知识点218--根据实际问题列二次函数关系式解答题.docx

一、解答题4、（2010哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如下图的矩形ABCD.设边AB的长为X1单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米（1）求S与X之间的函数关系式（不要求写出自变量X的取值范围）；（2）假设矩形ABCD的面积为50平方米，且ABVAD,请求出此时AB的长.考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程因式分解法；二次函数的应用。专题：几何图形问题。分析：11）根据长方形的面积公式求出S与X之间的函数关系式.（2）根据矩形ABCD的面积为50平方米，即S=50,即可列出一元二次方程求解.解答：解：（1）根据题意ad=30-2x=5-,2S=X（15-x）=-×2+15x2）当S=50时，2+i5=50,整理得X2-15×+50=0解得×=5>×2=10当AB=5时,AD=IO;当AB=IO时，AD=S.AB<AD/.AB=S答：当矩形ABCD的面积为50平方米且ABVAD时，AB的长为5米.点评：对于长方形的面积公式要熟记.注意此题ABVAD,因此可根据这个条件舍去不合题意的解.5、2005南京）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2：1.镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是X米.（1）求y与X之间的关系式.（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程因式分解法。专题：几何图形问题。分析：（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=620+45+22l20化简即可.（2）设镜宽为xm,根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用=195元，即可列出方程求解.解答：解：（1）y=240×2+120x+45（2）设镜宽为xm,那么可列方程为2×2×120+6××20+45=1953分整理得8×2+4x-5=0解得Xl-"J五，×2=-一1一后舍去）5分44-l+11A4.2J1十几2答：镜子的长和宽分别是-1+J五m和-1+历m.24点评：此题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解.6、如图，ABC,AB=AC,点D在BC上，DEIIAC,交AB与点E,点F在AC上，DC=DF,假设BC=3,EB=4,CD=x,CF=y,求y与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：CD和CF在ACDF中，EB在ABDE中,可判断应证明BDE-FCD,根据题中所给条件利用等边对等角，以及平行线的性质也能证得BDEsFCD.然后得到相应各边的比例关系即可.X在BC上，应大于0,小于BC长.解答：解：AB=AC,DC=DF/.ZB=ZC=ZDFC又DEIIAC/.ZBDE=ZCBDESFCD.DBJE3-y-X,y=-jx（3-x）=-x2+-x自变量X的取值范围0VV3.点评：解决此题的关键是利用相似得到相应的线段的比例关系.7、圆的半径为3,假设半径增加X,那么面积增加y.求y与X的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：圆的面积公式为S=TIR2,可根据增加的面积=半径增加后圆的面积-原来的圆的面积来列函数式.解答：解：由题意得：y=11（x+3）2-n×9即：y=×2+611×（x>0）.点评：掌握好圆的面积计算公式是解题的关键，切不可直接用半径增加局部的平方乘以TT来表示增加的面积，这是很容易出错的地方.8、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价X（元）满足一次函数关系m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元与每件销售价X（元）之间的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价-进价）X每天的销售量列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围.解答：解：由题意，得每件商品的销售利润为（x-30）元，那么m件的销售利润为y=m（-30）.又m=162-3x,/.y=（-30（162-3x）,即y=-3×2+252×-4860.X-300,x30.又.m0,162-3x>0,即x54.,.30x54.所求关系式为y=-3×2+252x-4860（30×54）.点评：此题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是二次函数解析式的求法.9、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加X元.求：（1）房间每天的入住量y（间）关于X（元）的函数关系式.（2）该宾馆每天的房间收费Z（元）关于X（元）的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式；根据实际问题列一次函数关系式。分析：11）住满为60间，X表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为工，用：入住量=60-房间空闲个数，列出函数式；10（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价X入住量y,每间房实际定价=200+x,建立函数关系式.解答：解：（1）由题意得：（2）由题意得:Z=（200+x）（-60），2即：Z二一金40x+12000点评：此题考查了影响每天的房间收费的两个因素：每间房实际定价、入住量y,与定价增加X的关系.10、某批发市场批发甲种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y（万元）与进货量X（吨）近似满足函数关系y=a2+bx（其中ax,a,b为常数，x0）,且进货量X为1吨时，销售利润y为1.4万元；进货量X为2吨时，销售利润y为2.6万元.求y（万元）与X（吨）之间的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：根据题目中“进货量X为1吨时，销售利润y为1.4万元；进货量X为2吨时，销售利润y为2.6万元.可知当X=I时，y=1.4,x=2时y=2.6,直接代入解析式利用待定系数法求出a,b的值即可.解答：解：由题意得：1a+b=1.414a+2b=2.6解得产01.Ib=I.5.y（万元）与X（吨）之间的函数关系式为：y=-0.1x2+1.5×.点评：主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式的方法.理解题意准确的找到对应的X,y的值是解题的关键.11、抛物线形桥拱的跨度AB为6米，拱高为4米，求桥拱的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：此题的难点是没有具体直角的坐标系，所以建立适宜的直角坐标系是解题的关键.利用条件，可以得到点的坐标，采用待定系数法即可求得.解答：解：方法一：以拱桥顶点为坐标原点，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，可设所求解析式为y=a2,由抛物线过A（-3,-4）,代入得a=-9/.y=-<2.9方法二：以AB所在直线为X轴，AB中点为原点建立直角坐标系，可设所求解析式为y=ax2+c,由抛物线过（-3,0）和（0,4）得：y=-2+4.9方法三：以AB所在直线为X轴，A为原点建立直角坐标系，可设所求解析式为y=a2+bx,由抛物线过（6,0）,（3,4）两点得：y=-<2+-.93点评：同一条抛物线，由于直角坐标系建立的情况不同，得出的解析式不同，因此做题时要认真思考，尽量得出简单的解析式.12、如下图，在边长为4的正方形EFCD上截去一角，成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=I,在AB上取一点P,设P到DE的距离PM=X,P到CD的距离PN=y,试写出矩形PMDN的面积S与X之间的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。分析：矩形PMDN的面积=PMXPN,可构造相似三角形，利用相似三角形的性质得到y用X表示的关系式，代入前面所列式子即可.解答：如图，S矩形PNDM=Xy，且2SxS4,延长NP交EF于G,显然PGIlBF,，AGPSAFB,.PGAG而下即一2,12.*.y=-x+5,2/.S=xy=-i(2+5x,2gpS=-1x2+5x(2x4).2点评：解决此题的关键是得到所求矩形的等量关系，难点是利用相似三角形的判定与性质得到y用X表示的关系式.13、如下图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围.考点:分析:解答:根据实际问题列二次函数关系式。BPQ的面积JbpxBQ,把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可.2解：.PB=6-t,BE+EQ=6+t,.S=1pBBQ=1pB(BE+EQ)J(6-t)(6+t)2：-+18,2.S=-lt2+18(0t<6).2点评：解决此题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑.14、把8米长的钢筋，焊成一个如下图的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(平方米)与半圆的半径X(米)之间的函数关系式.考点：根据实际问题列二次函数关系式。专题：应用题。分析：如图可求出半圆的面积以及一个长方形面积，然后可求出y与X之间的函数关系式.解答：解：半圆面积：l11x2.2长方形面积：A×2x(8-2x-nx)=8x-(2+)X2.2.y=-1hx2+8x-(2+n)X2,2即y=-(-l11+2)x2+8x.2点评：此题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题.15、如下图，在直角梯形ABCD中，NA=ND=90°,截取AE=BF=DG=x.AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF的面积S关于X的函数表达式和X的取值范围.考点：根据实际问题列二次函数关系式；直角梯形。分析：所求四边形的面积=大直角梯形的面积-EGD的面积-EFA的面积-BCF的面积，把相关数值代入即可求得所求的函数解析式，自变量的取值应保证线段的长度为正数即可.解答：解：S=S用形ABCD-SEGD-$EFA-SaBCF=Ax(3+6)×4-Ax(4-x)-l(6-x)-l×4x2222=×2-7×+18,>03->0'4-x>06->0/.0<x<3,故S=2-7x+18(0<×<3).点评：解决此题的关键是找到所求四边形的面积的等量关系，注意线段的长度应为正数.16、如图，在RtAABC中，ZC=90o,AC=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AC向C以2mms的速度移动,动点Q从点C开始沿边CB向B以4mms的速度移动.如果P、Q两点同时出发,那么PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.C考点：根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积。专题：动点型。分析：APCQ的面积S=1.CPXCQ,把相关数值代入即可求得相应的函数关系式，根据相应的路程和速度2可得到时间的等量关系.解答：解：出发时间为t,点P的速度为2mms,点Q的速度为4mms,.PC=12-2t,CQ=4t,/.S=Ix（12-2t）×4t2=-4t2+24t./t0,12-2t0,0t6.点评：解决此题的关键是得到所求的三角形的面积的等量关系，注意准确找到所求三角形的边长.”、为了美化校园，学校准备利用一面墙（墙足够长）和20米的篱笆围成一个如下图的等腰梯形的花圃，设腰长AB=CD=X米，ZB=120o,花圃的面积为S平方米.（1）求S与X的函数关系式.（2）假设梯形ABCD的面积为将«平方米，且ABVBC,求此时AB的长.4考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用。分析：1）由题意得等腰梯形的高为Sin60、，而求得关系式；（2）代入关系式内面积值，ABVBC而解得X=5.解答：解：（1）由题意解得等腰梯形的高为sin60x.S=J（2+103×4（2）代入面积值解：-2+io3<=A25344解得xi=5,×2=-3BC=20-药2=1VAB33.x=5,即AB的长为”.3点评：此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，此题先求得等腰梯形的高，求得关系式从而很容易解.18、如图，在RtZiABC中，ZACB=90o,AC、BC的长为方程2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2,D为AB的中点.（1）求a的值.（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A3D9C的路线向点C运动；动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度，沿B玲C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒假设点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.在整个运动过程中，设APCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；是否存在这样的匕使得APCQ为直角三角形？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由.考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。专题：计算题；动点型。分析：1)根据根与系数的关系求出AC+BC=14,求出AC和BC,即可求出答案；(2)根据勾股定理求出AB,SinB,过C作CE_1.AB于E,关键三角形的面积公式求出CE,I当OVt:!时，S=SABC-SACP-Spbq=-1aCBC-1aPCE-lBQBPsinB,求出即可；Il同理可求：当l<t2时，S=SAABC222-SACP-SPBQ=I8x6-l×2t×-1×3×(10-2t)×J,求出即可；IH当2Vt3时,S=-1+12;Illl225255当3<t<4时，S=-×8×6-l×2t×-A3+3(t-3)×(10-2t)×-；在整个运动过程中，只可能22525NPQC=90。，当P在AD上时，假设NPQC=90。，CoSB=更=些，代入即可求出t；当P在DC上时，假设ABBPNPQC=90。，SinB=SinZCPQ,鱼包，得到鱼一依(t-3)I或J='-，求出3根据t的范围15CP515-2t515-2t<t<4,判断即可.解答：解：(1);AC、BC的长为方程2i4+a=0的两根，.AC+BC=14,又AC-BC=2,/.AC=8,BC=6,a=8×6=48j答：a的值是48.(2)解：,/ZACB=90o,ABFAC2+BC2=10.又.D为AB的中点，.cd=2ab=5,2sinB=,AB5过C作CEJ_AB于E,根据三角形的面积公式得：1acbc=1abce,226×8=10CE,解得：CE=Zl5I当0<tl时，S=SABC-SACP-Spbq=1aCBC-1aPCE-QBPsinB,222=-l×8×6-Ix2t×-l×3t×(10-2t)xW,22525=12-骂+24,55Il同理可求：当lVt2时，S=Sabc-Sacp-Spbq=1aCBC-1aPCE-lQBPsinB,222=A×8×6-l×2t×.-1×3×(10-2t)X,22525川当2Vt3时，S=-1+12;5Illl当3<t<4时，S=SABC-SACP-Spbq=-1aCBC-APCE-QBPsinB,222=A×8×6-l×2t×-l3+3(t-3)×(10-2t)×-,22525=12-l+48;55答：S与t之间的函数关系式是S=鸟2_骂+24(0<tl)或s=-乌+12(l<t3)»£S=l2-l+4855555(3<t<4).解：在整个运动过程中，只可能NPQC=90。，当P在AD上时，假设NPQC=90。，CoSB=区=区，ABBP.3一3"10-2t石.t=2.5,当P在DC上时，假设NPQC=90。，SinB=SinZCPebCQ,s-cp,6-3+(t-3)或4=6-3,515-2t515-2tt=10,t=5.625,.l<t<4,.t=10,t=5.625,不符合题意舍去，.当t=2.5秒时，PCQ为直角三角形.答：存在这样的3使得APCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒.点评：此题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度.