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电磁场与电磁波复习四川理工学院第一局部知识点归纳第一章矢分析1、三种常用的坐标系(1)直角坐标系_TTf_dSx=dydz_微分线元：dR=axdx+aydy+a.dz面积元：ds=fidz，体积元：dr=dxdydzdS.=dxdydlr=dr长度元：,dl0=rddl=rsind(2)柱坐标系dlr=drdSr=dldl.=rddz氏度元：，dl=rd,面积元dS=dlrdl.=drdz，体积元：d=rdrddzdlz=dzdSz=dldlz=rdrdz(3)球坐标系dSr=dldl=r2sindcldS=dlrdl0=rdrd面积元：dS0=dlrdl=rsndrd，体积元：d=r2sindrdd2、三种坐标系的坐标变量之间的关系(1)直角坐标系与柱坐标系的关系(2)直角坐标系与球坐标系的关系(3)柱坐标系与球坐标系的关系3、梯度(1)直角坐标系中：(2)柱坐标系中：球坐标系中:4.散度(1)直角坐标系中：(2)柱坐标系中：球坐标系中：意义为：任意矢量场A的散度在场中任意体积内的体5、高斯散度定理：AJS=Ad=divAd,积分等于矢量场A在限定该体积的闭合面上的通量。6,旋度(1) 直角坐标系中：(2) 柱坐标系中：(3) 球坐标系中：两个要性质:矢一场旋度的做度恒为零,VVxA=O标场梯度的旋度恒为零,VxV;/=07、斯托克斯公式：第二章静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的根本变量是电场强度E、电位移矢量。和电位夕。电场强度与电位的关系为：E=708.854×10,2Fw2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的计算公式如下：(1)点电荷分布(2)体电荷分布面电荷分布(4) 线电荷分布3、介质中和真空中静电场的根本方程分别为在线性、各向同性介质中，木构方程为：D=0E+P=E=0rE4、电介质的极化(1)极化介质体积内的极化体电荷密度为：/极化强度矢量)。(2)介质外表的极化面电荷密度为：QPS=A；日为表面的单位法向樗矢量)5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，时n6、介质分界面上的边界条件71(1)分界面上。“的边界条件D1,$(PS为分界面上的自由电荷面密度)，当分界面上没有J.y孚！自由电荷时，那么有：二匚hOM=O2"即=6=>,它给出了B的法向分量在D2n介质分界面两侧的关系：/%(I)如果介质分界面上无自由电荷，那么分界面两侧B的法向分翱！内;的边界条件(II)如果介质分界面上分布电荷密度PS，。的法向分量从介质1跨过分界面进入介质2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度P,。用电位表示噤+/管F神普=£叠3=。)(2)分界面上B的边界条件(切向分量)TTTT>>n×E=n×E或Elr=后1，立场强发的初向4'堑A不间的台界面上总是推住的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量有限，故在分界面上的电位函数连续，即<=%。tan.,色力强折射it#：1.=Otan227、静电场能量(1)静电荷系统的总能量体电荷：We=pjr;面电荷：W,=gs心；线电荷：叱,=gJqR。(2)导体系统的总能量为：We=qkko2Jt(3)能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意一点的能量11密度为：-DE=-E2Jm322在任何情况下，总静电能可由叱,来计算。8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的根本变量为电场强度Z和电流密度j,且b为媒质的电导率。(1)恒定电场的根本方程心积分形式三f43=-监电快,在陵收方程，JJSt微分形式：.；=曳或.；+曳=Ott恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即号=0和等=0。因此，电流连续性方程变为：,JdS=0和J=O,再加上(Ed7=0和VX云=0,这变分别是恒定电场根本方程的积分形式和微分形式。(2)恒定电场的边界条件>应用欧姆定律可得：2弱“二%七2和九二右。巧?此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为P=配。储能密度为牝=g田2。第四章恒定磁场1、磁号的特性由磁感应强度3和磁场强度方来描述,真空中磁感应强度的计算公式为：(真空磁导率：1.0=4×107h,)TT(1)线电流：1=4“叼=也产X(I)4%力R24乃13TTTT?(2)面电流：4二A)IJSxaKdS二MTJSX(1.")4-411R2-4乃Xl3r-rTT7体电流：Z=O,Jxafld二MO,Jx(r")”4九R2T3r-r2、恒定磁场的根本方程(1)真空中恒定磁场的根本方程为：A、磁通连续性方程：.积分形式:fBdS=°,b、真空中安培环路定理：积分形式C4d/=/微分形式：Vfi=O微分形式：V×B=0J(2)磁介质中恒定磁场的根本方程为：A、磁通连续性方程仍然满足：积分形式:tdS=°,微分形式：VB=OB、磁介质中安培环路定理：J积分形式,"I=/微分形式：VxH=JTc、磁性媒质的木构方程：1=04方=方山=£-此其中看为磁化强度矢量)。桎定蹴扬是一种族涡扬，因此一般系修用一个标春而照的柳盛未描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化程度用磁化强度以表示。>(1)磁介质中的束缚体电流密度为：Jlll=VxMi(2)磁介质外表上的束缚面电流密度为：/心=MX(其中，为表面的单位法向量矢量)TTT4、恒定磁场的矢量磁位为：B=VxA,矢量A为矢量磁位。在库仑标准条件(VA=O)下，场与源的关系方程为：22=(有源区)v2=0(无源区)对于分布型的矢量磁位计算公式：(1) 线电流：a=J1.1.(2)面电流：N=KfB13)体电流：4冗，R44卜R4;TJrR5、恒定磁场的边界条件(1)分界面上纥的边界条件及两种磁介质的分界面上,取一个跨边令界面南侧的小扁收闭合我而裔力0%无穷小卡，此右囹所市，或用碱通武续做方程可得，彳是(8；-后)=。或用”=Jzf(2) 分界面上切向分量)的边界条件：n×(H-H2)=Jsf如果分界面上无源外表电流(即JS=0),那么Ix咸_园)=O即瓦=区或WSin4=自4%磁力依折射定律：an/=四分界面上8的边界条件tan22用矢量磁位表示的边界条件为：1=X,-(V×,-(V×X),=JsAiA26、电感的计算TT(1)外自感：1.fi=告HdI丁,(2)互感：M2=%=券"M也会(3)内自感:单位长度的圆截面导线的内自感为：/_(长度为/的一段圆截面导线的内自感为1.=包)。7、磁场的能量和能量密度(1)磁场的总能量磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为：I%之f/2J=I*=I(3) 磁场能量密度ITT1,.A、任意磁介质中：COlfl=-HBf此时磁场总能量可以由叱“=(8八计算出；B、在各向同性,线性磁介质中：%=gdE=d,此时磁场总能量可以由Ww4dz=：川/2立第五章时变电磁场1、法拉第电磁感应定律d(1)感应电动势为：=；dt(2)法拉第电磁感应定律.积分形式/Zd7=-詈微分形式：VxE=-t它说明时变的磁场将鼓励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保守场，感应电场E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度，称为HD-r-位移电流密度，即Jd=。位移电流一样可以鼓励磁场，从而可以得出时变场中的安培环路定t积分形式加d7=(d+苧d?T微分形式：VX/=j+竺t3、麦克斯韦方程组(1)微分形式TTaz)(I)VxH=J+tT(2)V×EB(2)积分形式t(3)V.=O(4)VD=PTrrd。(Hdl=(J+-)JS>(2Ui=-JS号.公按di=O(4)13d3=4(3)非限定形式的麦克斯韦方程组>>>在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系：D=E=rEyB=H=nrHJc=E,由此可得非限定形式的麦克斯书方程组:AF(1)V×7=7+ft(2)V×E=-卜t>(3)V7=0(4)V£E=P(4)麦克斯韦方程组的实质A、第一方程:时变电磁场中的安培环路定律。物理意义:磁场悬由电流和时变的电场B、第二方程:法拉第电磁感应定律。物理意义:说明了时变的磁场鼓励电场的这一事实。D、第四方程:高斯定律。物理意义:时变电磁场中的发散电场分量是由电荷鼓思考题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电流连续性方程？答：因为它可以由微分形式的方程组中、式两式导出。把式两边同时取散度得TfaO"*DV(V×7)=V(J+)V(J+)=0d由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得a,再把式代入上式，即得7+Ce=o,这便是电流连续性方程。t4、分界面上的边界条件(1)法向分量的边界条件TTTTTTA、3的边界条件乂(。1一。2)=夕5，假设分界面上2s=0,那么，X(D1.。2)=0B、%的边界条件X(与一品)=O(2)切向分量的边界条件TTTA、云的边界条件X(G-Ez)=OB、力的边界条件/<(442)=工，假设分界面上W=0,那么:x(a-H；)=0(3)理想导体(b=8)外表的边界条件TffTTmn×H=JsHl=Js晟金=O=E=O,TT(3)wB=0<>B,1=0(4)总=生o%=3"£0£0式中;是导体外表法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体外表上分布有电荷，那么在导体外表上有电场的法向分量，那么由上式中的式决定，导体外表上电场的切向分量总为零：导体外表上磁场的法向分量总为零，如果导体外表上分布有电流，那么在导体外表上有磁场的切向分量，那么由上式中的决定。5、波动方程TT无源区域内，E.方的波动方程分别为：力力邙=0、pEg翌=0；t2t2此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动，故称1时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为Dp=7=。6、坡印廷定理和坡印廷矢量数学表达式：一，IX方"-'¢4/2+l2)r+E26r由于叱=Ig出2*为体积工内的总电场储能，M1.(；加2为体积工内的总磁场储能，P=2d为体积r内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：-病X方dW=:(W+%)+P,式中的S为限定体积T的闭合面。物理意义：对空间中任意闭合面S限定的体积r，3矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。坡印廷矢量(能流矢量)3=最力表示沿能量流动方向单位面积上传过的功率。7、动态矢量磁位A和动态标量为与电磁场的关系为：B=V×A,E=-V-tT达朗贝尔方程(或称A与的非齐次波动方程)为52A,2VA-=-Jt-=tt第六章正弦平面电磁波1、正弦电磁场(1) 正弦电场、磁场强度的复数表示方法(以电场强度为例)在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可以写成：运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：其中，Exm=Emej,Eym=EymejEzm=EzmeJ内分别称为各分量振幅的相量，它的模和相位角都是空间坐标的函数，因此TT->T其中，E=aExn+aEvm+a.Eim,称为电场强度复矢量:，它含有各分量的振幅和初相两大要素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表示，也不能写成指数形式。例题1将以卜场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值(2) H=%”。-幺/侬巴)sin(ZZ-W)+.”OCoSV)COS(ZZ-M11aa(3) Exm=2jE()sin/9cos(sxcos)ejkzs'n解：(1)因为COSRZW)是偶函数，那么COS(ZZ诩)=COS侬-Zz)而Sin(ZZ-m)=cos(kz-t-=cos(aX-Arz+-)»故22.f°cn-/(Jlzsin)(2) 因为Exm=2JE0sin0cos(cxcos)ejk°=2E0sinOcosgcos。)©故Ex=2E0sincos(kxcos)cos(ft)t-zsin+(2)麦克斯韦方程组的复数形式Vx/=+jDS7×E=-jB,此方程组没有时间因子，注意：式中的场量仍代表复矢量，标量仍代表复数。V=0VD=P*才或S戚整的本解，<*(T*A*9a,ftA.慈启用AjI篇，方1.a.微彩K*不得，央量，嘉*t4*矣寓*t珞9正94匕-例题2在真空中，正弦电磁波的电场分量为E(ZJ)=%Osin(Of-H),求波的磁场分量由ZM解：先将波的电场分量写出复矢量，即纥,=-/1()3/C),将其代入矢量的麦克斯韦方程组：x否=r如4可得：/=_，虫云=_£_咆，将纥=TIo)W-田代入上式可得j<nj绅Q也力=3幽1。3"(*加，将上式展开取实部得：H(zj)=-a-Qysin(t-z)(甲。(甲Q(3) 正弦场中的坡印廷定理其中WTKI=!"2为磁场能量密度的平均值，卬为电场能量密度的平均值。这里场MT月4r”用4三上、片分别为正弦电场和磁场的幅值。正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进(或流出)的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。(4) 亥姆雷兹方程(正弦电磁场波动方程的复数形式)>>v纣£二°,式中/=2称为正弦电磁波的波数。V2H+k2H=O2、理想介质中的均匀平面波(1)均匀平面波的波动方程及其解平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场金和磁场口只沿波的传播方向变化，而在波阵面内云和方的方向、振幅和相位不变的平面波。一般说来，大多数源辐射的电磁波为球面波。-=Vh=-，匕,通常称为波的相速度。dtPkP(2)均匀平面波的传播特性波在一个周期中传播的距离称为波长，用；I表示。波长与频率、相速的关系为)=0，=二=2二=四(其中,k=a)&)，周期是波在时间上的重复量，波长是波在空间上的重复量。电场与磁场的振幅比为：且=但称为媒质的，很根就，在自由空间中，=&=120=377,WE?IfPJ2电场能量密度：We=，磁场能量密度：Wm=-一，且二者满足关系:e2E2Wm=结论：垂直，Q=HJQ=W。222沿Z方向传播的均匀平面波，假设电场在JV方向，那么磁场在y方向，电场与磁场总是相互并垂直于波的传播方向，电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。3、电磁波的极化电磁波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性。当电场的水平分量与垂直分量相位相同或相差异180,时为直线极化；当两分量的振幅相等，但相位差为90'或270。时为圆极化(圆极化波分为左旋极化波和右旋极化波。如果我们面向电磁波传去的方向，电场矢量是顺时针方向旋转的，这样极化的波称右旋极化波。如果电场矢量是逆时针旋转的，这样的极化的波称左旋极化波)：当两分量的振幅和相位均为任意关系时为椭圆极化。4、媒质的损耗及分类工程上通常按£的大小将媒质划分为:当g>>l()2时，媒质被称为良导体；当10"<2<1。2时，媒质被称为半导电介质：当<<102时，媒质被称为低损耗介质。5、波在有耗介质中的传播电磁波在导电媒质中的相速变慢，波长变短，场的振幅随波的传播按指数规律衰减。传播常数a=a+j,其中)2+1)2÷1导电媒质中波的传播速度为,在导电媒质中波的传播速度随频率变化，这种现象称为色散现象。导电媒质中磁场铺量大手电场锦蜃。6、相速是波阵面移动的速度，它不代表电磁波能量的传播速度，也不代表信号的传播速度。而群速度才是电磁波信号和电磁波能量的传播速度。