直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程.docx

直线方程及圆、川圄、双北战、轴物式定义、性质及标军方程归纳受理：杜内1 .斜率公式k=(K(X,必)、£(/,%).2 .直线的五种方程点斜式.v-y=k（-玉）（直线/过点耳（X,y）,且斜率为2）.（2）斜截式）、="+b（b为直线/在y轴上的截距）.（3）两点式>=A'（弘必）（Y（X,弘）、A（X2，必）（xM）为一/一%（4）截距式±+g=l（分别为直线的横、纵截距，。、人0）(5) 一般式Ar+段+C=O(其中A、B不同时为0).3 .两条直线的平行和垂直(1)假设4：y=人冗+4，I1,y=k2x+b24Il4O占=b2；®1±2<=>Zr1Ar2=-1.(2)假设=1x+4y+C=0,4：4工+32丁+。2=0，且Ai、A2、BkB2都不为零,/Jl4OA=空工6；,2A2B2C2412<>A1A2+B1B2=O;4 .夹角公式(Dtana=IfI|1 +k2kl(1'.y=kix+bi,I2y=k2x+b2,kik2-l)(11x+1y+C1=0,22x+B2y+C2=O,1A2+B1B20).直线J、时，直线八与1.的夹角是卫.25/到乙的角公式k2-k.(l)tancr=三l.1+e尢(1'.y=kix+bi,I2:y=k2x-b2,kik2-l)(l：1x+B1y+C1=0,2A2x+B2y-C2=O,1A2+B1B20).直线、时，直线1.到1.的角是工.26.四种常用直线系方程（1）定点直线系方程：经过定点y0）的直线系方程为y-%=A（X-XO）（除直线,t=x0）f其中是待定的系数；经过定点A*。,%）的直线系方程为A（X-用）+例丁-%）=0，其中45是待定的系(2)共点直线系方程：经过两直线4：AX+4)，+C=O,，2：A2+82y+G=O的交点的直线系方程为(AX+男丁+0+4工+员丁+。2)=0(除/2)，其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y="+A中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ar+8)，+C=O平行的直线系方程是Ax+3y+4=0(40),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ar+8y+C=0(A0,B0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+=0t入是参变量.83.点到直线的距离二四兽J(点P(Xoyo)，直线/：Ar+3y+C=0).A2+B27. Ar+旦y+C>()或<0所表示的平面区域设直线/:AX+By+。=。，那么Ar+8y+C>0或<0所表示的平面区域是：假设3声0,当B与Ar+5)，+。同号时，表示直线/的上方的区域；当3与Ar+8)，+C异号时，表示直线/的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.假设8=0,当A与Ar+8)，+。同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ar+8)，+C异号时,表示直线/的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.8 .(4%+4丁+0(4工+为)，+。2)>0或<0所表示的平面区域设曲线C:(Ax+与y+G)(2x+32y+C2)=O(),那么(AlX+4+。)(4丸+82+。2)>0或<0所表示的平面区域是：(AlX+Bl>÷C1)(2x+B2y÷C2)>0所表示的平面区域上下两局部；(AIX+4y+C1)(A2x÷2y+C2)<O所表示的平面区域上下两局部.9 .圆的四种方程(1)圆的标准方程(x-+(y-32=/.(2)圆的一般方程V+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0).(3)圆的参数方程(X=：+rC0Sf.y=b+rsn(4)圆的直径式方程(X-XI)(X-w)+(y-必)(>一必)=。(圆的直径的端点是A(x,y1)>8(12，%)10 .圆系方程(1)过点A(x,y),8(%2，%)的圆系方程是o(x-xl)(x-x2)+(y-y)(y-y2)+(x+y+c)=,其中0r+by+c=0是直线AB的方程，是待定的系数.过直线/:Ar+By+C=O与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0t是待定的系数.(3)过圆G:/+),2+。俨+4,+耳=o与圆的：42+,2+。/+&，+鸟=0的交点的圆系方程是,V2+/+Dlx+Eiy+Fl+(x2+/+D1x+E2y+F2)=O9是待定的系数.11 .点与圆的位置关系点P(Xo，%)与圆(X-)2+(y-。)2=/的位置关系有三种假设d=J(_Xo)2+S_%)2,那么">0点。在圆外；。=r0点。在圆上；d<ro点尸在圆内.12 .直线与圆的位置关系直线Ax÷3)，+C=0与圆(X-a)?+一加2=/的位置关系有三种:d>r=相离=AvO;J=r<=>相切=A=O;d<rO相交<=>>O.其中d=Aa+Bb-C7a2+B213 .两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0-O2,半径分别为n,n,i2=dd>+r2<>外离O4条公切线;d=q+<=>外切<=>3条公切线；-r<d<r+r2<=>相交<=>2条公切线；d=r-|O内切=1条公切线；0<J<-Wo内含O无公切线.14 .圆的切线方程(1)圆f+y?+6+玲+/=O.假设切点(为,%)在圆上，那么切线只有一条，其方程是D(xq+x)E(y0+y)XOX+%y+3+:+4=。当“0,%)圆外时，/X+为y+史产+"苧，)+F=O表示过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y-%=%*-%),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为)，="+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)圆.Y2+y2=r2.过圆上的E)(Xo,%)点的切线方程为拓工+yQy=r2；.酬率为人的圆的切线方程为y=kx±rl+F.1.椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点耳、鸟的距离之和等于常数(大于旧层I)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点M到定点尸的距离和它到定直线/的距离之比等于常数e(O<e<l),那么动点M的轨迹叫做椭圆。定点厂是椭圆的焦点，定直线/叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。说明：假设常数2。等于2c,那么动点轨迹是线段耳入。假设常数2。小于2c,那么动点轨迹不存在。顶点A(-a,0)4(。,0)B2(O,b)4(0，-办4(0，)用(一儿o)、b2(z>,o)对称轴X轴、y轴：长轴长2。，短轴长2b；焦点在长轴上X轴、y轴；长轴长2,短轴长；焦点在长轴上焦点(-c,O)>g(c,O)(O,-c)>6(0,C)焦距闺周=2c(c>0)F1F2=2c(c>0)离心率e=-(O<e<)a=(0<e<1)a准线2x=±-CYC参数方程与普通方程22与+今=1的参数方程为ab仁制。为参数)22二十；=1的参数方程为arb【k：CosM。为参数)x=bsn3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时，设£、鸟分别是椭圆的左、右焦点，P(0,NO)是椭圆上任一点，那么IP用=+外,归6|=一。推导过程：由第二定义得凹=e(4为点P到左准线的距离)，4/2那么IPEl=e4=e+=exQ-a=a+exQ同理得IPKl="-用。C)简记为:左“+”右“一”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。£+£=1；假设焦点在y轴上，那么为£+=1。有时为了运算方便，设nvc2+ny2=(m>0,m)。双曲战的定义、方程和性质1.定义(1)第一定义：平面内到两定点B、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于IFF,)的点的轨迹叫双曲线。说明：IIPFlHPF2l=2a(2a<FF2)是双曲线；假设2a=FF2,轨迹是以B、F?为端点的射线；2a>FF2时无轨迹。设M是双曲线上任意一点，假设U点在双曲线右边一支上,设M在双曲线的左支上，那么IMBI<MF2,IMFIHMF2=-2a,那么IMFII>MF2,MF-MF2=2a;假故IMBHMFd=±2a,这是与椭圆不同的地方。(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线1.的距离之比是常数e(Ol)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线1.叫相应的准线。2.双曲线的方程及几何性质标准方程±-%=l(a>O,b>O)V2X2、一r=l(a>0,b>0)a2b2图形/Z/A/Z焦点F(-c,O),F2(c,0)Fi(O,-c),F2(O,c)顶点A(a,O),A2(-a,0)A(O,a),A2(O,-a)对称轴实轴2a,虚轴2b,实轴在X±,c2=a2+b2实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上，c2=a?+b2离心率cIMF2IaMDcIMF,Ie=-=-aIMDI准线方程准线间距离为不I1xy三,l2xy三-准线间距离为苓渐近线方程+Z=0,-Z=0abab+Z=o,-2=obaba3.几个概念(1) 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x,离心率为(2) 共轴双曲线：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例:鸟一¥=1的共轴双曲线是马一耳二一1。abab双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线;双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。地物战标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线/为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为-定点尸(即焦点)；一定直线/(即准线)；一定值1(即动点M到定点尸的距离与它到定直线/的距离之比1)定义中的隐含条件：焦点尸不在准线/上。假设户在/上，抛物线退化为过F且垂直于/的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点尸和定直线/的距离之比为常数e的点的轨迹，当0<e<l时，表示椭圆；当e>l时，表示双曲线：当e=l时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1 .抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2 .四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：=±2pp>0),=±2p(p>0),其中：参数P的几何意义：焦参数P是焦点到准线的距离，所以P恒为正值；P值越大，张口越大；与等于焦点到抛物线顶点的距离。2标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为X轴时，方程中的一次项变量就是X,假设X的一次项前符号为正，那么开口向右，假设X的一次项前符号为负，那么开口向左；假设对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y,当y的一次项前符号为正，那么开口向上，假设y的一次项前符号为负，那么开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，假设能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p,因此要做到“先定位，再定值”。注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，假设不知开口方向，可设为V="或/=纺,，这样可防止讨论。抛物线轨迹法：假设由得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；假设不确定是否是标准式，由条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。四、抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2=2px(p>0)性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径Fx0关于大轴对称原点e=1X=-B22p注：焦点的非零坐标是一次项系数的上；4对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合,掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1.直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去X或y化得形如ax1+Z?x+c=O(*)的式子：当。=0时，(*)式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重合；当。WO时，假设4>()o(*)式方程有两组不同的实数解O直线与抛物线相交；假设A=Oo(*)式方程有两组相同的实数解o直线与抛物线相切；假设VOO(*)式方程无实数解O直线与抛物线相离.2.直线与抛物线相交的弦长问题弦长公式：设直线交抛物线于A(X,y)MX2,为)，那么IABl=J1+砥/Wa-或河=假设直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：抛物线=±2px(p>0)上一点M(x0,y0)的焦半径长是MF=±x+,抛物线X2=±2py(p>0)上一点M(%,光)的焦半径长是IMFI=±yQ+&六、抛物线焦点弦的几个常用结论设AB为过抛物线尸=±2p(p>0)焦点的弦，设4(项，必),5(，为)，直线AB的倾斜角为巴那么XlX2=J，凹为=p2；=-2/=X1÷X2+P；4sin2以AB为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形的面积S°s=上；2sinO112l+1T=;焦点尸对A、8在准线上射影的张角为90°；倒附p七、抛物线有关考前须知1 .凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能防止求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能无视A>0这个条件。2 .解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.