《不等式》复习指导.docx
不等式复习指导一、不等式的基本性质及应用“须知”1.不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据，它们都是不等式同解变形的基础.2.在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件.如两边同乘以(或除以)一个正数，则不等号不变，若是同乘以(或除以)一个负数，则不等号改变方向.因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母.又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方(或开方)时，要求不等式两边均为正数.3 .应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式为止.4 .用不等式的性质求变量的范围，是通过同向不等式相加来完成的.如果是有等号的，还应注意不等式能否取“二”.5 .实数的运算性质与作差比较法的一般步骤：(1)实数的运算性质与大小顺序之间的关系>bo-b>0；a=bca-b=0；a<b<>a-b<O.(2)作差比较法是比较两个实数(代数式)大小的基本方法，它的一般步骤是：作差；变形；判断.二、一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的代数解法当白>0时，若一元二次方程d+bx+c=O的两实根不，则不等式”?+法+。>0的解集为xXVX或r>x2,不等式a?+bx+c<o的解集为卜.<%<j；若一元二次方程ax2+hx+c=O的两实根W,则不等式ax2+bx+c>O的解集为卜xR,x-y-,不等式or?+瓜+c<0的解集为。；若一元二次方程ar2+zr+c=0无实根，则不等式以2+bx+c>0的解集为R,不等式02+b+co的解集为。.2,用数形结合法解一元二次不等式解一元二次不等式CUC+bx+c>O或r2+bx+c<O,反应在图形上就是考查二次函数丁=双2+云+。的图象与X轴的关系(图象在其上方还是在其下方)，利用数学的基本思想一数形结合思想，理解、认识一元二次不等式，能帮助我们熟练解决问题，提高解决数学问题的速度.用数形结合法解一元二次不等式的步骤如下：(1)转化原不等式，使之成为标准形式加+u+cN(W)(>O).(2)找到相应方程0r2+bx+c=O的根.(3)通过二次函数的图象，写出不等式的解集.3.利用不等式的“解”求一元二次不等式利用不等式的“解”求一元二次不等式是解一元二次不等式的逆向思维的体现，主要是根据函数图象与X轴的交点、一元二次方程的根与系数的关系来求解.例设不等式0r2+6+c>0的解集是<<（O<v）,求不等式c+H+c>0的解集.b解：由题意可知v,a+=一一,a=-laa由此可得CV0,+-=-.-*-=,apaape故c+6+<o的解集是11gx>-1.Ij三、二元一次不等式（组）与简单线性规划1 .画不等式表示的平面区域图是线性规划的入门知识，也是必备知识，其要点是“以线定界、以点（原点）定域”，同时还要注意哪条线应画成实线，哪条线应画成虚线.2 .线性规划问题的一般思路解线性规划问题的一般思路为先根据题意写出题目要求的不等式或不等式组（复杂问题可列表分析），及目标函数，然后根据列出的不等式或不等式组在坐标系中画出可行域（注意直线斜率要准确），及目标函数线（一般截距为0）,然后移动目标函数线看何时目标函数能取得最大值或最小值，此时目标函数线经过哪个点，然后解方程组求出点的坐标，此即最优解，代入目标函数得到所求的最大值或最小值.若实际问题为整点问题时，则在上一步的基础上需进一步寻找最优的整数解.常用方法有平移法、代入验证法、优值调整法.3 .线性规划思想的推广数形结合常见的推广有两个方面，一是区域的推广，如给出不等式/+y2<,则对应的可行域为单位圆的内部；二是截距的推广，线性规划解题时目标函数的最值最终是通过直线的截距来体现的，而截距也可推广到斜率、距离等情况，如“已知3-2）2+y2<,求2,J2+/X的最大值”，可把1看作点y）与原点的连线的斜率，把后歹看作点y）到原点的距离，由图形可确定斜率和距离的最值情况，然后求出具体值即可.四、基本不等式1.不等式/+从2皿和而W字（qb20）成立的条件：前者只要“都是实数，2后者要求ab都是非负实数.这两个公式都是带有等号的不等式，当且仅当。=人时取等号.2.两个正数，若它们的积为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的和有最小值；若它们的和为常数，则当且仅当这两个数相等时，它们的积有最大值.3 .用基本不等式求最值应注意：一"正"、二“定”、三“相等”三个条件.“正"即不等式中的“匕均为正数；“定”即应用不等式时其一边必须为定值，如求f+与的最小值时有X+42,p4=2,其中为定值；"相等”即两项相等时取等号.xVxrX4 .常见错例剖析2I例1已知月y>0,且+y=,求一+一的最小值.Xy解，+工22户迈=半=4点,XyY与,+y2222+!的最小值为4j.Xy例2已知&Zc,d,IYhH>0,且片+/=/c2+J2=n2,mn,oc+仇/Wp,求的最小值.*.*ac+bdWa2+c2h2+d2422tr+hc+dnr+n1=222的最小值为.试问以上两题的解答是否正确，若正确，说明理由；若错误，请给出正确答案.21分析：(1)不正确.在两次使用基本不等式时，前者取“="条件是W=上，即X=2y；后Xy者取“="条件是x=y,字母为y在同一变化过程中前后取值不一致，故为错解；(2)不正确.解答中用到cW±二，当且仅当=c时取"="；当且仅当Z?=d时取"=由已知c2+d2=n2.这样就推出m=，与已知m矛盾，故也为错解.正解：（1）2+1.=（+y）j2+"l=3+至+223+2五，当且仅当幺=±,即X=应），时取“=Xy故2+工的最小值为3+20.Xy（2）（ac+仇/）2=a2c2+2adbc+b2d2a2c1+a2d2+b2c2+b2d2=（a2+护）（c2+2）r等号成立的条件是=秘，即二=E或这样与已知并不矛盾，bdcd'ClC-3fbdy(a2+b2)(c2+J2)=nrn2=n.由此得的最小值为加.(本题亦可用三角代换，设="?CoS,b=msina,c=11cos,d=11sin?,ac+bd=tmcos(a-?)tnn)点评：在同一变化过程中两次使用基本不等式时，必须注意取等号条件前后要一致；要使不小于4c+Zv的一切值，必须也只须P的最小值就是“c+Zv的最大值；三角代换法是求函数最值或证明不等式的常用方法.
