电动力学复习.docx

第零章预备知识一矢量场论要求：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理和斯托克斯定理。难点：梯度、散度、旋度在柱坐标和球坐标中的表达式；高斯定理和斯托克斯定理；二阶微分运算和算符运算。主要内容方向导数：方向导数是标量函数双式)在一点处沿任意方向对距离的变化率。Iim包=Iim四止皿(1)o/o/梯度：在某点沿某一确定方向取得夕(工)在该点的最大方向导数。grad=7=n2n散度：矢量场,(幻在AV中单位体积的平均通量，或者平均发散量的极限。打而divA=VA=IimvoV旋度：单位面积平均环流的极限。-找小小rotA=V×A=Iim-n(4)oAS梯度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系C-.-"="不+%而+e至柱坐标系C-.(6)球坐标系1.-.-1=er-+e+el6-rdrrrsin9散度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系1AOA.VA=-+-+eXdyeZ柱坐标系-11AAVA=(Mr)+一rdrrz球坐标系VA=(r)+-(sin)rorrsin。3，I1叫rsin旋度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系(10)柱坐标系短自司一d_d_d_VxA=xyzAA，（三）VxA=1一-gr了1一-e.rz4Az(12)球坐标系高斯定理:斯托克斯定理:二阶微分运算:er-厂Sinee0rsin勺¥Arsinfi41rsin(sin%)VxA=11Ara/a、1.aM-e°sindraAr二=VAJVSVds=J(V×A)dSrS笛卡儿坐标系(13)(14)(15)(P上/(PV(P=Z-HZ-H7-,、"廿Sz(16)V2A=(V2Ax)ex÷(V2v)ev+(V2AJe2柱坐标系v7213/。、12u2uV-w=(r)+-+7rdrdrr22z2V2A=(V2A)rer+(V2A)¾+(V2A)2(17)球坐标系7218/2du、1d/.C3”、V-w=()+-(Slng)r2rrr2sin12u(18)r2sin21V2A=(V2A)rr÷(V2A)0e0+(V2A)¾格林定理(西9杰=J(W/+VpV")du(定理I)g.Y、.西二W-()clv(定理11)(20)SV算符的运算(1)V(v°)=oV.(Vxi)=O(3) N(w)=四9+四(4) V3)=0Vg+Vg×(g)=(×g+×g(6)V.(i×7)=.(V×i)-g.(VxJ)这里用到了常矢运算法那么作(法为=B(Wx,)=50xB)V×(×7)=(7V)+(V)g-(g.V)7-(V)7这里用到了常矢运算法那么：a(b×c)=(ac)b-(ab)cV(g)=7×(V×)+(V)g+g×(V×)+(.V)7常用几个公式设r=x-x,=ex(%-x)+ey(y-y,)+e.(z-z)第一章电磁现象的普遍规律要求：掌握电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系；了解麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；并理解介质的电磁性质方程和电磁场与带电物质之间能量守恒。重点：电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系。难点：麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；电磁场与带电物质之间能量守恒。主要内容电荷守恒定律：族出=一JPdrsuV/+2=0(2)t库仑定律:HOvlv2r安培定律:，2显x(0dX弓I)毕奥萨伐尔定律:I,dl,×r法拉第电磁感应定律：§昌疝=-瞪点洛仑兹力：户=R+Rn=q(E+v×B)7=(E+v×B)麦克斯韦方程组：真空中NE=P/Ao(9)110)VxE=-aVB=Ov75EV×=zw÷0-Edl=BdsS小加="o,J加=0,拒加=!JIlM=fScOcOBds=O介质中力=PfR丽v×E=(11)tVB=OV?fjtADNXH=Jfrjtdi=-A"JJ*ds£。加=I,+Dds(12)l由sds=Qfa月本二o边界关系n×(E2-E)=Oii×(H2-Hl)=df(D2-bi)=f(B2-B1)=O(13)介质中电磁性质方程:D=EB=H(14)J=E能量密度：w=-(ED+HB)(15)2能流密度：S=E×H(16)玻印廷定理：=1.v.5-X=-ff（17）dtl_tJRdtf意义：体积V内带电体的机械能的增加，等于从区域V的界面S流进去的能量减去区域V内电磁场能量的增加第二章静电场要求：掌握电标势概念及其微分方程（泊松方程和亥姆霍兹方程）；理解掌握唯一性定理、别离变量法、镜像法；了解格林函数法、电多极矩法。重点：电标势概念及其微分方程，唯一性定理、别离变量法、镜像法、格林函数法、电多极矩法。难点：格林函数法、电多极矩法。主要内容电标势概念及其微分方程：概念丘=7°（1）微分方程力夕二一旦2夕J=阂边界关系,2。夕13-=-cnsns唯一性定理：介质中：设区域/内给定自由电荷分布（1），在，的边界S上给定：（i）电势或无UD电势的法向导数穿|,那么/内的电场唯一地被确定。导体存在的情况：A类问题：区域/中电荷分布。（方,及所有导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：一区域/中电荷分布。（方,及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。那么/内的电场唯一地被确定。别离变量法:应用条件：自由电荷全聚集在边界上，也就是说:在要求解电场区域没有自由电荷（泊松方程转变为拉布拉斯方程）+边界条件。拉普拉斯方程v>=o笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程及其解r72*“w=T+T+T=ox2y2z2设火Xy,z)=X(x)Y(y)Z(z)(xiy,z)=(Acoskxx+A2sinkxx)(Blcoskyy+B2sinkyy)(C1cosk,z+C2sinkzz)(6)或：(x9y,z)=*"*)*/；(R=k；+k；)柱坐标系中拉普拉斯方程及其解v7,1.1ob八(QsN-=(r)+-7-+-y=Ordrdrr22z2(rt,z)=iJzw(M+A2Nm(kr)1cos(z?)+B1sin(11)9C1cosh(tz)+C2Sinh(Az)其中4()=w=0T为伽马函数）（10JNm(kr)=CoS依;r)，（三）JF(Q)sin(znr)球坐标系中拉普拉斯方程及其解VV=-1-(r2)+-(sin6>-)C11)r2drdrrSineae+r2sin【°(r,e,")=Z(A”/"+M)f(cosO)COSS¢)11,w+Z(C3+)郡(cos。)sin(m0)n,wD轴对称系统(r,)=Z(A+r)B(cosO)(13n=0r球对称系统0=A+C14)r例1：在均匀外电场片中置入一自由电荷体密度为巧的绝缘介质球，介质球的绝对介电常数为以写出该问题的定解条件。解：V21=-V22=O例2:如下图，电容率为£的介质球置于均匀外电场瓦中，设球半径为R。，球外为真空，试用别离变量法求介质球内外的电势。_解：设球半径为尼。以球心为原点，以E。方向为极轴建立球坐标系。以%代表球外区域的电势，G代表球内区域的电势，外均满足拉普拉斯方程，通解为：=:由边界条件：Elfo=Eo,eIi=FRcosO=Fg(Cose)得：a=-E0,an=0f(n1)由边界条件：外IR=O为有限，得d“=0在R=Ro处，=?,ifiIdR=2/R将(1)(2)代入，并比拟Pn的系数，得：.一£:。EOE，CI=一一Eo,bn=cn=0,(z1)£+2分+2%由此，x=-E.Rcos+°+2'0R镜像法应用条件：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规那么（电场能用等效电荷代替）+边界条件。主要是单导体平面，导体球面等。对于两个导体平面构成的劈形满足像电荷数为（2）-l,并且只有2=偶数才能用镜像法求解，其中为两导体平面间夹角。例3:一个内外半径分别为凡和的接地空心导体球,在球内离球心为（飞）处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。解：假设可以用球外一个假想电荷e代替球内外表上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外外表电量为零，由对称性，2应在球心与。的连线上。考虑球内外表上任一点P,边界条件要求:QR+Q'R,=O（1）式中R为Q到P的距离，R'为。到P的距离，因此，对球面上任一点，应有：R/R=-Q'/Q=常数只要选择。的位置，使AOQ/AOPQ,那么RR=RJa=常数（3）设Q距球心为b,那么b/用=RJa,即b=由23两式得：Q=_Roa导体球壳接地，电势为Oo|y从球壳外外表到无穷远都没有电荷,所以球壳外电a势为0。卜Qb例4：有一点电荷Q位于两个相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间内(如下图)，它到两个平面的距离分别为a和b,求空间的电势。解：像电荷选取如下图，空间任一点P的电势为：1=-4%Q-Qy(x-a)2÷(y-Z?)2÷z2y(x+c)2+z2y(x+a)2+(y+b)2+z2y(x-a)2+(y+b)2+z2格林函数法应用条件：给定区域-d<l皿-Q或电势法向导数学1.加Sy7例边界面S上各点的电势化第一类边值问题:给定S上的1锄化，也称则克莱边值问题;第二类边值问题:给定S上的篝点电荷密度表示(a,-b)/石森诺埃曼边值问题。P()=Q(-,=Ox,xX,=X(15)格林公式第一公式U6)V+(V)(V)j=VSenn第二公式(17)通过格林函数电势的解表达式为。=JG(Fj)p(F)d+vrIoA1.1.,一、曲(亍)%驻Gax)鼻一一(x)P71.onnJ几种格林函数无界空间(即在无穷大空间中放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。)G(xx,)=-!=?!-7(19)4您O(%X)4宓。限_y)2+(y_y)2+a_z)2F上半空间(即在接地导体平面的上半空间放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。)G(f亍)=71.T我4您。(x-)2+(y-/)2+(z-z,)2pI乙UJu-x,)2+(y-y)2+(z+Z?网球外空间(即在接地导体以外的空间放一个单位点电荷，求空间某处的电势，也就是Green函数。)G(xx,)=-/4在O1.(R2+R,2-2RRfCosaY2)1(等了+皤-2R*cosa)%电多极矩法应用条件：原点大小尸远小于场点到原点的距离不。22零级电势(单极子，球对称分布的电荷系统在远处可视为单极子，无偶极矩和四极矩)Q=jyp(rf)dVf“。)=»234您OIrI一级电势(偶级子)P=p(f,)r,dV,(24)。=Z1.户.哈(25)4%IrI二级电势(四极子)马=,34r；p(/)dV'=£3r,f,p(r,)dV,(26)=_1.lyo(27)4宓。66“&网I川电荷体系的总能量可以写成：W=-pdOO但不能把例看成是电场能量密度,它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。第三章静磁场要求：掌握磁矢势和磁标势概念以及他们相关微分方程;理解矢势和标势的边值关系；了解静磁能的表达式以及电流系统和外磁场间的相互作用。重点：磁矢势和磁标势的概念、微分方程、边值关系。难点：磁矢势和磁标势的表达式、边值关系。主要内容磁矢势稳恒电流和电流之间关系J=eE(1)定义月=VxN矢势和磁感应强度之间关系Bds=(V×A)ds=jAdl(3)物理意义：沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。微分方程V2A=-/(VA=O)特解*)=氏乎(V×A2-V×A1)=0边值关系,八11一«x(VxA2-VxA1)=az、2氏或双臼能量W=gJAjJr多极矩零级（无磁单极）零）（P）=O一级（磁偶极子）却"）卷誓(10)二级（磁四极子）不2）=_脚九7小夕，：VVB"(11)磁标势能引入磁标势的条件:所考虑的空间区域没有传导电流,并且磁标势取单值（或单连通区域）。定义方=(12)微分方程A=-Mo必(13)(14)边界条件OMS=外2s(15)静磁场唯一性定理如果可均匀分区的区域夕中没有传导电流分布，只要在边界S上给出以下条件之一，那么M内磁场唯一地确定：a)磁标势之值外八；b)磁场强度的法向分量/s=-等I;C)磁场强度的切向分量修I。阿哈罗诺夫(AharonoV)和玻姆(BOhm)提出了一种新的效应(以下简称A-B效应)，势0和A具有可观测的物理效应。A-B效应是量子力学现象。第四章电磁波的传播要求：掌握单色平面电磁波的微分方程及其性质；理解平面电磁波在有导体存在空间中传播的特殊性质；能够分析谐振腔和波导中的电磁波特性。重点：单色平面电磁波的波动方程及其性质；谐振腔和波导中电磁涉及其性质。难点：谐振腔和波导中电磁涉及其性质。主要内容平面电磁波(利用麦克斯韦方程组第二、四式两边取散度)V2E-驾二0波动方程U"(1)这1%二0C2t2时谐平面电磁波(单色平面电磁波)E(xt)E(x)ei)B(xt)=B(x)e-i,VxE=iH麦克斯韦方程组V×/=-iE()VE=OV/7=0k=y亥姆霍兹方程02+公云=o（4）72H-k2H=0V2E+k2E=O电场满足的亥姆霍兹方程和附加条件1=0（5）B=-7×E2B+k2B=0磁场满足的亥姆霍兹方程和附加条件卜与=0（6）E=一一-VxB期解为2单色平面电磁波的特性：电场和磁场是同频率、同位相的。波矢量E=4K其大小为为2刀距离内的波数，方向为电磁波传播方向。假设后=瓦cos（&Z-函），说明电磁波沿Z方向传播。由力=0和.»=（）出发即得F0=O,入瓦=0这说明，电磁场振动方向与传播方向互相垂直，由此可见电磁波是横波。波矢、电场强度和磁感应强度间的关系ZXEo=叫k×Bq=-cdEq这说明电场后和磁场B之间不独立,且电磁场E.B的振动方向与传播方向三者互相垂直，并满足右手螺旋法那么。电磁场的幅值比5=-71.=BOW电磁场能量密度卬=（£力+/月）=£炉=_182（电场能量密度等于磁场2能量密度)能流密度S=E×H=wii例5:真空中一单色平面电磁波的电场为:E(Jrj)=106(lx-4,+lz)cosj+3x-y-z)试确定以下问题：1 .电磁波的传播方向E。；2 .电磁波的波长；3 .电磁波的频率/；4 .磁场夙尸")；5 .电磁波的能流密度。解：将电场改写成：E(ra)=106(44+7Z)"U35z)="比拟两端有：E0=l6(-4+7)所以：=-3+,+1. *0=4-=-71.(-3+)MlVH,1 211r112. =-=-=k113. cd=2/=VhcV7云砺4.由麦克斯韦方程VxE=-正有ik×E=-iB)一I-一1一一106_所以BSi)=而kXE0=而(E+iy+iz)Q-%+北)5S=ExW=E×-=x_(-3+÷I)cos2(+3x-y-z).42万菲涅耳公式E；I_Sin(。-8")%sin(6>+6>ff)Eq1_2cos。sin。"豆-sin(6+6")与I=tg(6-夕)(0)Ealtg(，+。")导电介质中电磁波传播自由电荷分布(因J=EfV+=0,VD=p)t迦+Sp=O(11)tPs=POeJ(12)良导体条件»1,良导体内部没有自由电荷分布，电荷只能分布在导体外表上。亥姆霍兹方程V2E+k2E=0(13)2H+k2H=0(14)复介电常数。它的实部代表位移电流的奉献，不产生能量损耗，虚部代表传导电流的奉献，能产生(引起)能量损耗。复波数E=/+/(15)穿透深度S=1.=,户(16)aVa导体中功率损耗p=g(j.后*)=g殂2m(17)波导中电磁波矩形波导中电磁波波动方程(18)V2E+k2E=0<V2B+k2B=0边界条件Wx(E2-E1)=O(19)n×(H2-H=d电磁波Ex=(Asinkxx+BCOS(XXXCSinkyy+Dcoskyy)e,(k：zM)玛=(A'sin&r+8'cosZE)(C'sinhy+O'cos&M，"：i)(20)Ez=(Ansinkxx+Bf,coskxx)(C,sinkyy+Dncoskyy)eizt0,y截止频率11)211C(22)截止波长、2ma;谐振腔波动方程=°(23)V2B+Jl2=0边界条件赤后=°)n×H=aEx=ACOSAXXSinAYySinkzz波函数J=&sinkxxcoskyysin£z(25)Ez=A3sin欠XXSinkyycosk.z第五章电磁波的辐射要求：掌握矢势和标势的标准变换和达朗伯方程;理解推迟势的性质及其物理意义；了解电偶极矩、磁偶极矩等辐射势及辐射压力。重点：矢势和标势的标准变换和达朗伯方程；推迟势意义；电偶极矩、磁偶极矩等辐射势及辐射压力。难点：电偶极矩、磁偶极矩等辐射势及辐射压力。主要内容矢势和标势的波动方程库仑标准下(/=()V2A-_P_£。12A1t2c2t(7)=-0j洛仑兹标准下/+v>-达朗伯方程c2t212A库仑标准的优点是：它的标势。描述库仑作用，可直接由电荷分布求出，它的矢势久只与横场分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立偏振。洛仑兹标准的优点是：鼠(从而良B)都以波的形式存在。电荷产生标势波动，电流产生矢势波动，两式不再联立。标势。和矢势,构成的势方程具有对称性，物理意义特别明显。矢势Z和标势。的选择还可以有任意性，即存在多余的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变性。推迟势推迟势意义：空间任一点/时刻的势，是源区”器时刻的电荷电流分布激发的。它说明了电磁作用是以有限速度U=C向外传播的，它不是瞬时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波，而电磁波以速度c=-r=脱离电荷、MO%电流向外传播。电偶极辐射A(x)=-J(xf)dV,(7)4rRJP=Jjld,=Jjd,(8)VV月二=Je力方Isin(O)可辐射场:E=-石屋，方ISin逐4在°c?平均能流密度(0=wsi112厌UO)32%C辐射角分布f()=-lr1sin2(11)32;T&C辐射功率"=_1.耳(12)4您O3c3磁偶极矩辐射相(X)=华1菽玩(13)而=%"i(14)电磁场%偶极=-(×H)(15).JkR&偶极=4(扇x"x存(16)平均能流密度"啸翳S山.(17)辐射功率P=R普12(18)电四极矩辐射ZG)=24在ORC'U9)B=电磁场24加ORC4JkRD×n(20)-0-AAE=-(D×n)Xh24加ORCK平均能流密度4您O288麻次2D×H2(21)第六章狭义相对论要求：掌握伽利略变换和旧的时空理论;理解两个原理和狭义相对论的根本变换一洛仑兹变换；了解相对论时空观中的一些性质；熟悉相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。重点：两个原理和狭义相对论的根本变换洛仑兹变换；相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。难点：相对论时空观下的力学根本规律和电动力学根本规律。主要内容伽利略变换,=X-Vt两根本个原理相对性原理一切物理规律，无论是力学的，还是电磁学的，对于所有惯性系都具有相同的数学形式。光速不变原理在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为C，并与光源的运动无关。间隔不变性S,2=S2或dS'2=dS?-/）一（芯-X）2-（另一）2一（z；-Zfl）2=C2（t2-ty-（x2-X1）2一（必一y）（z21zi）2洛仑兹变换相对论时空中的一些特殊性质运动尺缩短=°U时钟延缓效应4=7三速度变换公式一处严Xdt,a(IT)3C一处ydt,(1一歹)/VUy=(v+2(l-¾2cvuCJ=也2dt,二(l-¾2C-VUxC2加速度变换公式?)相对论力学矢量V=.i"=1,2,310张量T'=aikajlTkl,i,j,k,l=1,2,3(11)对于质点力学的速度、动量等表示可以借助于上面的矢量的变换表示。质能关系T=书立-叫一12W2=p2c2+my13电磁规律的相对理论四维电流密度矢量/"、Jxr/0Oiy(jx)j,y010014Z0010、-枢y00,JC0四维势矢量电磁场张量麦克斯韦方程组j'x=(j7p)yXAA=AA115)V-2C0B2.C-B30B、-E.CB2叫0Cc-E2C汰C0/=(-vAx)1718空+以+也=Oxxxv(19)电磁场量间变换E*=ExE；=y(Ey-vB)区=八纥+%.)Bl=BX4=(4+gW)20VBfz=r(Bz-Ey)(21)以速度U相对于地面S运行，车厢的后壁以速度多普勒效应6=7以1-上CoSe)例6：静止长度为/。的车厢,。(相对于回车箱)向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：根据题意取地面为参考系S,车厢为参考系S',于是相对于地面参考系S车长为I=0l-v2c2,车速为球相对天于地的速度为所以在地面参考系S中观察小球由车后壁到车前壁所走过的距离为所以将（1）（2）代入（3）得：加=吗+，廿/。2）IIMI-V2/c2例7:一火箭在实验室坐标系中以这样的速度运动，使系测得它的长度为即：竺=2原长的一半。求火箭相对于实验室坐标系的速度。解：因=0-1-3=c2得：U=C