椭圆的参数方程及其应用.docx

椭圆的参数方程及其应用蒋明权大纲对椭圆的参数方程的要求是到达理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的成效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。i般都是这样定义的：椭圆（XuO）2+（y?o）2=的参数方程是F=XO+:。Sa（是参数，a>0,b>0）。a2b-y=Yo+bsm-+rCoqa特别地，以点(Xo,y0)为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是°(a是参数，r>0)oy=y0+rsna一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1求椭圆=+4=l(a>b>0)的内接矩形的面积及周长的最大值。a2b2解：如图，设椭圆3"+4=1的内接矩形在第一象限的顶点是A(acosa,bsina)(0<a<-),a2b22矩形的面积和周长分别是S、LoS=41FAIXIEA=4acosbsin=2absin2a2ab»当且仅当a=：时，Smax=2ab,L=4(FA+EA)=4acos+4bsin4a2+b2,1.max=4a2+b2,此时存在。二、求轨迹22T例2点A在椭圆上-+匕=1上运动，点B(0,9)、点M在线段AB上，且竺?=，试求动点14436MB2M的轨迹方程。解：由题意知B(0,9),设A(12CoSa,6Sina),并且设M(x,y)。xa+-Xr12cosa+×0那么X=j-2=8cosa,11n=4 sin + 3 ,Ya+-Yb6sma+-×9y=11=-1+-1÷-22动点M的轨迹的参数方程是X=C0Sa ° (a 是参数)， y = 4sma + 3消去参数得亡+"-3厂=。6416三、求函数的最值22例3设点P(x,y)在椭圆营+为=1,试求点P到直线x+y-5=0的距离d的最大值和最小值。22解：点P(x,y)在椭圆+工=1上，设点P(4CoSa,3Sin(X)(a是参数且ae0,2兀)，1695sina÷arcsin|-5.3sa+4sina-5I5J那么d=,=a4¼F5R22当a=三-arcsin±时，距离d有最小值0,此时椭圆二+二二1与直线x+y5=0相切；当25169a=-arcsinH",距离d有最大值2。25四、求解有关离心率等入手比拟困难的问题例4椭圆q+W=l(a>b>0)与X轴的正向相交于点A,O为坐标原点，假设这个椭圆上存在点a2b2P,使得OP_LAP°求该椭圆的离心率e的取值范围。2V2解：设椭圆f+J=l(a>b>O)上的点P的坐标是(acos,bsina)(aWO且a“)，A(a,a2b20)o那么kop=,bsina-00而op,AP,acosaacosa-aTf=IbSin(Xbsinci-0tZl,rz212×2,.r.于是=-1,整理得(a?-b)s2-acos+b-=0acosaacosa-a解得COSa=I(舍去)，或8s<x=f-a2-b2因为-IVCOSaV1,所以一IV<葭可转化为一IelzU<1，解得于是亚<«<1。a2-b2e222故离心率e的取值范围是