数值分析报告课后题问题详解.doc

word 数值分析第二章2当时，,求的二次插值多项式。解：如此二次拉格朗日插值多项式为6设为互异节点，求证：12证明（1） 令假如插值节点为，如此函数的次插值多项式为。插值余项为又 由上题结论可知得证。7设且求证：解：令，以此为插值节点，如此线性插值多项式为 =插值余项为8在上给出的等距节点函数表，假如用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？解：假如插值节点为和，如此分段二次插值多项式的插值余项为设步长为h，即假如截断误差不超过，如此9假如，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进展求解。16求与。解：假如如此19求一个次数不高于4次的多项式Px，使它满足解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式设其中，A为待定常数从而解法二:采用牛顿插值，作均差表：一阶均差二阶均差01201110-1/2又由得所以第四章1.确定如下求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进展验证性求解。1假如令，如此令，如此令，如此从而解得令，如此故成立。令，如此故此时，故具有3次代数精度。2假如令，如此令，如此令，如此从而解得令，如此故成立。令，如此故此时，因此，具有3次代数精度。3假如令，如此令，如此令，如此从而解得或令，如此故不成立。因此，原求积公式具有2次代数精度。4假如令，如此令，如此令，如此故有令，如此令，如此故此时，因此，具有3次代数精度。7。假如用复化梯形公式计算积分，问区间应多少等分才能使截断误差不超过？解：采用复化梯形公式时，余项为又故假如，如此当对区间进展等分时，故有因此，将区间476等分时可以满足误差要求第五章2. 用改良的欧拉方法解初值问题取步长计算，并与准确解相比拟。近似解准确解近似解准确解3、解：改良的欧拉法为将代入上式，得同理，梯形法公式为将代入上二式，计算结果见表95表 95改良欧拉梯形法01020304050005500002192750000501443880090930671014499225700052380950021405896004936723900899036920143722388可见梯形方法比改良的欧拉法准确。4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时，它原初值问题的准确解。证明：梯形公式为代入上式，得解得因为，故 对，以h为步长经n步运算可求得的近似值，故代入上式有10. 证明解的如下差分公式是二阶的，并求出截断误差的首项。，代入得，截断误差首项为。12. 将如下方程化为一阶方程组：1(1)，其中。2(2) ，其中。第六章1、用二分法求方程的正根,要求误差小于0.05.解 设,故1,2为的有根区间.又,故当时,单增,当时单增.而,由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需,解得,故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7. 表7-7012345122-+-即.3、为求在附近的一个根,设将方程改写成如下等价形式,并建立相应的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式;(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当时,故迭代公式在上整体收敛.(2)当时故在1.3,1.6上整体收敛.(3)故发散.由于(2)的L叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需即取计算结果见表7-8. 表7-8123456由于,故可取7、用如下方法求在附近的根.根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解 ,对(1)取,用牛顿迭代法计算得,故.(2)取,利用弦截法得,故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代结果为:已达四位有效数字.12. 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。令，迭代公式为。，如此，所以，又，所以，因此迭代格式为线性收敛。15、证明迭代公式是计算的三阶方法.假定初值充分靠近根,求证明 记,如此迭代式为且.由的定义,有对上式两端连续求导三次,得代依次入上三式,并利用,得所以由定理7.4知,迭代公式是求的三阶方法且14 / 14