毕业论文《全概率公式的研究及其应用》.docx

石家庄学就SHIJIAZHUANGUNIVERSITY毕业设计（论文）题目:全概率公式的研究及其应用数学与信息计算科学专业:信息与计算科学班级:2009级本科2班学号:200905020432013年5月25日全概率公式的研究及其应用【摘要】全概率公式是概率论中很重要的公式，可以解决很多概率的计算问题.本文对全概率公式进行了详细的分析.为了实际应用本文将全概率公式进行了推广，同时辅以例题进行说明.准确运用全概率公式及它的推广形式，重在弄清楚事件间相互影响的次序，恰当地找出完备事件组.此外，本文还给出了全概率公式及它的推广形式在产品检查、医疗诊断以及统计决策等中的应用.【关键词】完备事件组；全概率公式；全概率公式的推广Researchandapplicationoftotalprobabilityformula(AbstractTotalprobabilityformulaisveryimportantfbnnulaintheprobabilitytheory,itcansolvemanyproblemsofprobability.Thisarticleanalysiscarefullythetotalprobabilityformula.Inordertosolvetheactualproblem,weextendthetotalprobabilityformulaandusingmanyexamplestoillustrateit.ltisveryimportanttomakeclearlythatthemutualinfluencebetweenthesequenceofevents,andtosettheexhaustiveeventsproperly,soastousecorrectlythetotalprobabilityformulaandtheirpromotionforms.Moreover,thisarticlecombinesmanyexamplestoexplaintheapplicationoftotalprobabilityformulaandtheextendedshapeoftotalprobabilityformulaincheckingproduct,medicaldiagnosisandstatisticaldecisionandsoon.KeyWordsExhaustiveevents;Totalprobabilityformula;Extendedshapeoftotalprobabilityformula目录1引言12全概率公式的概念和应用22.1 全概率公式的概念22.2 全概率公式的的应用42.2.1 全概率公式在摸奖方面的应用42.2.2 全概率公式在实际比赛中的应用52.2.3 全概率公式在医疗诊断中的应用63全概率公式的推广63.1 广义全概率公式63.2 全概率公式的推广1及其应用83.3 全概率公式的推广2及其应用83.4 全概率公式的推广3及其应用94结论11参考文献12致谢131引言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，起源于17世纪.发展到现在，已经深入到科学和社会的许多领域.长期以来，在大批概率统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，形成了众多分支，在现代数学中占有重要的地位.全概率公式是概率论中重要的公式，它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用，主要用于计算比较复杂事件的概率.全概率公式内涵丰富、应用广泛，是概率论与概率统计课程中一个非常重要的公式，是综合利用加法公式和乘法公式来解决“多因一果”的事件的概率问题，为了解决实际问题的需要，许多学者对全概率公式进行了推广，使之适用于更多的模型.概率论对医学的渗透与结合，已成为现代医学领域的显著特征.利用数学方法，充分利用好全概率公式及其推广形式，定量地对医学问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进对病人的对症施治.利用好全概率公式可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中.全概率公式及推广形式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息.灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，而这些推广形式将进一步拓展全概率公式的适用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具.文章从以下三方面研究了全概率公式及应用和推广：1.全概率公式的基本定义2.用例题来说明全概率公式在生活中的应用3.全概率公式的推广及其作用.通过对全概率公式的研究使我们对全概率公式有了一个良好的认识.2全概率公式的概念和应用2.1全概率公式的概念定义1"设A,A2,A2,A,是样本空间Q的一个分割,即A½,A3,A互不相容，且£八一。,如果P(A,)>0,i=l,2.,n,则对任一事件B有PM=£“儿四巧a5,则称为全概率公式：全概率公式的最简单形式：假如IO<P（八）<1,即A,A构成样本空间的一个分割，则P(B)=P（八）P(BA)+P（八）p(BIA).它实质上是一种分解式，若注意到P(Al)P(Bf)=P(BAf)则求P(B)的问题就转化为P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)+.P(BAo)这里BAi,BA?,BA3,.,BA,两两互斥，注意到B=BAUBA1UBA1U.UBA,有Ai人A两两互斥，且OA=C于是A142A3,A,就成为一个完备事件组，这个完备事件组分割了事件B,从而求P(B)的问题最后归结为找一个合适的完备事件组的问题，因此当事件B较复H=UaA杂，直接计算PNB)比较难时，设法找一个完备事件组AAA5.A使然后分别求出P(BA)再相加，即可求出P(B)全概率公式的直观意义是：某事件B发生的各种可能原因A,(i=l,2,3,.,n)并且这些原因两两不能同时发生，如果B是由原因A,所引起的，则B发生时，BA,必同时发生，因而P(B)与P(BA,)有关有2,3,n),且等于其总和=£P（八）P(BlA)全概率的“全”就是总和的含义，当然这个总和要能求出来，需已知概率P(BlA)(i=l,2,3,n),通俗地说，事件B发生的可能性，就是其诸原因A,发生的可能性与A,发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.全概率公式的内涵剖析：1 .蕴涵的数学思想方法：全概率公式蕴含了化整为零，化复杂为简单的数学思想；2 .公式的本质：全概率公式中的P(B)是一种平均概率，是条件概率P(BIA,)的加权平均，其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件A,发生的概率.3.目标事件与完备事件组的关系：样本空间中的任一目标事件B总是由中若干个基本事件构成的，而当Q被完备事件组A,A2,A3,A,划分时，所有基本事件无一例外地被归类于A,A2,A3,A,中.所以，B中的基本事件也必然属于完备事件组A,A2,A3,A,.也可以说，B中的基本事件被分配到A,A2,A3,A,中去了.这样，当A,A223,A,划分Q时，同时也划分了B.4 .“全”含义：使用全概率公式计算目标事件B的概率，必须是找到样本空间Q的一个完备事件组A,A2,A3,A,而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B产生的n个原因.全概率公式相当于将产生B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在.概括的讲，“全”指的是对目标事件B有贡献的全部原因.应用中要将全部原因找出来，缺一不可，才构成样本空间的完备事件组.5 .公式的直观作用：由于公式包含了乘法公式P(BA)=P（八）P(BlA)即先有AJS有B,才有B发生的可能性，A,发是B发生的全部“原因”.因此，我们可视为公式的直观作用是“知因求果”.6 .公睛涵艇算：1,概郭加淞式：H=U叫互不相部=概率的乘法公式P(BAl)=P(Ai)P(BA).因此，全概率公式是加法公式与乘法公式的综合运用.运用全概率公式关键是找到完备事件组，下面介绍寻找完备事件组的两种方法.方法一：从第一个试验入手，分解其样本空间，找出完备事件组.如果所求概率的事件与前后两个试验有关，且这两个试验彼此有关联，第一个试验的各个结果对第二个试验产生影响，而问第二个试验出现某结果的概率，这些问题，即可用全概率公式求解.此时，通常将第一个试验的样本空间分解成若干个互不相容的事件的和，这些事件就是所求的一个完备事件组.例12假设有两个同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中随机取出两个零件，试求：取出的零件均是一等品的概率P;解：引进下列事件：A=被挑出的是第i箱(i=l,2)B=取出的零件是一等品由条件知P(4l)三P(Aj)三P(lAl)-P(BA2)由全概率公式，知P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BIA2)1 322 5255方法二：从事件B发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组.如果事件B能且只能在“原因”A,A2,A3,A,下发生，且A,A2,A3,，A,两两互不相容，那么这些“原因”A1A2A3,A,就是一个完备事件组.例2采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个原件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含有1个次品.求采购员拒绝购买的概率.解：记A=取到的是含4个次品的包,Az=取到的是含1个次品的包,B=采购员拒绝购买则AlA2构成一个样本空间，且PA)=0.3RA2>0.7,又由古典概型计算知M8lW,P(8l*从而由全概率公式得到3 57323P()->(A1)P(BA)*(A2)F(lA2)-+-上述例题介绍了全概率公式寻找完备事件组的两种方法，对于以上这种简单事件，需先找出完备事件组，然后直接应用全概率公式就可求出我们所需的结果.2.2全概率公式的应用2.2.1 在摸奖方面的应用例3(摸奖模型)设在n张彩票中有一张奖券，共有m个人，求第二人摸到奖券的概率是多少？解：设A表示“第认摸到奖券”，日2n现在目的是求P(A2).因为A是否发生直接关系到A2发生的概率，即HAJA)=0,(,aJ»n-I而Al与A是两个概率大于0的事件：尸(4),HA)Mn于是由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2IA1)+P（八）P(A2IA)nn-In用类似的方法可得P(j)p(4)三三P(.)三-n如果设n张彩票中有奴勺)张奖券，则可得P（八）Np(a2)=p(J三-M这说明，购买彩票时，不论先买后买，中彩机会是均等的.2.2.2全概率公式在实际比赛中的应用例4某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？分析：问题实质上涉及到两个部分：第一，选出的射手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到，才为全面.第二，某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的，记为：A="选出的i级射手"i=l,2,3,蛆JA,A2,A2构成一个完备事件组，有：解：AUA2UA3=,且AAl=,ig,i>j=l,2,3由题意：p（八）=P（八）=RP(AJarJ1.B="选出的射手能通过选拔进入比赛”，求则：=62%即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例5甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得1分，每次甲胜的概率为a,乙胜的概率为B,平局概率为Y,(+B+y=l).比赛进行到一方比对方多2分为止，多2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设B为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以AT作为第一、二甲胜的概率，A2作为第一、二次均平局的概率,A3作为第一、二次各胜一局的概率，A,A2,A3满足定理1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理1知：P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3)；易知P(BA,)=l,P(BAz)=P(B),P(BA3)=P(B);所以P(B)=a2+?p(B)+2aBP(B);即尸(B)=三.I-y-2a2. 2.3全概率公式在医疗诊断中的应用例6据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲分析两种疾病是否相关.分析：设事件A为耳聋人，事件B为色盲人，P（八）=p,则P（八）=I-p.依题意可得，P(lnA±>(B)2解：由全概率公式，<H=yPlA,I41=P(B)=P（八）P(BA)+P（八）P(BIA)=0.08所以，P(B)=P(BlA)=P(BlA)=O.08,事件A与事件B相互独立.经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.概率论对医学的渗透于结合，已经成为现代医学领域的显著特征.利用数学方法充分利用好全概率公式，定量的对医学问题进行相关的分析没士气结论更具有可信度更有利于促进对病人的对症施药.3全概率公式的推广全概率公式在概率论的计算中有广泛的应用，往往能使一个复杂的概率计算问题简化，我们可以对全概率公式进行推广，从而拓展全概率公式的使用范围.3. 1广义全概率公式定理3.1(广义全概率公式)回设S为试验E的样本空间，A为E的事件，其中b.cs,并且S尸SRB)X)(=12，?),则1(Q=£P(4-(J%)fAI(6,-(J%)J-IZ或P()-1UK<M即U片川UKMM附】MqiKAS，小(<btMS特别地，若B；(i=12M为S中两两互不相容的事件，则P（八）(AlBJP(BJ例7甲、乙、丙三人向同一飞行目标射击，击中的概率分别是0.14,0.15,0.17.如果只有1人击中，则目标被击落的概率是Q12,如果有2人击中，则目标被击落的概率是0.16,如果3人都击中，则目标一定被击落求目标被击落的概率.分析：经分析甲、乙、丙分别击中目标这三个事件是没有关系的，是相容事件列，故不能直接用全概率公式，应选择用广义全概率公式.解：设A表示事件“目标被击落”，B,表示事件“甲击中目标”，Bz表示事件”乙击中目标”，B3表示事件“丙击中目标”，B4表示事件“甲、乙、丙3人都击不中显然有Od=S,并且BiBz上3是相容事件列，经分析题中条件，可用定理3.1式直接计算.又由于An(AIB4)=0,所以取n=3.于是，根据定理3.1式可得UKeI4X空川周川U【(G"X)1I0<4<JZ>vjM<<<ffr4=P(B,BBS+B2BB；+B3B'B;)P(Al(B,B;B;+BzBB;+B,B(BZ)+P(B1B2B5+B1B3BZ+B2B3Bf)P(Al(B1B2Bs+BB3BZ+B2B3Bi)+P(B1B2B3)P(AIB1B2B3)=(0.4×0.5X0.3+0.5×0.6×0.3+0.7×0.6×0.5)×0.12+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.7×0.5+0.5×0.7×0.6)×0.16+(0.4×0.5×0.7)X1=0.458即目标被击落的概率为0.458.3.2全概率公式的推广结论1及其应用定理3.2设(QEP)为概率空间，且AF,i=12n,如果有P(AA尸0(明)，即事件A,A2,An两两互不相容，(2)OA=p（八）0贝JVBeF,有p(8)=fH4)p(A,).证明：则VBF,由(2)知8二JBA,由概率的一般加法公式可得p(B)三P(USA)fp(8A)三£p(8AH)+.(-1)Ih<j4'.A>1I&而当的时有P(AA)=0,从而有P(BAA尸0,.P(BAlA2.An)=0,所以p(B)三£/KAOP(MA).例8甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得1分，每次甲胜的概率为,乙胜的概率为B,平局概率为丫,(/÷y=l).比赛进行到一方比对方多2分为止，多2分者获胜，求甲获胜的概率.解：由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设B二“甲获胜”，考虑前两次比赛作为条件以归“第一、二次甲胜”，Ah”第一、二次均平局”，,二“第一、二次各胜一局"A1AA3满足推广形式1的条件但不满足全概率公式，由推广结论1知：P(B)=P（八）P(BlAl+p(A2)p(BA)÷p（八）p(BAs)易知P(BAI)=I,p(BA2)=p(B),p(BA3)=p(B)所以p(B)="+p(B)+2邓P(B)3.3全概率公式的推广结论2及其应用定理3.3凹设AA,A2,.,A,是一列事件，添加CG,C3.,C,后，或其自身构成样本空间Q的一个分割，p（八）>Oi=l,2,3.n则对任一事件B,当p(BCk)=O,k=l,2,.m,有小小二工/心力川证明：8=S=U"USGUSGU.UBCI昂Mm=EP(A)Ep(G)三=Ep(AOp(,)+Zp(flG)=Zp(AOp(fl甸例9设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击中目标的概率为P,一人击中目标被摧毁的概率是P,两人击中目标被摧毁的概率是况三人击中目标被摧毁的概率是3P',求目标被摧毁的概率.解：令上”目标被摧毁”，A“有i个人击中目标"i=l,2,3P(Ai)=C3p(l-p)2=3pq2yp(A2)=C3p2(l-p)=3p2qfp(A3)=p3其中q=lp.虽然AA2A3不构成样本空间Q的分割，但添加C=“三人均未击中”后就构成52的分割，而P(BICA0.于是由推广结论2得：P(B)=Ep(Ai)p(BA)三3pq2,/3p2q,2p/÷3三3pqq2+2pq÷p2)三3即'3.4全概率公式的推广结论3及其应用定理3.4设A,A2,A为样本空间Q的一个分割，即A,A2,A互不相容且&MC)=SMAJC)P(blAC)J=QH5（八）>0,i=l,2,n,B,C为两个事件，当P(C)>0,P(AC)>0时，有.特别当C分别与A,A2,.Ao独立时，PC)=fp(A2(81AC)，证明：设B,C为两个事件，根据加法公式，有当P(C)X),P(A,C)>O(i=l,2;n)时P(A,BC)=P(A,C)P(BIA,C)=P(C)P(A,IC)P(BIA,C).所以M8IC)mfp(AICjP(BlA1C).收MSlC)ICWsiAle)而当C与A,A2,A独立时，有：P(AJC)=P(A5),HMtM8ic)=£P（八）NsiAC)例10第一箱内装50件，其中10件合格品；第二箱内装30件，其中18件合格品，从两箱中任取一箱随机取两个产品，试求若先取出产品是合格品，第二次取出的产品仍是合格品的概率.解：设B,表示“抽取第海”2A表示“第次取出的产品是合格品"j=12得.P(8J=P(8J=I*14)MA出)-：EZ5.SXA)=H4讽A3)I与)=：由于：*u"J-两了网彳，WUA)彳p(jibi)三-p(a%),管由推广结论3得：一NAIA)*AX4A4)+也IA解4ABj39IxtM9以上完成了全概率公式的推广，可以看到全概率公式的推广形式在概率论中的重要作用.事实上，在有关应用概率和随机模型的研究中，只要使用概率分析的方法，全概率公式都被大量使用.灵活使用全概率公式会给我们的解题提供很大的方便，而推广形式进一步拓展了公式的使用范围，成为我们解决问题的有效工具.4结论本文介绍了全概率公式及其应用，通过这些公式和例题的讲述，可以看到全概率公式的应用是多方面的.灵活的使用全概率公式会给我们带来很大方便，而全概率公式的推广形式将进一步拓展全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工具.本文只是举了几个例子来说明它们的应用，事实上它们的应用远不止这些，还可以用来解决投资、保险、工程等一系列不确定的问题中，为生产实践提供更有价值的决策信息，成为我们解决问题的有效工具参考文献1郎诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2004.2李贤平，沈崇圣，陈子腾.概率论与数理统计M.上海：复旦大学出版社，2003.3龚冬保.概率论与数理统计典型题M.西安：文通大学出版社，2003.4王妍.概率统计在实际问题中的应用举例J.中国传媒大学学报自然学版，2007,14(1):15-19.5顾晓青.全概率公式的应用J.沧州师范专科学校学报，2000,16(2):42-43.6马晓丽，张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用J.高等数学研究，2010,13(1):70-71.7孙国红，王学会.概率论与数理统计学习指南M.南开大学出版社，2005.致谢感谢我的论文指导老师冯文莉老师，我的论文写作工程中她倾注了大量心血，从选题到开题报告，从写作提纲到一遍遍的为我指出稿中的具体问题.每一个工作她都做得那么的细致认真，她严谨的态度和工作作风深深的感动着每一个了解她的人.还记得在家实习的时候冯文莉老师曾发了很多邮件，提醒我论文要注意的地方.在来学校之后也是一遍一遍的帮我做修改和指导.冯老师言辞很犀利恰到好处，每次都能一语就点出论文出现问题的关键所在.正是她的严格把关才使我的论文得以完成.在此我表示深深的感谢.我还要感谢我的许多同学和许多提供参考资料的人他们在我的论文写作中给予了大量的帮助.希望他们的毕业论文也能得以顺利通过.同时我还要感谢在我大学四年学习期间给我极大关心帮助和支持的各位老师、同学还有朋友，感谢你们.写毕业论文是一次新的系统学习的过程，毕业论文的完成也意味着我们本科大学四年的结束也意味着新的学习生活的开始.