概率论和数理统计期中试卷.docx
厦门大学信科院2015-2016学年第一学期期中试卷得分概率论与数理统计试卷类型：（八）一.选择题(本大题共5个小题，每小题3分，总计15分)1.某射手命中率为0.2,假设每次射击都是独立的，那么他射击10枪，中3枪的概率为O（八）O.23O.87(B)0.270.83(C)0.230.87(D)0.270.832 .设随机变量X服从正态分布则随着。的增大，概率P(IX-*<b)().（八）单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定3 .设X是只有两个可能值的离散型随机变量，y是连续型随机变量，且X和y相互独立，则随机变量X+Y的分布函数O（八）是阶梯函数.(B)恰好有一个间断点.(C)是连续函数.(D)恰好有两个间断点.4 .设X为随机变量，方为任意实数，JEX是X的数学期望，则O(A) E(X-x0)2=E(X-FX)2(C)E(X-x0)2<E(X-EX)2(B) E(X-xq)2E(X-EX)2(D)E(X-)2=0.5 .设二维随机变量优X)服从二维正态分布，则随机变量<=X+K与=X-Y不相关的充分必要条件是().（八）E(X)=E(Y)(B)E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+E(X)Y=E(Y2)+E(Y)2.二.填空题(本大题共5道，每道题3分，总计15分)1 .假设新购进了4部移动电话，已知至少有一部是合格品的概率为0.9375,求每部电话是合格品的概率P=.2 .若随机变量X服从均值为2,方差为er?的正态分布，且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=3 .设(X,Y)的联合密度函数为则A=f(,y)=tA(X+y)O<x<l,O<y<2其它,关于X的边缘概率为4 .设XV(wp12),YN(%,o),且X与丫相互独立，则Z=aX+力Y+c5.设随机变量X与丫的联合概率分布为×'-V-10100.070.180.1510.080.320.2则2和丫2的协方差COV(X2,F2)=三,计算题(本大题共5道，每道题12分，总计60分)1 .有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表相应为3份、7份和5份.随机取一个地区的报名表，并从中先后随机抽出两份.(1)求先抽出的一份是女生表的概率。；(2)己知后抽出来的一份是男生表，求先抽出的一份是女生表的概率Q.2 .设某班车起点站上车人数X服从参数为l(l>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<<1),且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数。(1)求在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率;(2)求二维随机变量(X,Y)的概率分布。3 .己知随机变量(X,Y)的概率密度为0x4,0yx其它求：(1)系数A；(2)边缘概率密度;讨论X与Y是否独立;(4)P(Y1)及P(X1).4 .已知随机变量X和丫的联合概率分布为(X,)(0,0)(OzI)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P0.10.150.250.20.150.15(1)求X的概率分布；(2)求X+Y的概率分布；(3)求Z=Sin磅5的数学期望。25 .设随机变量X的密度函数为f(x)=,0r(l-x)OOxl其它求a,E(X),D(X)和尸IXE(X)K2J(X)。四.证明题(10分)1 .设随机变量X和y的联合概率密度为22、1+sinxsiny-l/(y)=2(-oo<j211证明随机变量X和Y(1)的联合密度/(,y)不是二元正态密度；(2)都服从标准正态分布；(3)不相关而且也不独立.答案一、选择题1. C2. C,由于XN(")，则y=3二幺N(0,1),P(IX-“v)=P(M<l),可见此概率不随a、的变化而变化。3. C4. B5. BCoV¢,JI)=EE(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y)=E(X2)-E(y2)-E(X)2-Eyf).由于随机变量久不相关的充分必要条件是COVeH)=O,从而g、不相关的充分必要条件是E(2)TE(X)f=E(Y2)-E(Y)f二、填空题1.0.52.0.2X_2由XNQ,/),可知Mo,1),因而V_O22P(2<X<4)=P(O<<-)=(一)-(0)22=(一)-0.5=0.3,即(一)=0.8Y_O22P(X<0)=P(<)=1一(一)=0.23. 由于Jj:f(x,y)44.=J；dJ；A(x+y)Jy=1得A=I/3。fx(X)="U,>X=(x+y>v=X+2,0<x<l,其它为OoE(Z)=al+hu2÷c4. D(Z)=a2+b2;ZN(az1+bu2+c,a212+b11)5. -0.02由题知O1O0.180.2210.320.28E(X2)=0.6,E(Y2)=0.5,E(X2r2)=0.28,则COV(X2,y2)=o.28-O.6*O.5=-0.02三、计算题1、解：引进事件：”广报表名是第j地区考生的(j=i3);a=第i次抽到的是男生表(i=l,2).由条件知：P(H1)=P(H2)=P(H3)=I;7820P(AlW1)=-;P(MH2)=-;P(Al4)=石从而，由全概率公式，得3-137529=P（八）=自P(%)P(A皿)=§(历+石+天)=痴.此外，易见7820P(AIW1)=-,P(AIW2)=-,P(H3)=-；-7-QCP(AAIU)=布，P(AAIH2)=-,P(AAIH3)=-.由全概率公式，有p(a2)=p(z)A7)=-(-+)=；”jj3101525903-17QC2P(AA)=pm11P=-(-÷-÷-)=-/=DDUDUDUV因此，由条件概率的定义，得/?=P(AIlA2)=P(A1A2)2/920P(A2)61/90612.答案:（1）设事件A=发车时有n个乘客,B=中途有m个人下车,则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率是一个条件概率，即P(BlA)=P(Y=mX=m).根据二项概型，有P(BlA)=C"P)",其中0m<七k=0,l,2,.(2)由于P(X=n,Y=m)=P(AB)=P(3A)P（八）,并且上车人数服从P（八）,因此P（八）=NeYn于是，有(XiY)P(X=,Y=m)=C：p'"(l一P)Ee其m,=0,1,2,.！3.(1)gW4,其中“一",。小衣即4Jo)=1，4=|(2)y0<×<4-X20<x<464f(x)=j(x,y)dy=<其它其它同理得:3v国y(8)o<y<2f"y)=I"/y)"="1 O其它33°1、22953X(8)=166425102464(3)取点(XM=(1,1/2)D,由于=吗因此，X与Y并不独立。P(Yi)=1.加y)d,=篇加,嘏(4)P(Xl)=>x(x)d.=o'-xX=-4.答案：Esin'(X+丫)=sin0*0.1+sin-*0.4+sin"*0.35+sin*0.15222=0.4-0.15=0.255.由密度函数的性质f+oo(1II=1.f(X)4="(D4=%=6E(X)=J(x>.=x6x(l-x)dx=2x3-x4=gE(X)=J_"/(XM=Jy6(17M=WXj工=A31ID(X)=E(X2)E2(X)=-一(一)2=10220PX=E(X)<2D(X)=PX-<2-y=>=d11Vl11U525_1=卜节6尤(1-幻43飞11525四、证明题1、解：(1)/(,y)显然不是二元正态密度。(2)由边缘密度的公式，有P+OO工(X)=1.f(Ky)dy其中最后行的第二个积分等于0,因此被积函数是奇函数，因此XN(0,1)：同理可得yN(0,l)°于是，/(x,y)的边缘函数都是标准正态分布。(3)X和y显然不独立，现在证明随机变量X和y不相关。事实上，由于EX=石y=0,可见七y<8,故sinxsiny)eW+/Fdxdy1f÷oo工1.-21=jxe2dJy(l+sinxsiny)e2dy12/If+CO-f+ysinxsinye2dy)=xe2dxye2dy-2兀J-8J-OCJ-00'dx(J-ODy"ysinxsinye2dy)=O,这是因为最后两个积分的被积函数都是奇函数。于是，CoV(X,y)=O,从而X和y不相关得证。
