭代3000次达到稳定，收敛值为MSD=-35dB;当步长因子=0.009时，收敛曲线大约在迭代2000次达到稳定，收敛值为MSD=-32dB;当步长因子=0.012时，收敛曲线大约在迭代100O次达到稳定，收敛值为MSD=-30dB0通过以上结果可以得出，步长因子M影响算法性能。当步长较大时(如0.012),2D-LMS算法收敛速度较快，但稳态偏差大，即对未知向量的估计时间较快，但是估计的准确度不高；而步长较小时（如0.006）,稳态偏差会相对较小，但收敛速度缓慢，即估计时间较慢但准确度较高。第三章2D-NLMS自适应滤波算法3.1NLMS简介归一化最小均方(NormalizedLeastMeanSquare,NLMS)算法相较于LMS算法，具有更快的收敛速度13。其迭代公式可以表示为W(A+1)=w(%)+2e(k)x(k)(3.1.1)其中4的选取必须实现快速收敛，所以为了提高收敛速度，可以通过选取合适的外值来尽可能地减小瞬时平方误差140k值的表达式如下u.=-(3.1.2)2T(%)x(%)将(3.1.2)代入(3.1.1)可得W(Ei(3黑需(313)为了控制失调量，需要引入固定收敛因子4,同时为了避免XT(Z)X(Z)较小时，步长太大，引入常数所以归一化NLMS算法的迭代公式为w(Z+l)=w(>"优*、(3.1.4)VV76+XT(Z)X(Z)3.2 2D-NLMS算法将一维NLMS算法扩展到二维，便得到了二维归一化最小均方(2D-NOrmaIiZedLeastMeanSquare,2D-NLMS)算法。和一维NMLS算法一样，为了克服2D-LMS算法收敛速度慢的缺点，提出了2D-NLMS算法，考虑了滤波器输入幅度的影响。2D-NLMS算法的迭代公式为wa+i(z,j)=Wa(/,)+xk(i,7)(xJ(/,j)xk(z,j)+)'ek(Z,j)(3.2.1)其中为了防止Xxij)X«(i,力较小，引入的常数S。3.3 MATLAB仿真33.1仿真条件本节基于MATLAB软件，使用2D-NLMS算法实现了自适应滤波器的系统辨识结构的应用，如图2-1二维自适应滤波器辨识结构图所示，仿真条件如下15：(1)未知系统w°：同2.3.1中的(1),未知二维系统w°是一个NxN2的矩阵，为了与自适应滤波器方便比较,将其转换为长度为NMXl的一维列向量。本次实验中，通过randn函数产生正态分布的矩阵，均值为0,方差为1,该一维列向量为IooX1。输入信号x(i,j):首先由randn函数产生一个二维高斯白噪声矩阵y(i,j),大小为300x300,将其通过如公式3.1)所示的二维低通滤波器，就能得到有色输入信号Mij)。其中滤波器模型系数m=-2,Ti=0.6o注：将矩阵大小设为300x300主要考虑到第五章二维自适应噪声消除应用中处理的图片大小。(3)误差信号信,力：误差信号为e(i,j)=d(i,j)-y(i,j)°测量噪声MiJ)是一个均值为0,噪声方差为0.001的二维高斯白噪声，并且与输入信号互相独立。(5)性能判据：采用稳态均方误差(MeanSqUareDeViatiOn,MSD)来分析二维归一化最小均方(2D-NormaliZedLeastMeanSqUare,2D-NLMS)算法的性能，单位为分贝(dB)o仿真结果都是经过30次独立实验平滑后得到的结果。332仿真结果与分析(1)实现基于2D-NLMS算法的辨识系统的仿真。Oooo 12 3 一 (BP)QSW0123456789迭代次数×104图3-l2D-NLMS算法仿真图如图3-1所示，由于步长因子的选取会对2D-NLMS算法的性能产生影响，所以本次实验分别采用了不同步长因子进行仿真，步长因子分别取值=0.10,4=0.25和=0.35。从图中可以知道，当步长因子=0.10时，收敛曲线大约在迭代18000次达到稳定，收敛值为MSD=T3dB；当步长因子"=0.25时，收敛曲线大约在迭代7000次达到稳定，收敛值为MSD=-3&1B；当步长因子"=0.35时，收敛曲线大约在迭代4000次达到稳定，收敛值为MSD=-36dB。通过以上结果可以得出，步长因子影响算法性能。当步长较大时（如0.35）,2D-NLMS算法收敛速度较快,但稳态偏差大，即对未知向量的估计时间较快，但是估计的准确度不高；而步长较小时（如0.10）,稳态偏差会相对较小，但收敛速度缓慢，即估计时间较慢但准确度较高16。（2）将2D-NLMS算法与2D-LMS算法进行比较。在图3-2中，将2D-LMS算法的步长因子4设置为0.001,2D-NLMS算法的步长因子4设置为0.09,使得两种算法在MSD=Y4dB的收敛值下收敛。在相同的收敛值下，2D-LMS算法大约在25000次达到稳定，而2D-NLMS算法大约在21000次达到稳定。图3-22D-NLMS算法与2D-LMS算法对比图一在图33中，将2D-LMS算法的步长因子设置为0.006,2D-NLMS算法的步长因子设置为0.45,使得两种算法在迭代3000次时达到稳定。在相同的迭代次数下，2D-NLMS算法的收敛值MSD=-36.5dB,而2D-LMS算法的收敛值MSD=-35dB05=0.006.2D-LMS=0.45.2D-NLMS-40111111''0123456789迭代次数×104图3-32D-NLMS算法与2D-LMS算法对比图二通过以上仿真结果可以得出，在达到相同的收敛值时，2D-NLMS算法的迭代次数更少，在迭代次数相同时，2D-LMS算法的稳态偏差更低，即2D-NLMS算法的收敛速度更快，对未知系统的估计更加准确17。第四章2DAPA自适应滤波算法4.1 APA简介仿射投影算法(AfflneProject,APA)是基于归一化最小均方误差算法(NLMS)提出的，是NLMS算法的一种多维推广(在投影阶数的值为1时，该算法等价于NLMS算法)18。仿射投影算法提高了收敛速度，改善了跟踪性能，但计算复杂度大大增加，相对的抗干扰能力较弱19。仿射投影算法的主要思想是重复利用过去的数据信号，以提高自适应滤波算法的收敛速度。它将当前的输入与前一时刻的输入组成一个LXK的多维仿射投影矩阵，同时使用在同一次迭代中，即Xft=X"'X"-，'X"-+J(4.1.1)在这个条件下，每次迭代时的误差已经不再是一个数值，而是一个长为K的向量42),并且期望响应d(Z),自适应滤波器输出)，(2)也已经成为一个长度为K的向量。根据NLMS算法的权值向量迭代公式(3.1.4),可以整理出APA算法的迭代公式：WLWi+XKX【X+m)-%(4.1.2)公式中的夕也由一个较小的常数变成一个矩阵，本文中/7=0.001,其中I为K阶的单位矩阵。4.2 2D-APA算法将仿射投影算法(APA)扩展到二维，便得到二维仿射投影算法(2D-AffineProject,2D-APA)o2D-APA算法与2D-LMS算法相比，具有更好的收敛性能，然而计算复杂度也大大增加20。该算法可以表示为使下列目标函数最小化的二维自适应滤波器:min=IIWj,+1(ZJ)-WJz,J)H2(4.2.1)o)期望信号为4(i,/)二恕(i,)W+(3)(4.2.2)在2D-P算法中，使用(KXL)的多维仿射投影矩阵来引入参数K和L,同时应用于同一迭代中，两个参数的取值范围0K乂ftOL7V2o2D-APA算法的输入信号为矩阵刈(Lj),它的维度为MMxKL,可以表示为(4. 2. 3)刈(i,7)=L(4力,X(-1)Xk(i-K1,7)J其中Vfm=O,L.,K-1(424)这是维数为NMXL的矩阵。此外，(4.2.2)中的4G/)是维数为-Xl的期望信号:dk(ifj)=d(J),d(,j-l)t.,d(i-K+lJ-L+I)F(4.2.5)从上面可以看出，2D-APA算法的自适应滤波器系数的迭代公式可以表示为Wa+1(/,j)=NkH，7)÷从新曲。/)的(A7)+11,eJ)(4.2.6)其中误差信号可以表示为“(i,j)=4(i,力一短(Z,Wj)(4.2.7)4.3 MATLAB仿真4.3.1 仿真条件本节基于MATLAB软件，使用2D-NLMS算法实现了自适应滤波器的系统辨识结构的应用，如图2-1二维自适应滤波器辨识结构图所示，仿真条件如下：(1)未知系统w。：同2.3.1中的(1),未知二维系统w°是一个MXN2的矩阵，为了与自适应滤波器方便比较,将其转换为长度为NMxl的一维列向量。本次实验中，通过randn函数产生正态分布的矩阵，均值为0,方差为1,该一维列向量为IoOX1。输入信号MV)：首先由mndn函数产生一个二维高斯白噪声矩阵乂仃)，大小为300x300,将其通过如公式3.1)所示的二维低通滤波器，就能得到有色输入信号x(i,j)°其中滤波器模型系数m=-02,n=0.6o注：将矩阵大小设为300x300主要考虑到第五章二维自适应噪声消除应用中处理的图片大小。(3)误差信号e(i,j):误差信号为C(V)=d(i,)-y(i").(4)正则化因子为0.OOl0(5)K值为投影阶数，当K值为1时，该算法等价于2D-NLMS算法。测量噪声0(。力：0(i,/)是一个均值为0,噪声方差为0.001的二维高斯白噪声，并且与输入信号互相独立。性能判据：采用稳态均方误差(MeanSqUareDeViation,MSD)来分析二维仿射投影算法(2D-AffinePrOjeCt,2D-APA)的性能，单位为分贝(dB)。仿真结果都是经过30次独立实验平滑后得到的结果。4.3.2仿真结果与分析(1)实现基于2D-APA算法的辨识系统的仿真(投影阶数K=4)o-40-30-350123456789 迭代次数×1045 O0 5 0 5112 2 mpQ图4-12D-APA算法仿真图如图4-1所示，由于步长因子M的选取会对2D-APA算法的性能产生影响，所以本次实验分别采用了不同步长因子进行仿真，步长因子分别取值"=0.05,4=0.1和=0.9o从图中可以知道，当步长因子=0.05时，收敛曲线大约在迭代5(X)0次达到稳定，收敛值为MSD=-38dB;当步长因子4=0.1时，收敛曲线大约在迭代2000次达到稳定，收敛值为MSD=-36dB；当步长因子"=0.9时，收敛曲线大约在迭代1000次达到稳定，收敛值为MSD=-27dB0通过以上结果可以得出，步长因子影响算法性能。当步长较大时(如0.9),2D-APA算法收敛速度较快，但稳态偏差大，即对未知向量的估计时间较快，但是估计的准确度不高；而步长较小时(如0.05),稳态偏差会相对较小，但收敛速度缓慢，即估计时间较慢但准确度较高。(2)投影阶数K的不同取值的2D-APA算法对比仿真。对不同投影阶数的2D-APA算法进行仿真，如图4-2,本次仿真的步长因子均为0.05。当投影阶数K=I时-，收敛曲线在迭代41000次时达到稳定，收敛值MSD=T6dB；当投影阶数K=2时，收敛曲线在迭代15000次时达到稳定，收敛值MSD=T3dB；当投影阶数K=4时，收敛曲线在迭代4000次时达到稳定，收敛值MSD=-38dB;当投影阶数K=6时，收敛曲线在迭代2000次时达到稳定，收敛值MSD=-36dBo通过本次仿真结果，可知当K较小时，算法失调量较小，但算法的收敛速度较慢。反之K较大时算法收敛较快，但失调量较大。其中当K值为1时，该算法等价于2D-NLMS算法。00123456789 迭代次数1C)4-40(BPQSW-50图42不同投影阶数的2D-APA算法仿真(3)将2D-APA算法与2D-NLMS算法，2D-LMS算法进行比较。在图4-3中，将2D-LMS算法的步长因子设置为0.001,2D-NLMS算法的步长因子设置为0.09,2D-APA算法的步长因子设置为0.015。使得三种算法在MSD=Y4dB的收敛值处收敛。在相同的收敛值下，2D-LMS算法大约在25000次达到稳定，2D-NLMS算法大约在21000次达到稳定，2D-APA算法大约在12000次达到稳定。OpQsw123456789迭代次数×104图4-32D-APA算法与2D-LMS,2D-NLMS算法对比图一在图4-4中，将2DLMS算法的步长因子设置为0.006,2D-NLMS算法的步长因子设置为0.45,将2D-APA算法的步长因子设置为0.05,使得三种算法在迭代3000次时达到稳定。在相同的迭代次数下,2D-NLMS算法的收敛值MSD=-36.5dB,2D-LMS算法的收敛值MSD=-35dB,2D-APA算法的收敛值MSD=-3&1B。(BP)QS 工-30-35-400123456789迭代次数×104图4-42D-APA算法与2D-LMS,2D-NLMS算法对比图二通过以上仿真结果可以得出，在达到相同收敛值时，2D-APA算法的迭代次数最少；在迭代次数相同时，2D-LMS算法的稳态偏差最低。即收敛速度2D-APA算法2D-NLMS算法2D-LMS算法。2DAPA算法对未知系统的估计更加准确，但计算复杂度较大。第五章二维自适应噪声消除(2D-ANO5.1 简介在自适应滤波器的应用中，自适应噪声消除的目的是从接受信号中减去噪声，从而改善信噪比21。二维自适应噪声消除(2D-ANO可用于二维图像的处理，如图片去噪，图像回复，图像增强。5.2 MATLAB仿真5.2.1 仿真条件如图5-1二维自适应噪声消除结构图所示：期望信号d(V)为原图信号可。)(即输入信号)与噪声信号v(z,j)的叠加，噪声信号w(，/)由高斯白噪声信号u(i,通过一个二维的低通滤波器得到。仿真条件如下：('/)=£(M+心力e(i,j)图5-1二维自适应噪声消除(2D-ANC)结构图仿真了两组图片：输入信号£«，/)是一个300x300像素的原始图像；输入信号xb(i,j)是一个256×256像素的原始图像。由randn函数产生两个二维高斯白噪声矩阵匕(仃)和(仃)，大小分别为300x300和256x256,一般将其通过二维低通滤波器就能得到噪声信号和vlb(AJ)220(3)本次毕业设计通过将输入信号(IJ)与噪声信号vla(z,J)转换为长度为90000的两个列向量；将输入信号.(V)与噪声信号Kb(V)转换为长度为65536的两个列向量。其中噪声信号由转换为列向量的高斯噪声信号通过一个一阶系统z)=l(3+5z-)得到。使用了2D-LMS算法，2D-NLMS算法和2D-APA算法，对两个图像进行了去噪(4)在二维自适应噪声消除的应用中,2D-LMS算法的步长因子4设置为0.000004,2D-NLMS算法的步长因子设置为0.004,2D-APA算法的步长因子设置为0.004123o5.2.2 仿真结果图5-2a 300x300原始图像图5-2b 256x256原始图像图5-3a噪声污染图像图5-3b噪声污染图像图5-4b 2D-LMS去噪图像图5-4a 2D-LMS去噪图像图5-5a 2D-NLMS去噪图像图5-5b 2D-NLMS去噪图像图5-6a 2D-APA去噪图像图5-6b 2D-APA去噪图像通过对三组仿真结果图进行对比，2D-APA算法的图像去噪性能比2D-LMS算法和2D-NLMS算法更好。第六章总结与展望6.1 总结本文通过对自适应滤波器算法的阐述，介绍了自适应滤波器结构，滤波器的应用，包括辨识结构的应用与自适应噪声消除的应用。简单介绍了常用的自适应滤波算法：LMS算法，NLMS算法，APA算法。将一维自适应滤波算法扩展到二维结构得到二维自适应滤波器：2D-LMS算法（二维最小均方算法），2D-NLMS算法（归一化的二维最小均方算法），2D-APA算法（基于仿射投影的二维自适应算法）。介绍了其推导公式及迭代算法。通过仿真，比较了三种算法的性能，得到了以下结论：算法的性能取决于步长因子，如果步长因子大，收敛较快，但稳态偏差大；如果步长因子小,稳态偏差会降低，但收敛缓慢。2D-NLMS算法的收敛速度比2D-LMS算法快，而2D-APA算法的整体性能要优于前两种算法。2D-APA算法对未知系统的估计更加准确,在二维噪声消除的应用中，去噪效果较好，得到的去噪图片较为清晰。唯一的缺点就是计算复杂度较大。6.2 展望本文虽然实现了三种算法2D-LMS算法（二维最小均方算法），2D-NLMS算法（二维归一化的最小均方算法），2D-APA算法（二维仿射投影算法）。但存在计算复杂度较高的问题。这也是二维自适应滤波器最重要的问题之一，所以可以提出一种方法来降低计算复杂度，如选择部分更新自适应滤波器系数。因此如何优化二维自适应滤波器算法，提收敛性能可以进一步研究。参考文献1赫金（HaykinS）著，郑宝玉等译.自适应滤波器原理（第五版）M.北京电子工业出版社，2016.2迪尼兹（DiniZPSR）著，刘郁林等译.自适应滤波算法与实现（第四版）M.北京：电子工业出版社,2014.3 AbadinMSE,AaliSN.Thenoveltwo-dimension