弧度制及任意角的三角函数解析版.docx
-专题21 弧度制及任意角的三角函数专题知识梳理1角的概念的推广(1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转,则也把它看成一个角,叫作零角(2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为*轴的正半轴,建立平面直角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角:与角的终边相同的角的集合为|k·360°,kZ2弧度制 1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径 弧度与角度的换算:360°2 rad;180° rad;1° rad;1 rad度 弧长公式:l|r扇形面积公式:S扇形lr|r23任意角的三角函数的定义设是一个任意角,它的终边上任意一点P的坐标为(*,y),它与原点的距离是|OP|r,一般地,我们规定:比值 叫做的正弦,记作sin,即sin;比值 叫做的余弦,记作cos,即cos;比值(*0)叫做的正切,记作tan,即tan(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示,三角函数正值口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦(2)特殊角的三角函数值角0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°弧度数0sin001cos1010tan0110(3)三角函数线下图中有向线段MP,OM,AT分别表示的正弦线,的余弦线和的正切线三角函数线考点探究考向1角的表示【例】 (1)已知2 019°,则与角终边相同的最小正角为_,最大负角为_(2) 如果角是第三象限角,则,角的终边落在第几象限.是第几象限的角.并判断tansincos的符号;2的终边在什么位置.【解析】(1)可以写成6×360°141°的形式,则与终边相同的角可以写成k·360°141°(kZ)的形式当k0时,可得与角终边相同的最小正角为141°,当k1时,可得最大负角为219°(2)2k<<2k(kZ),2k<<2k(kZ),即2k<<2k(kZ)角终边落在第二象限又由各边都加上,得2k<<22k(kZ)是第四象限角同理可知,是第一象限角由2k<<2k(kZ),可知k<<k(kZ),24k<2<34k(kZ),为第三或第四象限;当在第二象限时,tan0,sin0,cos0,所以tansincos取正号;当在第四象限时,tan0,sin0,cos0,所以tansincos也取正号因此,tansincos取正号2的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上题组训练1.若角与角的终边相同,则在0,2内终边与角终边相同的角是_【解析】由题意知,2k,kZ,kZ,又0,2,k0,;k1,;k2,;k3,2.终边在直线y*上,且在2,2)内的角的集合为_【解析】如图,在坐标系中画出直线y*,可以发现它与*轴的夹角是,在0,2)内,终边在直线y*上的角有两个:,;在2,0)内满足条件的角有两个:,故满足条件的角构成的集合为3.角870°的终边所在的象限是第_象限【解析】由870°1 080°210°,知870°角和210°角的终边相同,在第三象限考向2三角函数的定义【例】已知角的终边经过点P(*,6),且cos ,则_【解析】角的终边经过点P(*,6),且cos ,cos ,解得*或*(舍去),P,sin ,tan ,则题组训练1.已知角的终边过点P(8m,6sin 30°),且cos ,则m的值为_【解析】r,cos ,m>0,即m2.设是第二象限角,P(*,4)为其终边上的一点,且cos *,则tan _【解析】因为是第二象限角,所以cos *<0,即*<0又cos *,解得*3,所以tan 3.(易错题)已知角的终边在直线y*上,则2sincos_【解析】因为的终边在直线y*上,因为的终边为射线,所以在直线y*取两点(4,3)或(4,3),所以或,所以2sincos±考向3三角函数线的应用【例】函数y的定义域为 _【解析】对于较为简单的三角不等式,在单位圆中,利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态,注意实线与虚线),再通过大小找到其所满足的角的区域,由此写出不等式的解集2cos*10,cos*由三角函数线画出*满足条件的终边*围(如图阴影所示)*(kZ)题组训练1.函数ylg(34sin2*)的定义域为_【解析】34sin2*>0,sin2*<,<sin *<利用三角函数线画出*满足条件的终边*围(如图阴影部分所示),*(kZ)2.函数y的定义域为_【解析】利用三角函数线(如图),由sin *,可知2k*2k,kZ3.(拔高题)函数ylg(2sin *1)的定义域为_【解析】要使原函数有意义,必须有即如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为 (kZ)考向4扇形的基本运算【例】扇形AOB的周长为8 cm(1) 若这个扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小;(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB【解析】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为,(1) 由题意可得解得或或6(2) 2rl8, S扇lrl·2r·×4,当且仅当2rl,即2时,扇形面积取得最大值, r2, 弦长AB2×2sin 14sin 1题组训练1.已知扇形的周长是4 cm,则扇形面积最大时,扇形的圆心角的弧度数是_;扇形的圆心角所对的弦长为_cm【解析】设此扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则2rl4,面积Srlr(42r)r22r(r1)21,故当r1时S最大,这时l42r2 cm从而2扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm2.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径为6cm,求扇形的弧长及所含弓形的面积【解析】扇形的弧长l=|r=×6=4(cm)因为S扇形AOB=lr=×4×6=12(cm2),SAOB=r2sin120°=9(cm2),所以S弓形=S扇形AOB-SAOB=(12-9)cm23. (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大.【解析】(1)设圆心角是,半径是r,则解得(舍去)或扇形的圆心角为(2)设圆心角是,半径是r,则2rr40又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100当且仅当r10时,Sma*100,此时2×101040,2,当r10,2时,扇形的面积最大. z.