电子科大数值分析期末试卷及评分细则2.docx
得分一、填空题：(30分，每空3分)1.迭代公式pzl=4P.T,0<<l,设PO=1,假设Po有误差，按照迭代公式生成的数2.线性方程组AX=匕，其中A二410141014其迭代矩阵为0-0.250-0.250-0.250-0.250列误差随着n的增大而一增大5b=6,如果采用JaCobi迭代法解该线性方程组,53 .一个问题是否病态与问题本身有关4 .当x=l,3,4时，/(x)=3,6,2,那么/(x)的二次拉格朗日插值多项式1.2U)=-1if+53%-2461235 .矩阵635的4范数等于103016 .三次样条插值具有2阶光滑性7 .如果插值求积公式y(x>JAkf(xk)为高斯公式，那么其求积公式具有2n+l次代数精=l度。8.线性方程组AX=中，A=,那么p（八）=39 .对于插值型积分公式，其积分节点越多，积分精度不确定O(越高，越低，不确定)l(对于微分方程初值问题了=-2孙y(0)=l,取步长=0.1,那么其显式EUler方法的计算公式为+=-°2D(O)=IB二、判断题：错误用“X”、正确用“J”示意(10分，每题2分)1 .解线性方程组Ax=b的迭代法收敛的充分必要条件为p（八）<1(X)2 .如果线性方程组Ax=b中矩阵A为严格对角占优矩阵,那么对于任意迭代格式都是收敛的。(X)3 .只要插值节点是互异的，那么一定存在唯一的插值多项式满足插值条件。（）4 .曲线拟合比三次样条插值好的一个原因是曲线拟合的计算量小。（X）5 .常微分方程的初值问题中，预估-校正法能以较少的计算量到达与梯形法的相同的计算精度。（）三三、论述题（10分）1.（Io分）有一种说法“对于拉格朗日插值，插值点并非越多越好；而对于曲线拟合，拟合点越多越好”请分析上面的说法是否正确，并说明相应的原因。解：（1）说法正确（2分）（2）插值与曲线拟合的区别，所采用的方法的区别（4分）（3）对于高次拉格朗日插值会出现龙阁现象，而曲线拟合采用最小二乘法，拟合点越多提供的信息越丰富，越能拟合出数据的规律。（4分）得分I四、计算题：（50分）1. （12分）有数表如下X234y252114用最小二乘法确定拟合模型y=?中的参数a,b要求所有计算结果保存到小数点后第四位。解：（2分）对拟合模型两边求对数，有IOgloy=IogIo4+blgQ%，令y=Iog10y,X=logl0xfa=logl0a,变量代换后有Y=a+bX（2分）同理，对数表进行代换后有X0.30100.47710.6021Y1.39791.32221.1461（2分）取%（x）=l,q（x）=x,根据最小二乘法，即有2=3J=O2(外用)=Xi=0.3010+0.4771+0.6021=1.3802<=02(例，例)=X；=0.30102+0.47712+0.60212=0.6807(3分)i=02(r)=13979+1.3222+1.1461=3.8662/=O2(曰,丫)=X1=0.3010*1.3979+0.4771*1.3222+0.6021*1.1461=1.7417/=O于是正规方程组为3.8662（1分）31.3802l1.74171.38020.6807J|_Z?解得1.6612-0.8096ab于是。=10=45.8353,拟合模型为y=45.8353x<8。%”分)2. (12分)确定凡4,A，使求积公式(XHra/()+&/()+Af(3)的代数精度尽可能高，并指出是否是GUaSS型求积公式。解令/(x)=lXHX=6故"G+4"o)+A(3)=i+4+a=6令/(冗)=XJ；fxVx=。(1)（1分）故/()+4(0)+A*3)=+3A=0令/(X)=X2J；/(XWY=18(2)（1分）故/（八）+4(0)+A(3)=2+9A=18联立上面三式得联立(2)(3)得：(3)（1分）a=3或a=6（因为a=6在积分范围以外，所以略去）(2分)再由（1）得A1=I&=4（如果a=6也保存了，这2分全扣）下面判断是否是高斯积分令"x）=3j：/（Wr=O故/（-3）+4/（0）+/（3）=-27+27=0（1分）令/（x）=x4/（x）iZx=486故/（-3）+4/（0）+/（3）=81+81=162（2分）不成立故J：/（工9。/（一3）+4/（O）+/（3）具有三次代数精度（1分）高斯积分定义是，如果积分节点数为n,那么代数精度为2n-l的积分。（1分）此题中，积分节点数为3,而代数精度为3,不满足高斯积分的定义，故不是高斯积分。（2分）3 .（10分）取步长力=0.2,用梯形法解常微分方程初值问题计算经过梯形法一次迭代的结果，（要求给出相应公式，步骤清晰，并保存4位有效数字）解：（1）首先用EUIer方法计算初值制="+/矿（怎，然）（2分）得（3分）（2）代入梯形法公式婿）=S"+（%,）！）+/（xn+,/）（2分）经过第一次迭代得：（3分）4 .（16分）线性方程组（1）请对该线性方程组进行初等行变化，使其能够使用GaUSS-SeideI方法进行迭代计算，并说明原因。（2）请用GaUSS-SeideI迭代计算经过变换后的方程组，要求写出迭代方程，并用Mauab实现迭代结果，判别条件为卜（A叫一J11<104.解：（1）对线性方程组，第一行和第二行进行行变换得这个方程可以用Gauss-Seidel方法进行迭代求解。（3分）原因：（3分）因为经过变换后的方程组是一个对角占优的方程组，而对角占优矩阵的Gauss-Seidel方法是收敛的。迭代方程为：v(*+l)i11M+7产+4看叫5'÷+l102记）81-2÷)+28-2(4分)程序：clearclcxl=0;x2=0;x3=0;x=xl,x2,x3;phy=1；whilephy>10-4x1p=-0.5*x2-0.25*x3+74;x2p=0.2*x1p+O.3*x3+O.5;x3p=-(l8)*x1p-(38)*x2p+32;xp=xlp,x2p,x3p;phy=norm(xp-x,inf)xl=xlpx2=x2px3=x3pend程序，取初值，(1分)设计一个能进入循环的判断(1分)进入循环判断(1分)循环内计算无穷范数（1分）循环内的迭代（2分）
