直线与方程-知识点总结-例题习题精讲-详细答案-提高训练.docx

锦程星彳仅:知能梳理【知识点一：倾斜角与斜率】(1)直线的倾斜角关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与X轴相交；2、X轴正向；3、直线向上方向。直线与X轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°倾斜角a的范围0°V180°直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90°的直线斜率不存在.记作k=tana(a90°)当直线/与X轴平行或重合时，cr=0°=tan0o=0当直线/与X轴垂直时，=900,%不存在.经过两点6(%,乂),(电，必)(玉工工2)的直线的斜率公式是A=X2X每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.(3)求斜率的一般方法：直线上两点，根据斜率公式Z=三二2l(x,%)求斜率；Xj-X1直线的倾斜角或的某种三角函数根据k=tana来求斜率；(4)利用斜率证明三点共线的方法：A(x1,y),B(x2,y2),C(x3,y3),假设斗=/=£或%的=，那么有A、B、C三点共线。【知识点二：直线平行与垂直】(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线4,小其斜率分别为配我2,那么有J4o%=B特别地，当直线4的斜率都不存在时，4与，的关系为平行(2)两条直线垂直:如果两条直线4,4斜率存在，设为心网，那么有4,/2=.2=-1注：两条直线4,4垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确;由两直线的斜率之积为可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果04中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为O时，4与4互相垂直.【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲（详细解答）或者搜.店.铺龙奇迹【学习资料网】名称方程的形式条件局限性点斜式y-y=k(x-xl)（,y）为直线上一定点，攵为斜率不包括垂直于X轴的直线斜截式y=kx+b%为斜率，是宜线在y轴上的截距不包括垂直于X轴的直线两点式y-yx=x-x1经过两点（西,乂）,（再,当）且（x1x2,Ky2）不包括垂直于X轴和），轴的直线截距式Wab。是直线在X轴上的非零截距，人是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于X轴和），轴或过原点的直线一般式Ax+By+C=O(A2+B20)A,8,C为系数无限制，可表示任何位置的直线问题：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】（1）假设玉=工2且MW%，直线垂直于X轴,方程为X=Xl；（2）假设x1/且,二%，直线垂直于y轴,方程为yi=y2'（3）假设内工工2且y内，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式;利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为。工0港工0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。截距式方程的应用与坐标轴围成的三角形的周长为:|a|+g|+，？+F;直线与坐标轴围成的三角形面积为:S=-abi2直线在两坐标轴上的截距相等，那么Z=T或直线过原点，常设此方程为x+y=或y=h(2)线段的中点坐标公式【知识点四直线的交点坐标与距离】(1)两条直线的交点设两条直线的方程是:AX+4)，+£=O,l2.A2x+B2y+C2=OAx+B1y+C1=O两条直线的交点坐标就是方程组V：'''C的解。42尤+B2y+G=0假设方程组有睡解，那么这两条直线型交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条直线无公共点,此时两条直线平行.(2)几种距离两点间的距离：平面上的两点6(,y),£(%，必)间的距离公式特别地，原点0(0,0)与任一点P*,y)的距离IOPl=x2+y2点到直线的距离：点区,为)到直线Ar+By+C=0的距离两条平行线间的距离：两条平行线AX+By+G=O与AX+8)，+G=O间的距离注：1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相回的一般形式后，才能套用公式计算。需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺：龙奇迹【学习资料网】精讲精练【例】A(1,3),B(4,23),直线/过原点O且与线段AB有公共点，那么直线/的斜率的取值范围是()A哼iB喙收C(喙收D哼,冬答案：B分析：由于直线/与线段AB有公共点，故直线/的斜率应介于OA,OB斜率之间.解：由题意，k°A二6，k0=2y由于直线/与线段AB有公共点，所以直线/的斜率的取值范围是零，考点：此题主要考查直线的斜率公式，考查直线/与线段AB有公共点，应注意结合图象理解.【例】在坐标平面内，与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共有（AI条B2条C3条D4条答案：B分析：由题意，A、B到直线距离是1和2,那么以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可.解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.考点：此题考查点到直线的距离公式，考查转化思想【例】将直线11：y=2x绕原点逆时针旋转60。得直线12,那么直线I2到直线h：x+2y-3=0的角为（A30oB60oC120oD150°答案：A分析：结合图象，由题意知直线W3互相垂直，不难推出】2到直线13：x+2y-3=0的角.解：记直线h的斜率为k,直线13的斜率为k3,注意到kk3=1,h_1.13,依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线12到直线13的角是30。需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲（详细解答）或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】考点：此题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式【例】方程w+H=I所表示的图形的面积为o答案：2解：方程N+H=所表示的图形是一个正方形，其边长为【例】设+/?=%（/0次为常数），那么直线Ox+勿=1恒过定点.答案:（辅解：ax+by=变化为Or+（一）y=l,（x-y）+仙一1=0,Xy=0对于任何R都成立，那么4Jky-=O【例】一直线过点加（-3,4）,并且在两坐标轴上截距之和为12,这条直线方程是答案：4x-y+16=0,或x+3y-9=0解：设y-4=k(x+3),y=0,x='-3;X=O,y=3k+4;-3+3k+4=12kk【例】A(1,2),B(3,4),直线h：X=O,12：y=0和13：x+3y-1=0、设Pi是Ii(i=l,2,3)上与A、B两点距离平方和最小的点，那么P1P2P3的面积是答案：卫2分析：设出Pi,P2,P3,求出Pl到A,B两点的距离和最小时，Pl坐标，求出P2,P3的坐标，然后再解三角形的面积即可.解：设P(0,b),P2(a,0),P3(xo,yo)由题设点Pl到A,B两点的距离和为显然当b=3即Pl(0,3)时，点Pl到A,B两点的距离和最小，同理P2(2,0),P3(1,0),所以考点：此题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题.【例】直线(a-2)y=(3a-1)X-1,为使这条直线不经过第二象限，那么实数a的范围是答案：2,+)分析：由中直线(a-2)y=(3a-1)x7不经过第二象限，我们分别讨论a-2=0(斜率不存在)，a20(斜率存在)两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案.解：假设a-2=0,即a=2时，直线方程可化为X，此时直线不经过第二象限，满足条件；5假设a-20,直线方程可化为y二包二此时假设直线不经过第二象限，那么包二0,a-2a-2a-210,解得a>0a-2综上满足条件的实数a的范围是2,+oo)考点：此题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当kK)且bWO时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答此题的关键，但解答时，易忽略对a-2=0(斜率不存在)时的讨论，而错解为(2,+oo)o【例】过点A(-5,-4)作一直线/,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5。4解：设直线为y+4=川x+5),交X轴于点(一一5,0),交y轴于点(0,5攵一4),k得25/一300+16=0,或25/-500+16=02Q解得女=,或女=.2x-5y-10=0,或8x-5y+20=0为所求。【例】直线y=-冬+1和X轴，y轴分别交于点AB,在线段AB为边在第一象限内作等边ABC,如果在第象限内有一点尸(八)使得ABP和ABC的面积相等，求m的值。2解：由可得直线C尸AB,设CP的方程为y=-x+c,(c>l)那么Cr_1.=AB×-=3,c=3,y=-x+3ilP(11,-)H23徂1币“53得一=W+3,7W=232【例】点A(l,1),8(2,2),点P在直线y=gx上，求归1十户叶取得最小值时P点的坐标。解：设P(2t,t),那么IPAI2+1PBI2=-1)2+(f一)2+_2>+(f-2)2=10*-14力+10当/=4时，|尸甲+忸耳2取得最小值，即P(Z,1)10IIII'510【例】求函数/(x)=Jf-2x+2+Jx2-4x+8的最小值。解：/(x)=(x-1)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-2)2可看作点(xi0)到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(U)关于X轴对称的点(1,一1)/./(x)l11in=l2+32=10【例】在AABC中，BC边上的高所在直线的方程为-2y+l=0,ZA的平分线所在直线的方程为y=0.假设点B的坐标为(1,2),求点C的坐标.分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标.逐步解答.解：点A为y=0与-2y+l=0两直线的交点，点A的坐标为(-1,0).JkAB=_(_：)=1.又NA的平分线所在直线的方程是y=0,kAC=-1.直线AC的方程是y=-I.而BC与-2y+l=0垂直，.kBC=-2.，直线BC的方程是y-2=-2Cx-1).由y=xl,y=-2x+4,解得C(5,-6)考点：直线的点斜式方程。此题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解【例】直线1过点P(2,1),且分别与X,y轴的正半轴于A,B两点，。为原点.(1)求AAOB面积最小值时1的方程；IPAMPBl取最小值时1的方程.分析：(1)设AB方程为2+=l,点P(2,1)代入后应用根本不等式求出ab的最小值，即得三角形abOAB面积面积的最小值.(2)设直线1的点斜式方程，求出A,B两点的坐标，代入IPA卜IPBl的解析式,使用根本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件.解：(1)设A(a,0)、B(0,b),a>0,b>0,AB方程为工十，点P(2,1)代入得ab-？+=l2f,ab>8(当且仅当a=4,b=2时，等号成立)，故三角形OAB面积S=bM此时直线方程为：即x+2y-4=0.(2)设直线1：y-l=k(-2),分别令y=0,x=0,得A(2-1,0),B(0,1-2k).那么PAPB=J(4+4k2J(l+=业J(k*4,当且仅当1?=1,即k=±l时，IPAWPBI取最小值，又Yk<0,k=-1,这时1的方程为x+y-3=0.考点：此题考查直线在坐标轴上的截距的定义，直线的截距式方程，以及根本不等式的应用.【例】求倾斜角是直线y=5x+l的倾斜角的/且分别满足以下条件的直线方程：(1)经过点(1.1)；(2)在y轴上的截距是一5.解：,直线的方程为y=-5x+l,/=一巾,倾斜角q=120。，由题知所求直线的倾斜角为30。，即斜率为由.(1)：直线经过点(小，-1),所求直线方程为y+l=孝(工一小)，即小X3厂6=0.：直线在y轴上的截距为-5,由斜截式知所求直线方程为y=坐1.5,即小工一3厂15=0.需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.：龙奇迹【学习资料网】【例】直线/：自-y+l+2k=0(1)证明：直线/过定点；(2)假设直线/交X负半轴于A,交y正半轴于8,的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线/的方程。解：(1)证明：由得的+2)+(1y)=0,无论&取何值,直线过定点(-2,1)。(2)令y=0得A点坐标为(一2£0),令X=O得B点坐标为(0,2Z+l)(A>0),.*.Saob=22+11=(2+)(2+1)=(4+÷4)>(4+4)=4当且仅当以=S即仁刎取等号。即aAOB的面积的最小值为4,此时直线/的方程为%一丁+1+1=0,即1.2y+4=0【例】函数f(X)=Vx>g(x)=x÷a(a>0)(1)求a的值，使点M(f(x),g(x)到直线x+y-1=0的最短距离为«；(2)假设不等式If(X):以(X)<在X£1,4恒成立，求a的取值范围。1f(x)Z分析：(1)先用点到直线的距离公式表示距离，利用换元法，进而利用二次函数的配方法即可求解;(2)将绝对值符号化去，从而转化为ax兽2在1,4上恒成立，进而利用换元法转化为炉x2t+a20在t£1,2上恒成立，从而得解.解：(1)由题意得M到直线的距离，2125令t7>o三J?1.n)22I(t÷i)÷aI_1_1t>0al时，J即I=O时，d,二三二后22mn2/z/.a=30<a<lf,dmi11=0,不合题意综上a=3由f();Mg(X)QOr<f(X)；1(x)<oo<-<2f()f()f(X)即噌2<2在1,4上恒成立，也就是ax+a242«在1，4上恒成立令丑=t>0,且x二t2,tl,2,由题意at22t+a20在tl,2上恒成立设巾=at22t+a2,那么要使上述条件成立，只需=a-2+a2o=0<哀2(&-1)(2)=a2+4a-40即满足条件的a的取值范围是(O，22-2考点：此题以函数为载体，考查点线距离，考查恒成立问题，关键是掌握距离公式，熟练恒成立问题的处理策略.需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.：高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜店.铺：龙奇迹【学习资料网】0我想想学习感悟通过本课程的学习：一、“知能梳理”模块里的知识点你都掌握了吗？1、需要稳固的知识点：2、尚未掌握的知识点:二、“精讲精练”模块里的例题你都掌握了吗？1、完全掌握的例题：2、需要再次复习得例题:3、尚未掌握的例题：三、其他备注