矩形经典例题.docx
一计算1.矩形的对角线长为1,两条相邻边之和为m,求矩形的面积.解析：依题设画出示意图，由矩形性质：又AB+BC=巾由2488C=-1'勇=；'1)矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°,稍加连结，那么会出现Rt,借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算.评述2此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算3C,而去解方程组.2.在矩形ABCD中，AElBD于E,CFlBD于F,BE=I,EF=2,求矩形面积.7i怎么办？深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=I,BD=4一连结AC交BD于O,那么易知：OA=OB=2,又有BE=OE=I,又:AEJ_B0,可知aABO为正三角形，AB=OB=2,6C=2出,3.在矩形ABCD中，两条对角线小于0,DE平分NADC,E点在BC上，ZEDO=150.1.*1ZCOB,NAOE的度数.设，画出示意图DE平分NADC,知NEDC=45°,又NED0=15°由矩形ABCD知OD=OC0DC为正三角形，WOC=OD=CD求解析：依题由又ZDOC=60o，ZCOB=12O0VZEDC=45o，NDCE=90°/.CE=CD/.CO=CE进而可知NCoE=75°.NAOE=105°评述：学习四边形的另一个任务应是融会贯穿前面所学的几何知识、几何方法.以猜测AF±CF.证明两线垂直，我们都有过什么想法？盘点盘点:一法一：连结BF,因NBFE=90°,证NAFC=NBFE进而考虑证AAFCgZBFE提示：因CF为RtADCE斜边上中线，故CF=EF=FD易证FAD咨ZFBC,有FB=FA进而可证明aAFCgaBFE(SSS)又由BF为等腰ABED底边上中线有BF_1.DE.所以AF_1.CF法二:延长AF交BC延长线于G,连结AC,易证aADF0AGEF,AD=GE,BC+CE=GE+CE,即BE=CG,易证aCAG为等腰三角形CA=CG,F为底边AG中点.CF为AG边上的高.另：对称地思考，同法可延长CF交AD延长线于H证AACH为等腰三角形，利用另一方向的三线合一.法三，利用“假设三角形一边上的中线长等于这边长的一半，那么该三角形为Rt”.连结AC,设AC交BD于O,连结FO,易知FO为aDEB中位线OF=-BE从而2又BE=BD=AC,进而有OF=OA=OC,用，就是:利用等边对等角和三角形内角和定理易证NAFC=900评述t学习矩形后一个新性质很有.：如图，矩形ABCD中，CF±BD,AE平分NBAD和FC的延长线交于E点.求证：AC=CEii/解析：证AC=CE,两线共端点居于aCAE中，可考虑用“等角对等边”证Nl=NE.考虑此处可能需倒许多角，设Ni=。,尽可能多用表示相关的角.法一：依题设可知NOAB=NoBA-NBAE=NBGA=45°故有NOAB=NOBA=450+&二NFOC=NAOB=90°-2°而NFCc）=90°-ZFOCZFCO=2又NFCO=N1+NE.ZE=法二：由CF_1.BD可知NBCF=NBDC=NOBA=45°+&又NCGE=45°,ZBCF=ZCGE+ZE,所以可知NE=G.评述：1.此题还有许多可以倒角的方法；2.这里亦可通过延长DC交GE于H,通过证aCHEgCGA来解决问题，有兴趣均可一试；3.特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联，学习中要注意多发散多思考体会。5 .如图，RtAABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,点P为AB上任一点，过P分别作PEAAe于E,PF_1.BC于F,那么线段EF的最小值是多少？1.HChF解析：易知四边形PECF为矩形，故EF=CP.CP最小，那么EF最小，过C作CP_1.AB于P.CP的长即为所求.易知,6 .如图，P是矩形内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求PD的长#F<C解析：审图后，似乎这三条的线段与所求之间没有关联，故需变换位置或添辅助线.法一：沿AD平移APAB到PZX7,连结P尸，可知四边形尸CPD中两条对角线互相垂直.故有Rp+PC=FCr'+PD3（能知道为什么吗？）进而解得Q=J5=+3-4,二加.法二:过P作直线EF_1.AD交AD于E交BC于F,可设AE=x,进而用X表示PE.PF、FC,再由RtPED布列勾股方法得解.三折叠问题7.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果将该矩形对角BD折叠，那么-D图中阴影局部的面积是一.C解析：该阴影三角形面积都可怎么算一较简捷算法有:S=JO产府=SAJup-SMiF无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长.依题设可证明AABFgAEDF从而AF=FE,BF=FD.设AF=x,那么BF=4x,2=2-由（4-4-/=3，有'一京-16评述：折叠问题的实质是轴对称，解题时首先要知道哪些量对应相等.“构建Rt,或利用现成Rt）利用勾股定理认真落实题设条件，可知，EF垂直平分BD,进而再观察。不难发现四边形BFDE是菱形（你能证明么？试试！）bo=%dOE=1.EFBO=IBD=5依题设2故有RtBE,2，2，同于上例设乂E=x,那么38=DB=8-X725J1cg、22管X=-BE=20E=55匚9I=土由（8-力-X=6有4,44RFS=15万.
