相似图形讲义.docx

相似图形（一）知识点一比例线段1.把的值叫做线段。力的比，假设q=£,那么称线段,b,c成比例线段。bbd2. =<a:b=c:d<>ad=bef其中,）,c,d分别叫第一、第二、第三、第四比bd例项，,d称为外项，b,c称为内项；外项的积等于内项的积。3. S=-,我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位实际距离n注意：比例尺的关键点分子为1;单位统一例题1以下各组中的四条线段成比例的是（）A.sf6,b=3,c=2fcf=y3B.3=4,Zf6,c=5,10C.a=2,Zf5,c=2,d=屈D.a=2,f3,c=4ftl例题2在比例尺为1:500000的地图上，A.两地的距离是64cm,那么这两地间的实际距离是Km例题3在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为150Onb那么这张地图的比例尺为.知识点二比例的性质1、根本性质：£=三Oad=be、bd反比性质：y=4«-=-5bdac更比性质：=£0q=2；bdcaGAuZMWac。±人c±b合比性质：-=<>-=:baba等比性质：3="=".=%,那么4+%+,4“二幺bb2b3bn仇+与+"仇比例中项：假设2=砒，那么称是c的比例中项2、比值K：假设=£,可令q=£=K,那么有：a=kb,c=kdbdbd注意：解题时扣紧分式的恒等变形，如约分；并灵活应用比值K。（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比例：（1）线段a的长度为3厘米，线段力的长度为6米，所以两线段a,8的比为3：6=1：2,对吗？不对，因为a、6的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位.令'=k,贝Ja=5k,b=3k,c=2k解：532解：设x=2k,y=3k,z=4k（二）比例尺=图上距离/实际距离.例I.：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm,那么该地图的比例尺为o现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm,那么两地的实际距离为.（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为.比例尺=解：Icm80千米8000000答案：1：8000000；5.l2×10m;0.625cma（三）比例的根本性质：如果力d,那么ad=bcA.a:b=m:nB.a:m=b:nC.a:m=n:bD.a:n=b:m（四）合比性质、等比性质:廿ace5171la+2c-3e（1）若一=一=一=一，则bdf7b÷2d-3f（1）3=£=解.bdf70+2C+5b例：364,且2a+b+3c=21,求a,b,c的值（五）相似多边形1 .对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。2 .相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。（1）如图，两个矩形是否相似?解:402440-2×624-2x6以下判断正确的选项是（D）A.两个平行四边形一定相似B.两个矩形一定相似C.两个菱形一定相似D.两个正方形一定相似（3）以下各图形中，一定相似的是（D）A.两个平行四边形B.两个直角三角形C.底角相等的两个等腰梯形D.有一个角为60。的两个菱形(5)四边形ABCD四边形A，BO,且AB：BC：CD：DA=7:6：5：4,假设四边形A，BCD，周长为44,那么A'B'=,B,C,=,C'D'=,D'A'=。解：四边形CTr的四边长的比也为7：6：5：4,分别设为7x,6x,5x,4x例10.若四边形AIBCDr四边形A2B2C2D2且S四切为S四边形人力£2口2(2)两个相似三角形对应边上的窗的比为4：9,它们的周长比为,面积比为o(3)两个相似多边形地块的相似比为3：4,面积差为28m2,那么它们的面积分别为。解：(1)面积比等于相似比的平方，相似比二1：3(2)4：9；16：81面积比为9：16,设两个相似地块分别为9x,16x(六)相似三角形1、相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。所有的边数相同的正多边形都相似(正三角形，正方形，正五边形等等)2、相似三角形的判定方法有(1)两角对应相等，两三角形相似。(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。(3)三边对应成比例，两三角形相似。3、相似三角形的性质：1 .相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比(相似三角形的对应边的比，叫做相似比)。2 .相似三角形周长的比等于相似比。3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方。可U(1)如图，在AABC中，DEBC,AD=3BD,Sabc=48,求SAADe。旱.(1)VDE/BCAZl=ZB(2)如图，在AABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点g、H分别在AC、AB±,BC=15cm,BC边上的面AD=IoCm,求正方形的面积。(2)设正方形边长为X例题4假设4片。&那么以下各式一定成立的是()Da+db+cd.=CdnabaC.-r=D.=b2ccdd例题5g=£,那么以下式子中正确的选项是()bd.a:kC1d2B.ad=cbC.aIb=(KC):(ZH-)D.ab=a-d:(6加例题6b,.c=2:4:5f且2。一方+3=6,求3+h-2c的值。例题7生二2=马二=生三，求二+y+z的值3452x-y知识点三黄金分割1、黄金分割点：假设点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,那么称点P是线段AB的黄金分割点；2、黄金比值:£口叫做黄金比值。较长线段较短线段二百-1整条线段一较长线段一二"'51注意：记住黄金比值亍，及其近似值0.618例题8点M将线段AB黄金分割(4M>3M),那么以下各式中不正确的选项是()A.AMBABAMB.A沪史ABC.B的星ABD.4%0.6184622例题9P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=IOCm,那么PQ长为OA、5(5-l)B5(5+l)C>Io(J5-2)D、5(3-5)课堂练习1 .-=-,设A=,8=,C=A二，那么A、B、C的大小顺序为275x+y+zyxOA、A>B>CB、A<B<CC、C>A>BD、A<C<B2 .假设x:y=6:5,那么以下等式中，不正确的选项是()A、小2=1B、0C、3=6D、上=5y5y5x-yy-x3,假设：/?=/?:C=C，：d=l:2,那么a:d=()A、1:2B、1:4C、1:6D、1:84.假设：0:c=l:2:3,那么c的值为()a-b+c5.6.7.A、-2B、2C>3D、-3-=-=-f且q+b+c=20,那么20+b-c=()57814A、11B、12CD、93假设a:Z?:c=2:3:4,且a+Z?-c=5,那么一人的值是()A、5B、-5C、20D、-20A、12B、23C、-23D、±238. AB=I,AC=-(5-l),RAC2=AB-BCt那么BC的长为O2A、B>C>-(3-5)222D、-(3+5)29. P是线段AB的黄金分割点，且AP=6-1,那么AB的长为（）A、2B、5+1C、2或石+1D、以上都不对10 .假设=3,4=3,£=3,那么/等于h4C2d5b2+d211 .=7»那么(+y)"-y)=y312 .如果4=2,且。工2少工3,那么48+1=b3a+b-513 .7(a-b)=3a»那么q=b14,把长为5的线段进行黄金分割，那么较短的线段长是15 .假设华=J=小，且2a-÷3c=21.那么a：6：C=34O课后作业1 .假设4x=5y,那么X:y=.2 .假设±='=三，那么Ay+z:,+z=.3 45yX3.号哼那么早的值为.a4.b那么假设3=土，那么X等于Ox45 .假设3=£=上=3,且b+d+f=4,那么a+c+e=.bdf6 .假设（x+y）：y=8:3,那么X:y=.7 .假设=3,那么£=.a+b5b8 .等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是.9 .如果X：y：z=l：3：5,那么'S二=x-3y+z10 .点C是线段AB的黄金分割点,AC=5石-5,>AOBC,求线段AB与BC的长。比例性质及比例线段一、知识点与方法概述：1、比例的性质：根本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d.bc÷d一=子（合比性质）合比性质:若厂片ba口一bc-d=J（分比性质）.baacmz,c÷c+a一一-.三4+->+/9U）«一等比性质：如果bdn,那么b+d+为b2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比.那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d,b、C叫比例内项，a>d叫比例外项，d叫做a、b、C的第四比例项；如果a:b=b:c,或b2=ac,那么b叫a、C的比例中项.3、黄金分割：II1ACB如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AeM）.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论的扩展：平行于三角形边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1图5）:图1图2图3图4图5?>,推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.b/1%：在梯形ACFD中，ADCF,AB=BC/>求证：DE=EFg，-A推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.：在aACF中，BEHCF,AB=BC求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。A：如图，D、E分别为AB、AC的中点dze求证：DEHBC,DE=；BCZ_7、梯形的中位线定理BC梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。：梯形ABCD中，AD/BC,E、F分别是AB、CD的中点求证：EF/AD/BCtEF=-(AD+BC).28 .角平分线定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。9 .线段垂直平分线定理,线段的垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。逆定理：到线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。二、典型例题：C1 .如图，CE是AABC的中线，CD=1.AD、EFBD,EGAC.假设2EF=18cm,那么BG=Cm；假设CD=9cm,那么AF=Cm.2 .如图，AABC中，E为BC上一点，CD平分NACB交AE于点D,KCDlAE,Of78C交AB于F。假设AF=2cm,那么AB=Cm.3 .：如图，AABC中,AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D.E、F分别是ABsBC、AC的中点，求ADEF的周长.4 .：如图，ABC中，BD、CE分别是H,%厘米，中位线长ZABC.NACB的平分线，A/J.8。于AFJ_CE于F,假设AB=14厘米，AC=9BC=I8厘米，求FH的长.&：f=i，设Ax+y+z5 .：如图，梯形ABCD中，ZABC=ZDCB=4',AD8C,高是h,m,求两底的长.C=x+yz,那么A、B、C的大小顺序是.X7 .：4x+1Iy=5z,2x+y=z>那么x:y:z=.8 .(2002天津)：,"c是正数，K=,以下四个点中，在正比例函数y=履的图b+ca+ca+b像上的点的坐标是0A.(1,-)B.(l,2)2C.1,-；)D.(lrl)9：M是线段AB的黄金分割点，AM>BM,求证：必浮=喘10 .如图，123,分别交直线m于点A、B、C,交直线n于点假设AB:AC=I:2,那么DEEF=.11 .：如图，DFHEHHBC,假设AF:硝：HC=1:1.5:1,那么（1）DE12 .：如图，在AABC中，EFlICD,DEHBC.求证：AF：FD=ADiDB.13 .：如图，在AABC中，AD平分NEAe交BC于D,DE平分S4OC交AC于E,假设N4C=2NB,AE=4,CE=3.求AB的长.