重难点01数式、图形与函数的规律探索问题（解析版）.docx

重难点突破Ol数式,图形与函数的规律探索问题题型特训精准提分类型一W数式规律题型Ol记数类规律题型02系数规律题型03等式类规律题型04数阵类规律题型05末尾数字规律题型06杨辉三角题型07与实数运算有关的规律题类型二图形规律题型01图形固定累加型题型02图形渐变累加型题型03图形个数分区域累加型题型04图形循环规律题型05与几何图形有关的规律探索类型三函数规律题型01函数图象规律题型02函数上点的规律题型03函数图象与儿何图形的规律类型四新定义类规律题型特训精准提分记数类规律系数规律等式类规律数式规律数阵类规律末尾数字规律式、图形与函数的规律探索问题杨辉三角与实数运算有关的规律题图形规律函数规律新定义类规律图形固定累加型图形渐变累加型图形个数分区域累加型图形循环规律与几何图形有关的规律探索函数图象规律函数上点的规律函数图象与几何图形的规律类型一数式规律关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归纳出般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题1 .数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题,2 .数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容.题型Ol记数类规律1. （2023浙江衢州校考一模）观察下列数据：0,3,8,15,24它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A.40400B.40040C.4040D.404【答案】A【分析】观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1,然后列式计算即可得解.【详解】VO=I2-I,3=22-l,8=32-l,15=42-1,24=52-l,第201个数据是:2012-l=40400,故选：A.【点睛】此题考查了数字变化规律，观察出各数据都等于完全平方数减1是解题的关键.2. （2022内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为a/M按此规律排列,则第30个数是.【答案】墨【分析】由所给的数，发现规律为第个数是受当=30时即可求解.n2+l【详解】解：3p3】,第个数是党,n2+l当=30时，-=3x302=-,=*jM+l302+l901故答案为：券【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键.3. （2020.西藏统考中考真题）观察下列两行数：1,3,5,7,9,11,13,15,17,.I,4,7,10,13,16,19,22,25,.探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,，若第n个相同的数是103,则n等于()A.18B.19C.20D.21【答案】A【分析】根据探究发现:第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,第n个相同的数是6(-l)+l=6n-5,进而可得n的值.【详解】解：第1个相同的数是1=0×6÷l,第2个相同的数是7=1x6+1,第3个相同的数是13=2x6+1,第4个相同的数是19=3x6+1,第71个相同的数是6(n-l)+l=6n-5,所以6九5=103>解得n=18.答：第九个相同的数是103,则n等于18.故选：A.【点睛】此题主要考杳了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解题的关键.4.(2022湖南怀化统考模拟预测)正偶数2,4,6,8,10,.,按如下规律排列,2468IO1214161820则第27行的第21个数是.【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数第行有个数，则前行共有的罗个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几.【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数,第三行有3个数,第行有几个数. 前行共有1+2+3+=的罗个数. 前26行共有351个数， 第27行第21个数是所有数中的第372个数. 这些数都是正偶数，第372个数为372×2=744.故答案为：744.【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的己知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解.题型02系数规律5. （2023四川成都校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：小-2x2.4炉、-8x16x5根据其中的规律得出的第9个单项式是（）A.-256/B.256/C.-512x9D.512x9【答案】B【分析】根据已知的式子可以得到系数是以-2为底的吊，指数是式子的序号减1,%的指数是式子的序号.【详解】解：第9个单项式是（-2）97/=256/.故选：B.【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键.6. （2020云南统考中考真题）按一定规律排列的单项式：Q,-2,4,-8,16,-32,.»第n个单项式是（）A.（-2）n-1B.（-2）nC.2n-1aD.2na【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案.【详解】解：；a,2a,4,8a,16,-32a,.,可记为：(一2)%,(-2)%,(-2)2。,(-2)3。,(-2)4。,(-2)5q,第n项为：(一2)-.故选A.【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关健.7. (2023云南昆明昆明八中校考三模)按一定规律排列的单项式:-f3x2tSx3t7x3-9x5,.»第Ti个单项式是()A.(Zn-l)(-x)nB.(2n+l)(-x)nC.(2n+l)xnD.(2n-l)xn【答案】A【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数的绝对值是些连续的奇数且第奇数个单项式的系数为负数，%的指数是一些连续的正整数，从而可以写出第n个单项式.【详解】解：A、当n=l时，第一个单项式为：一符合题意；B、当n=l时，第一个单项式为：-3，不符合题意，排除；C、当n=l时，第一个单项式为：3%,不符合题意，排除；D、当n=l时，第一个单项式为：X,不符合题意，排除：故选：A.【点睛】此题考查了数字的变化规律，单项式的系数和指数，解此题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变化特点及规律.题型03等式类规律8. (2023浙江嘉兴统考中考真题)观察下面的等式：32-M=8x1,52-32=8x2,72-52=8x3,92-72=8×4,-写出192-172的结果.(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含的等式表示，为正整数)(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.【答案】(1)8x9(2)(2n+I)2-(2n-I)2=Bn(3)见解析【分析】(I)根据题干的规律求解即可；(2)根据题干的规律求解即可；(3)将(2九+1)2-(271-1)2因式分解.，展开化简求解即可.【详解】(1)192-172=8×9;(2) (2n+I)2-(2n-I)2=8n；(3) (2+I)2-(2-1)2=(2n+1+2nl)(2n+12n+1)=4n×2=8n.【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律.9. (2022安徽统考中考真题)观察以下等式：第1个等式：(2×1+I)2=(2×2+I)2-(2×2)2,第2个等式：(2×2+I)2=(3×4+I)2-(3×4)2,第3个等式：(2X3+1)2=(4X6+I7-(4X6)2,第4个等式：(2X4+1)2=(5X8+1)2(5X8)2,按照以上规律.解决下列问题：写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)，并证明.答案(1)(2×5+I)2=(6×10+I)2-(6×IO)2(2)(2n+I)2=(n+1)2n+I2-(n+1)2n2,证明见解析【分析】(1)观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；(2)观察相同位置的数变化规律可以得出第个等式为(2n+I)2=(n+1)2n+I2-(n+1)2n2,利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明.【详解】(I)解：观察第I至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：(2×5+I)2=(6x10+1)2-(6x10)2,故答案为：(2X5+I)?=(6X10+I)2-(6×10)2；(2)解：第n个等式为(2n+I)2=(n+1)2n+I2-(n+1)2n2,证明如下：等式左边：(2n+I)2=4nz+4+1,等式右边：(几÷1)2n+I2(n+1)-2n2=(n÷1)2n÷1+(n+1)2n(n+1)2n+1(n+1)2n=(n+1)4n÷1×1=4n2+4n+1,故等式(2+I)2=(n+1)-2n+I2-(n+1)2np成立.【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键.10. (2022安徽淮南统考二模)(1)初步感知，在的横线上直接写出计算结果：i1=l;"3+23=3；3+23+33=6；“3+23+33+43=；.(2)深入探究，观察下列等式：l+2=y；1+2+3=。+；*3；1+2+3+4=a+；*，；.根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：I +2÷3÷÷n+(n+l)=.(3)拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：(Dl3+23+33+-+993+1003:"3+123+133+193+203.【答案】(I)10；(2)cw+2×n+1(3)5050；41075【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项+尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可;(3)利用(1)(2)中的规律综合运用即可求解.【详解】解：(1)10；(n+2)(n÷l)(3)原式=l+2+3+4+5+99÷100=T型竺=5050：原式=I3+23+33+183+193+203-(13+23÷33+÷IO3)222M _ l()2i2 _ 400X441100X121= 44100-3025 = 41075.【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键题型04数阵类规律II .（2023湖南常德统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数余5若排在第。行人列，则Q-b的值为（）111 22 112332112344321A.2003B.2004C.2022D.2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致.【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是儿，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故意在第20列，即b=20；向前递推到第1列时，分数为悠左=白，故分数总与分数会在20232023+19204220232042同一行.即在第2042行，三=2042.a-b=2042-20=2022.故选：C.【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性.12. （2018湖北十堰,中考真题）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）123256V7223ioA. 210【答案】BB. 41C. 52D. 51【分析】由图形可知，第n行最后一个数为i+2+3+n=/孕，据此可得答案.【详解】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+n=手里，笫8行最后一个数为用=36=6,，第9行从左至右第5个数是36+5=41,故选B【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后个数为F13. （2023安徽合肥统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行第2行第3行5第4行10Il第5行17181912132021141516222324 25请根据上述规律解答下面的问题：（I）第6行有个数；第行有个数（用含的式子表示）；（2）若有序数对（九，m）表示第行，从左到右第M个数，如（3,2）表示6.求（11,20）表示的数；求表示2023的有序数对.【答案】（Dlh2n-l；（2）l20:（45,87）【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前行多2个，以此规律解答即可；（2）先求第11行最后个数，然后判断（11,20）为第U行倒数第二个数即可解答；先根据442V2023<45?判断2023为第45行的数字,然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2,即可判断.【详解】（1）解：第1行有1个数，第2行有3=1+2个数，第3行有5=1+2X2个数，第4行有7=1+2X3个数，第5行有9=1+2x4个数，第6行有1+2x5=11个数,第口行有1+2(n-1)=(2n-1)个数；(2)解：第11行有2X11-1=21个数，且最末尾的数是1/=121,而(11,20)表示第11行的第20个数，(11,20)表示的数是121-1=120：V442=1936,452=2025,442<2023<452,2023位于第45行,V第45行有45×2-l=89个数，而2023与2025相差2个数，2023位于第45行的第87个数，.表示2023的有序数对是(45,87).【点睹】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键.题型05末尾数字规律14. (2022.湖北鄂州.统考中考真题)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代,我们就用数学模型2来表示.即:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,请你推算2?022的个位数字是()A.8B.6C.4D.2【答案】C【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案.【详解】解：.2=2,22=4,23=8,24=16,25=32,尾数每4个一循环，V2022÷4=5052,22022的个位数字应该是：4.故选：C.【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键.15. (2023河南南阳统考一模)观察下列等式:7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,.,根据其中的规律可得7。+71+72+72023的结果的个位数字是（）A.0B.1C.7D.8【答案】A【分析】由已知可得尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，则7°+7】+72+72。23的结果的个位数字与7。+71+72+73的个位数字相同，即可求解.【详解】解：.'7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,7s=16807尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环，Vl+7+9+3=20,7o÷71+72+73的个位数字是0,又;2024+4=506,70+71+72+72。23的结果的个位数字与7。+71+72+73的个位数字相同,70+71+72+72。23的结果的个位数字是0.故选：A.【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键.16. （2022湖南湘西校考模拟预测）观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,，根据这个规律，则21+22+23+24+22022的末尾数字是（）A.0B.2C.4D.6【答案】D【分析】通过观察发现2”的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，直接填空即可；【详解】解：通过观察发现2”的个位数字是2、4、8、6四个数字依次不断循环，且2+4+8+6=20,尾数为02022÷4=5002,则尾数为2+4=6,故选D.【点睛】此题考查幕的乘方末尾的数字规律，注意观察循环的数字规律，利用规律解决问题.题型06杨辉三角17. （2023四川成都模拟预测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出如图，此表揭示了（a+力尸（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：(+b)i=+b,展开式有两项，系数分别为1,1；(÷by)2=2÷2ab+b2t展开式有三项，系数分别为1,2,1；(+b)3=3+3a2b+Sab2+b3,展开式有四项，系数分别为1,3,3,1：根据以上规律，(+b)4展开式共有五项，系数分别为【答案】1、4、6、4>1【分析】此题考查完全平方公式，多项式展开式，数字的变化规律，正确观察已知的式子与对应的三角形之间的关系是关键.观察可得3+6)八(为非负整数)展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1,中间各项系数等于(+b)n相邻两项的系数和.【详解】解：根据题意知，(+b)4的各项系数分别为1、(1+3)、(3+3)、(3+1)、1,即：1、4、6、4、1；：,(+b)4=a4+4a3b÷6a2b2+4ab3+b4.故答案为：1、4、6、4、1.18. (2023黑龙江大庆统考中考真题)1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作详解九章算法中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角11(a÷Z>),=+6121(a÷6)2=a2÷2aZ>÷Z>21331(a+b)HP+3a2H3a2+"14641g+b)4=a4+4a2b2+a2b2+4a护+b'观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(Q+b)7展开的多项式中各项系数之和为.【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果.【详解】根据题意得：(+b)5展开后系数为：1,5,10,10,5,1,系数和：1+5+10+10+5+1=32=25,(+b)6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1,系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,(Q+b)7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1,系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,故答案为：128.【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律.19.(2022下.重庆.九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)我国古代数学的许多发现都曾位于世界前列，其中杨辉三角(如图)就是一例.这个三角形给出了(+b)r(n=1,2,3,4,5,6.)的展开式(按。的次数由大到小顺序排列)的系数规律.例如在三角形中第三行的三个数L2,1,恰好对应(。+6)2=小+2必+炉展开式中各项的系数；第四行的五个数1,4,6,4,1,恰好对应着(+b)4=4+4a3b+a2b2+43+4展开式中各项的系数等等.有如下结论：“杨辉三角''中第9行所有数之和1024；“杨辉三角”中第20行第3个数为190；(。+6)3=。3-3。26-3血2+83；99?+3X99?+3X99+1的结果是1()6；当代数式。4+8。3+24。2+32。+16的值是1时，。的值是-1或-3.上述结论中，正确的有()一丁 一丁 一丁 一丁 一丁 一丁 41 41 41 41 Zxi 41 0 1 2 3 4 5 第第第第第第A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】根据每一行的数字，找到其和的规律为1,2,4,8,16,25,可得每一行的数字和为2、进而可以判断,根据从第2行起，每行的第三个数字分别为Ll+2,1+2+3,1+2+3+4找到规律第n行的的第3个数字为生产，即可判断，根据第三行的数字可得(+b)3=3+3Q2b+3+b3,即可判，根据(Q+2)4=4+8a3+242+32a+16=1,因式分解一元二次方程即可求得的值，即可判断【详解】解：每一行的数字，其和的规律为1,2,4,8,16,25,第行的数字和为2、则“杨辉三角''中第9行所有数之和29=512故不正确；从第2行起，每一行的第3个数字分别为1,1+2,1+2+3,1+2+3+4二第兀行的第3个数字为凶严，“杨辉三角”中第20行第3个数为2。/T)=190：故正确；第三行的数字为1,3,3,1可得，(+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3故不正确，993+3×992+3X99÷1=(99+I)3=(102)3=IO6故正确V(Q+2)4=4+83+242+32a+16=1,.(a+2)4=1.,.(a+2)2=1解得Q=-1或Q=-3Q的值是一1或一3.故正确故正确的有3个，故选B【点睛】本题考查了因式分解解一元二次方程，数字类规律，找到规律是解题的关键.20. (2022.重庆巴南.统考模拟预测)“杨辉三角”给出了(a+b尸展开式的系数规律(其中为正整数，展开式的项按。的次数降幕排列)，它的构造规则是：两腰上都是数字1,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.例如：(Q+bp=a2+2ab+/展开式的项的系数1,2,1与“杨辉三角”第三排对应：(a+)3=a3+3。2力+3帅2+63展开式的项的系数L3,3,1.与“杨辉三角”第四排对应；依此类推判断下列说法正确的是()11(+6)/121(+6)2(+8)3.S+/“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1；当=2,b=1时，代数式/+3a2b+3ab2+产的值为1；(+b)2022展开式中所有系数之和为22022；当代数式-83+242-32+16的值为1时，=1或3.A.©B.C.D.®®【答案】C【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解.【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1,故说法正确;当=2,b=-1时，q3+3a2b+3ab2+川=(+b)3=(2-I)3=1,故说法错误；令Q=I,b=1,则(+b)2°22=(1+1)2022=22022,故说法正确；当代数式一8q3+24a2-32a+16的值为I时，即-8q3+24a2-32+16=1,4÷4×(-2)13+6×(-2)22+4×(-2)3+(一27=(-2)4=1,.(-2)2=1或(-2)2=-1(不合题意，舍去)，.,.2=+1,解得=3或1,故说法正确，(a+b)1(a+b)2(a+b/(a+b)4(a+b)5综上可得，说法正确的有,故选：C【点睛】本题考杳了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解题的关键.题型07与实数运算有关的规律题21. （2022湖北恩施统考中考真题）观察下列一组数：2,它们按一定规律排列，第个数记为即,且满足三+二一=二-an an+2 an+'a2022 二【答案】1 153032【分析】由题意推导可得三F,即可求解.【详解】解：由题意可得：=2=p2=7=p0乏，1247.I1I21=。2a4a3.12O4-=一510.I1I21=a3aS4.2小=石，同理可求46=1=WOIo故答案为:【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键.22.（2021.湖北鄂州.统考中考真题）已知的为实数，规定运算：a2=l-a3=1-a4=l-a5=1->,Qn=I按上述方法计算：当4=3时，。2021的值等于（）a4an-【答案】D【分析】当内=3时，计算出02=3=-打4=3,，会发现呈周期性出现，即可得到Q2021的值【详解】解：当4=3时，计算出a2=彳，。3=-14=3,，会发现是以：3,L循环出现的规律，.2021=3×673+2,故选：D.【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答.23,（2020浙江金华统考一模）求1+2+22+23+.+2二 Ioo = 1+990= 991.故选：C.【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分 发生了变化，是按照什么规律变化的.关键是找到sl+s2 + + s99 = 99xlooo25. （2022四川达州.统考中考真题）人们把亨。0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618 法”就应用 了黄金比设Q =与二，6 =早，记Si = 7 + 7, s2 = 7 + 7Su）O = 7TK +JJ V4 X I IZX 4X 1 IZX Vv的值,可令S=I+2+22+23+.+22,则2S=2+22+23+24+.+22021,因此2S-S=2202i-i.仿照以上推理，计算出1+2020+202（）2+202（）3+.+202（）2。2。的值为（）20202ozo-1202O2O21_i202。2。21120202ozo-1【答案】C【分析,】由题意可知S=1+2020+20202+20203+.+2O2O2o2o,可得到2020S=2020+20202÷20203÷.+2020230+202()2021，然后由一，就可求出S的值.【详解】解：设S=1+2O2O+2O2O2+2O2O3÷.+2O2O202贝I2020S=2020+20202÷20203+.+2O2O2020+2O2O2021由一得：2O19S=2O2O22l-lC202022,-l.b=.2019故答案为：C.【点睛】本题主要考查探索数与式的规律，有理数的加减混合运算.24.（2023浙江统考模）有一列数，记为的,&，11,记其前项和为Sn=%+&+%r定义”=S+S2jSn为这列数的“亚运和”,现有99个数的,与，。99,其“亚运和”为1000,则1,1,2,的9这100个数的“亚运和”为（）A.791B.891C.991D.1（X）1【答案】C【分析】根据"亚运和'的定义分析可得99个数。1，2,.,a99,其“亚运和''为1000,即S1+S2+S99=99×1000.同理根据定义求新数列1,a1,a2,.,Q99这l个数的“亚运和”【详解】解：.2J=ooo,*Sj+S2+Sgg=99×1000,l,a1,a2,.,a99这100个数的“亚运和”为l+l+S+l+S2+l+S99Ioo1X100+S+S2+Sgg二il×100+99×10001+doo,则Sl+52+SH)O=-【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S=l,52=2,S/OF100,利用规律求解即可.【详解】解：.=与1,b=等，-X四=,22C1,12+a+b2+a+b.VSl=1=1,l+1+b1+a+b+ab2+a+bc_2,2_Ow2+a2+fe2_oz2÷a2+b2_qS?-7+r-2X7792X7-2,zl+a2l+b2l+a2+b2+a2b22+a2+b2_100100_1+a100+1+b10°_SIoO=1+a100+1+/,oo=100X1+a100+b100+a100b100=100：,S+S2+SloO=1+2+100=5050故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得=1,找出的规律是本题的关键.26. （2021湖南怀化统考中考真题）观察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2÷22+23+24=25-2,已知按一定规律排列的一组数：210°,21°1,2102,2199,若2ioo=rn,用含m的代数式表示这组数的和是.【答案】m2-m【分析】根据规律将2】。,210】，2102,2199用含m的代数式表示，再计算2。+21+299的和,即可计算21°o+2101+2101+2”9的和.【详解】由题意规律可得：2+22+23+299=2i0°-2.V21°o=m2+22+23+299+2=21°0=m=20m,.e2+22+22+2"+210°=2101-2,.21°1=2+22+23+2"+2100÷2=m+m=2m=21n.21°2=2÷2z+23÷+2"+2100+21°1+2=m+m+2m=4m=22m.21°3=2+22+23+2"+2100+2101÷2102÷2=m+m+2m÷4m=8m=23m.21"=299m.故2ioo+2+21°1+21"=20m+21m+299m.令2°÷21+22+2"=S21+22+23+21°°=2S-，得21°°-I=S.*.210°+21°1+2101+2199=20m+21m+÷2"m=(210°l)m=m2-m故答案为：m2-m.【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键.27. (2021四川眉山统考中考真题)观察下列等式：x1=Jl+=l+2=j1÷+=Z=1+X3=l÷+=l+Syl3242123×4根据以上规律，计算+%2+%3+工2020-2021=【答案】一六【分析】根据题意,找到第个等式的左边为Jl+»岛P等式右边为1与前岛的和；利用这个结论得到原式=中÷+息五-2021,然后把别为IW批为鸿，2020：2021化为短-募，再进行分数的加减运算即可.【详解】解：由题意可知，Ji+*+品高，-1+就赤X1+X2÷x3÷,+%20202021=11÷.÷15-2O21=2020+14>琮募2021=2020÷l-20212021故答案为：2021【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算.28. （2023内蒙古统考中考真题）观察下列各式:5I=J1+=1+,s2=j1÷+=1÷53=Jl÷+=l+请利用你所发现的规律，计算：S1+S2÷-+S50=.【答案】50部黑【分析】宜接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.详解】S+$2+÷SSo111=1+172+1+273+1+5THIll11=50+(l-+-+.-)=501Sl故答案为：50j.【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键.类型二图形规律方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.题型01图形固定累加型解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图形的基础上累加的所求图形的个数b（即固定累加图形个数），再根据固定累加的图形规律推导出与序数n有关的关系式为a+b（nT）.29. （2023重庆统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有2个圆圈，第个图案中有5个圆圈，第个图案中有8个圆圈，第个图案中有11个圆圈，按此规律排列下去，则第个图案中圆圈的个数为（）O OOOO OOO OOOOO OOOOOOOOOOOOO(2)(3)A. 14B. 20C. 23D. 26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.【详解】解：因为第个图案中有2个圆圈，2=3xl-l;第个图案中有5个圆圈，5=3x2-1；第个图案中有8个圆圈，8=3×3-l:第个图案中有U个圆圈，11=3x4-1；所以第个图案中圆圈的个数为3×7-1=20；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第个图案的规律为3n-l是解题的关键.30. （2023山西统