平面向量复习中的“一、二、三、四”.docx
平面向量复习中的“一、二、三、四一、热点揭密对平面向量考查主要表达在一是考查平面向量的概念、性质及运算；二是考查与三角函数、平面几何等知识的结合。重点考查向量工具性。难度不大。二、重点题型精讲1、平面向量的概念与性质理解向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角共线向量等，凸现向量”形的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提。例1、关于平面向量”,b,c.有以下三个命题：假设a=ac,那么h=c.假设=（Lk）fb=（-2,6）,a/b,那么Z=-3.非零向量。和力满足Ial=IbI=Ia"，那么。与+b的夹角为60.其中真命题的序号为.（写出所有真命题的序号）解：b=c=（b-C）=O,向量。与?-C垂直Ial=I川=Ia一切一人构成等边三角形，。与+0的夹角应为30所以真命题只有。点评：此题主要考查向量的有关概念和数量积及夹角的求解。2、平面向量的根本运算平面向量的三种形式（几何、基底、坐标）,四种根本运算（加、减、数乘向量、数量积），三个根本关系（共线、垂直、夹角）构成了向量的核心内容。注意实数的运算与向量运算的区别。如平面向量数量积不满足消去律与乘法结合律。例2、如图，在平行四边形ABC。中，元=（1,2）,丽=（一3,2）,解析：令A8=,AD=h,fd,+/?=(1,2)那么V=>d=(2,0),b=(-l,2)-a+b=(-3,2)所以AE>AC=方(4+6)=3.点评：此题考查向量数量积的坐标运算及向量加法的三角形法那么的应用，求解的关键是求出AO.3、向量与其他知识交汇复习向量注意与其他知识进行整合，图形中涉及线段的长度可通过求相应向量的模来实现,求角度利用公式COSe=（。为非零向量,a,b的夹角）来解决，判断向量平行（共线）利用b向量平行的条件：劝s0）o再为一尢2%二O来处理；判断向量垂直可利用向量垂直条件:J>boO=O=XR2一%当=O来处理，向量经常与三角函数、平面几何等联系，复习时注意提升综合运用数学知识的应用能力，体验向量的渗透作用与工具性。例3、向量ZZF(Sin4cos4),=(6,-1),R=1,且力为锐角.(I)求角力的大小；(II)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(xR)的值域.rTtI解：(I)由题意得m"=VJsinACOSA=1,2sin(A)=l,sin(A)=.662由力为锐角得A-=-iA=-663(II)由(I)知CoSA=L2,13所以/(x)=Cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sin5=-2(sinx-)2+；.I3因为XWR,所以SinX-l,l,因此，当SinX=5时，f(x)有最大值当SinX=-I时，/(为有最小值-3,所以所求函数/a)的值域是一3,1.点评：此题主要考查平面向量的数量积运算、三角函数的根本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等根本知识，解此题时一定要注意“A为锐角这一条件。三、特别提醒1、共线向量与平面向量的两条根本定理，揭示了共线向量和平面向量的根本结构，它们是进一步研究向量正交分解和用坐标表示向量的根底。(1)平行向量根本定理的应用有两个方面：一是由Q=劝去证明ab；二是由ab去求九(2)任一平面直线型图形，根据平面向量根本定理，都可以表示成某些向量的线性组合，这样要解答几何问题，就可以先把和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，到达解题的目的。2、在解具体问题时，要适当的选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量弓42,平面上的任何一个向量a都可以用勺,与唯一表示为a=ex+e1.3、点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关，只有始点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标一致。4、向量的数量积不同于实数的积，不能将实数的积的运算法那么照搬到向量的数量积中，向量的数量积也不同于实数与向量的积，前者的结果是一个数，后者的结果是一个向量。对于向量的数量积，要特别注意以下三点：(1)当时，ab=0不能推出b一定是零向量，这是因为任一个与a垂直的非零向量b,都有ab=0.(2)由ab=bc,不一定能推出a=c,即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去，只有当a,b,c共线且同向时，才成立，否那么就不成立。(3)结合律对数量积不成立，即(ab)ca(bc),这是因为(ab)-c表示一个与向量C共线的向量，而a(bc)表示一个与向量a共线的向量，但向量a与向量C不一定共线。5、向量的线性运算、平面向量的数量积、向量的平行与垂直，都有它的几何表示和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵活选择。四、经典题目点评1、给出以下结论：(1)假设QWO,ab=0,那么b=0;(2)假设ab=ac,那么a=c；(3)(ab)c=a(bc)；(4)ab(ac)c(ab)=O,其中正确的序号是()A、U)(4)B、C、D、解：当。时,ab=0,未必有b=0,故(1)错，排除A；当b=0时，(2)显然错误，排除B、C,应选D.2、向量a=(3,2),向量b=(2,1),a与b的夹角为6,那么向量b在a方向上的投影为.解：向量b在a方向上的投影为I们CoSe=胃=M=二驾3.3、a=(1,2),b=(1,m),假设a与b的夹角为钝角，求In的取值范围。解：设a与b的夹角为。，那么cos6<0,所以)=(l,2)(-l,n)=-l+2mv,所以，又因为90°v9vl80°,所以CoSeW1,所以a,b不共线，2所以16一(T)x2(),所以机-2,故m的取值范围为(8,-2)U(-2,J).2平面向量夹角的计算公式是cos。=(90o,180°)点评：平面向量夹角的概念及范围是最容易出错的问题。,假设6为锐角，那么COSe>0,即ab>O,但COSeWl,当CoSe=I时，e=o°,即a,b同向共线，与e为锐角矛盾；假设。为钝角时，cose<o,即a b<0 ,但 COSe W -1 ,当 CoSe = -1 时,6=180°,即a,b反向共线，与6为钝角矛盾。4、在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB.AC于不同的两点M、N,假设AB=mAM,AC=nAN,那么m+n的值为.1.I.解：因为点。是BC的中点，有AO=I(A8+AO,又=,m.n.tnn所以AO="AM+tAN,又M、0、N三点共线，故有竺+?=1,即m+n=2.2222点评：平面向量中，设灰(=xOX+y无，假设x+y=l,那么点A、B、C共线，反之也成立，这是判断三点共线的一种很重要的方法。5.如图，AB是半圆O的直径，C、D是弧AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，假设0A=6,那么MONC的值是,分析：平面向量的数量积是各级各类考试中的热点之一，此题以弧及线段的三等分点为情境，新颖别致，问题中的对称性给人一种美感，同时为问题解决提供了方便，此题表达简捷，是一道好题。解法一：将向量MDNC"适当”分解，转化成易求出数量积的向量。解法二：利用向量数量积的坐标运算，实现程序化操作。以O为坐标原点，AB所在的直线为X轴，建立如下图的直角坐标系，那么N(2,0),M(-2,0),C(3,33),D(-3,33),那么砺=(T,班),NC=(1,33),故说.标=-1X1+36x3Q=26.
