压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总（教师版）.docx

压轴题06向量、复数压轴题十六大题型汇总压轴题解读命题预测本专题考查类型主要涉及点为向量与复数，包含了向量的最值，新定义等，包含了复数的相关性质与新定义等。预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。高频考法题型01向量新考点问题题型02投影向量问题题型03向量最值取值范围问题题型04向量与不等式结合题型05向量新定义问题题型06复数性质相关问题题型07复数最值问题题型08复数的三角形式题型09复数方程的根相关问题题型10向量与解析几何结合题型11向量与实际模型题型12向量与四心题型13向量与数列结合题型14向量与三角换元题型15复数新定义问题题型16复数与数列问题高分必抢题型01向量新考点问题1.(2024上海嘉定二模)已知万5=(xny1),OB=(x2fy2),且就、而不共线，则(MB的面积为()AIx1x2-yy2lB.x1y2-x2y1Cx×2+71721Dix1y2+x2y1【答案】B【分析】利用向量的数量积写出其夹角的表达式，结合同角三角函数的平方式以及三角形的面积公式,可得答案.【详解】设万?与赤的夹角为6,由65OB=由sin。=1-cos20=仔设?一八1,贝!is”=OAOBcos,则CoSe-I初晴一,WIloBljy2j2+y2bo=0ABsin=x1y2-X2JiI-故选：B.2. （多选）（2023广东深圳模拟预测）已知PaI,乃），（?（%2，为）是椭圆9+竽=1上两个不同点，且满足X1X2+9%丫2=-2,则下列说法正确的是()A.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3|的最大值为6+25B.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3|的最小值为3-5C.x13y1+5+x2-3y2÷5|的最大值为2通+D.x1-3y1÷5+x2-3y2+5的最小值为10-22【答案】AD【分析】设=m,3y="，设C(m1,%),O(m2,九2)，可得方=3h，%),OD=02，/2)，可得。,。两点均在圆病+n2=4的圆上，且4，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得臂T+2m+,2-3|及355生察坦+山铲的最值，可得答案.22【详解】由9+竽=1,可得/+9y2=4,又Pa1.yl）,Q（X2J2）是椭圆/+9y2=4上两个不同点,可得xj+9y12=4,x22+22=4,设X=m,3y=n,则m?+112=4,设C(TnI,nJ,D(Zn2,崂，。为坐标原点，可得沅=(nvn1),OD=(m2,n2),可得ZnI2+n/-m22+n22=4,且TnITn2+nn2=-2所以元OD=-2,cos(0C,0D)=器需=-(0Cf0D)0,11,可得C、D两点均在圆/n?+n2=4的圆上，且NCOD=V设Co的中点为E,MOE=2cos=1,c7根据点到直线的距离公式可知：股喑3+2*=皿"31+跑嘿3为点C、。两点到直线2%+5555'-3=0的距离出、之和，设E到直线2x+y-3=O的距离出,由题可知圆心到直线2%+y-3=O的距离为晟=亮，则dl+d2=2d32(|EO|+2)=2(l+3)=2+&dl+d2=2d32G_|E0|)=2(京_l)=5_2可得di+d?的最大值为2+山+B的最小值为3-2；可得2X+3y13+2x2+3y23=V5(d1+d2),可得2r1+3y13+2x2÷3y23的最大值为5×(2+-)=25÷6,最小值为6-2遮，故A正确，B错误；同理，生弊+生祥=回铲+小日为点c、。两点到直线x-y+5=O的距离或、虑之和，2222设E到直线X-y+5=0的距离d6,由题可知圆心到直线X-y+5=0的距离为岛=±,则以+d5=2d62(+l)=52+2,d4+rfs=2d62(-1)=52-2,可得出3y1+5+x23y2+5=V2(d4÷)»可得2%+3y131+2x2+3y23|的最大值为10+22,最小值为10-2,故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.3. (2024新疆乌鲁木齐二模)已知A，%'%为五个点，满足：4储、+14+出+；=0(n=1,2,3),IAnAn+11%+出+2'|=(九=1,2,3),则|瓦乐|的最小值为.【答案】1【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出I而I,再用基本不等式求解出最值即可.【详解】因为4114+4n+4+2=n(九=1,2,3),所以MlIMz/l=1/H2334=2,A3A4M4A5=3f由题意设MVzl=XI则142431=1441=2x,A45=豆!设A(0,0),如图，因为求14AI的最小值，则。2(%，0)，力3(%，4(f,AS(T,一勺,所以I乐漏2=2+*2j2.*=1,当且仅当/=点，即X=9时取等号，所以I而I的最小值为1.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到Mi4=x2+,再利用基本不等式即可求出最值.4. (2024浙江二模)设正n边形的边长为1,顶点依次为(，若存在点P满足两阿=0,1,则n的最大值为.（参考数据:tan36o0.73）【答案】5【分析】由题意确定P点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及n7时不符合题意，说明几=5时满足题意，即可得答案.【详解】由题意知点P满足两网=0,则P点在以44为直径的圆上，当n=6时，设F,C,D,M为AlA2,4445A6,CD的中点,如图，PAI=2PB+PC+PD=2PB+2PMlfc=l当丽,由共线且方向时,即8,P,M三点共线时,yn两I取最小值，z-*k=l此时I函=aBM=g-4=/，则两I=乎-J则2|丽+2丽Imin=33-3>1,故Ti=6时，不满礴意；瓦a取当n=5时，设GN为4血,&&的中点，如图，最小值，Kzl4I-此时C,P,N,4共线，=720ftan720=3.13,CA4=×tan72°1.56,IP4IAIdIlJO/-1.06,2，Z.A4A5A3=36°,.A4N=Ixsin36o1×11059,PN1.06-0.59=0.47r则|2丽+2PN+西Imin12×0.47-1.06=1,则当近,西共线且同向时，必有|2m+2PN+西ImaX>1，故n=5时,存在点P满足两西=O且区二网=1；当n7时，如图，正七边形的顶点到对边的高h必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P满足两%=O,且区1.i阪=1；故n的最小值为5,故答案为：5【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.5.（2022浙江三模）已知平面向量石通行,五,其满足2k怖l2k+l,k=1,2,5,且石+石+石+五+可=6.则区+石+石+五十元I的最小值是,最大值是.【答案】230【分析】先求出苍苍石石,石模长的范围，由题设得I石+石+石I=|耳+后I,通过向量的线性运算得用+石+词和同+制取得最小值1,最大值15,即可求解.【详解】由题意知：2同3,4同5,6IxJI7,8同9,10园11,又有+石+石+五+方=6,可得用*+石+石=一位+元），则I方+石+石I=I五+%|;显然当I司=2,1石I=4,1可=6,甑+石=-石时"方+石+可取得最小值0；当同=9,同=10,且五,反方向相反时，用+可取得最小值1；又由上知用+石+可=I五+芯I,则I石+石+可的最小值取不到0,又因为当=2,同=4,同=7,右,石方向相同，与石方向相反时，区+石+句=1,此时I石+石+石I=I五+君I,同时取得最小值1,故I石+石+石I+I疼+其I的最小值为1+1=2,只要石+石+石,石+后方向相反，即可满足石+石+石+五+后=6;显然当I司=3JxJI=5,同=7,且尤石石方向相同时，区+石+石I取得最大值15；当=9,1石I=11,且焉其方向相同时，K+可取得最大值20；又由上知用+而+对=同+I,则因+羽I的最大值取不到20,又当I耳I=8,1得I=10时，由三角形法则知，必然存在石,羽使得I疼+后I=15,此时I石+石+石I=I疼+可I,同时取得最大值15,故由+石+石I+鼠+可的最大值为15+15=30f只要石+石+荔三+3方向相反，即可满足石+石+石+可+右=6.故答案为：2;30.题型02投影向量问题向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题。6. （2022上海金山一模）已知向量G与B的夹角为120。，且鼠B=-2,向量疏!足乙=+（l-）b（0<<1）,且五"石E记向量延向量五与访向上的投影分别为X、y现有两个结论：若入=J贝加五I=2同；/+y2+Xy的最大值为*则正确的判断是（）A.成立，成立B.成立，不成立C.不成立，成立D.不成立,不成立【答案】C【分析】根据鼠b=-2及,与丽夹角为120。求出同=4,假设间=2间成立，求出同=2=22,代入后发现等式不成立,故错误；利用向量共线定理可知,点C在线段AB上,再结合H=B工，可得：OC，AB,利用投影公式求出/+y2+xy=c2,只需求出©最大值，利用面积公式和基本不等式求出团最大值为1,进而求出/+y2+町的最大值.【详解】由aB=I五IWICOSI20。=-2,解得：I五I同=4,当入=：时，不=（五+笆，由石F=石0得：五(五+割=BG五+割，即萍+五B=7行+|京，由dB=-2得：|a|2=+52,因为闷b=4l假设闷=2bl则可求出间=2ja=22回2号+部中，等号不成立,故错误.设五<=alOB=alOC=cl因为=a+(l-)(O<<1)f由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设(6,c)=a,则佰,c=120o-a,因为五c=bc,所以忻|同COSa=bccos(120o-a),即cosa=bcos(120o-a),故G在访向的投影等于B在彷向的投影相等，故点C满足OC148,又X=Iccosa,y=ccos(120o-a),所以X2+y2+xy=c2cos2a+c2cos2(120oa)÷c2cosacos(120°a)=c2,其中Sabo=absinl20o=×4=3,而要想保证最大，只需A8最小，由余弦定理可得：/夕产=a2+标-2同向COSl20。=d2+b2+42ab+4=12,当且仅当间=同时,等号成立所以最小值为25,所以团最大值为雷=1,故/+y?+盯=：|印的最大值为:,正确.故选：C7. （2023广东二模）已知。是坐标原点，点N（I,1）,且点M是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上的一点，则向量而在向量而上的投影向量的模的取值范围是:【答案】1,5【分析】设直线OM的斜率为k,倾斜角为a,ON的倾斜角为夕，可表示cos（而,而）,再根据投影向量的模的概念可得解.【详解】设直线OM倾斜角为a,ON的倾斜角为0,当直线OM的斜率存在时，设直线OM方程为y=kx,即依-y=0由圆C：x2+y2-2x-2y+1=OfBP(x-l)2+(y-l)2=1,所以圆心C(1.1),半径r=1,又点M在圆上，所以点C到直线OM的距离d=r,解得kO,即W。,以，当直线OM的斜率不存在时，OM方程为X=O与圆C相切，成立，此时=,综上E0,jltsnO,+),2则tan(-0)=2-.“l+tanatan1+/ana2+迎tana1所以tan(a-/?)(-y>2,即tana-°,2所以COSla01今1，即cos(而,而)=CoSla-0|y,l,又I而I=J(2)2+I2=3所以向量而在向量丽上的投影向量的模为|而cos(而,而“1,3,故答案为：1,3.8. (2023天津二模)在ABC中，AB=3&，角4为锐角，且向量而在向量尼上的投影向量的模是3,则4=；若"=6f则函数f(%)=k荏-3同+卜而-：而(xR)的最小值为【答案】35013【分析】根据投影向量的定义求出CosA,即可求出力，以点A为原点，建立平面直角坐标系，在>1C上取D,E,使得而=AC,AE=AC,在力B上取点尸使得方=XAB,求出点£1关于直线力。的对称点尸的坐标，再结合图象即可得解.【详解】由向量而在向量近上的投影向量为画COSA禽，得向量而在向量冠上的投影向量的模为I而ICOS4=3,所以CoSA=y,又因角力为锐角，所以4=T，如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0),8(3,3),C(6,0),在AC上取。,E,使得同二：冠荏=：近，则E(2,0),0(3,0),在48上取点P使得而=XAB,则f(x)=xJ-C+xAB-JC=EP+DPz直线TlC的方程为y=X,设点E(2,0)关于直线4C的对称点尸(,b),则Im1.解得C=2，所以"°，2)，t2-2则I而I+I函=FP+DPDF=13,当且仅当D,P,F三点共线时取等号,所以/G)=xAB-AC+xAB-AC(xR)的最小值为I【点睛】关键点点睛：以点4为原点，建立平面直角坐标系，在AC上取E,使得而=AC,AE=AC,在AB上取点P使得而=XAB,求出点E关于直线"的对称点尸的坐标，则f(x)=FP+DP=FP+DPI而I是解决本题的关键.9. (2024全国模拟预测)已知非零向量五与B的夹角为锐角1为B在&方向上的投影向量，且团=0=2,则G+B+1与B的夹角的最大值是【答案】-【详解】先通过向量的定义得到5=a,从而db=4,通过(2d+S)t±j2+b,再求出(2d+B)不，利用COS8=鬻黯表示夹角，进而利用基本不等式求最值.【分析】因为©=同,为B在五方向上的投影向量，且G与B的夹角为锐角，所以=d,故G+S+c=2d+S.因为I五*b=dc=4,Hdb>Qt所以dB=4.设间=X>O,贝!J(2五+S)2=42+45+S2=4×22+4×4+X2=32+X2,故2G+b=32+X2.又(2d+b)=2dS+b2=2×4+x2=8+x2.I(8+/)2x2(32+x2)设2&+3与方的夹角为e，所以8Se=馈需=/因为3/(32+X2)空竽=4(8+/)2(当且仅当3/=32+/，即X=4时取等号)，所以/(32+x2)j(8+/)2,即黑为:,故CoSe".又0811,所以O.1.6故五+行+1与B的夹角的最大值震.故答案为：7.【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是"形化"，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是"数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.10. (2022浙江模拟预测)已知平面向量五石的夹角为W,满足Id+同=1.平面向量5三d上的投影之和为2,贝昭一家一劭的最小值是.【分析】设向量5,B的单位方向向量，用所设的单位向量作为基底，表示出已知条件，进而表示出P-T五一1可，继而求得答案.【详解】设与方方向相同的单位向量是“，且a=21f1>O,设与3方向相同的单位向量是户,且B=32v,2>O,又0=1u+2v.注意到<u,V>=(121=d+b=(21u+32v)z=4J+9÷612=1f2=cu+cv=c(u+v)=(1u+2v)(u+v)=>1+2=/,c-5=(1u+2vy)-1u-2v=(1-1)u+(2-)v,4j+9及+612-1=0%=0C-d=J(Pl-%)2+侬2-42)2+Ql-Z)(P2_)2)设丫=QI-A)?÷(四2一入2)2÷(内一21)(2-入2)+&(4属+9+6121)÷52(%+2-9(1)(2)(3)(4)(6)y,l=2(%-1)+(2-2)+52=0【y'42=2(%-入2)+Qi乙)+§2=0'yfi=2(1-1)-(2-2)+51(81+6A2)=0y,=-2(2%)-Gh-入1)+51(182÷61)=04f+9及+612=14、"1+2=§(1)与(2)联立得：%-入=2-%(3)与(4)联立得:A1=62(8)将代入(5)中得：A=岛人=7,“1-2=Z-%=篇，与联立得：=:倦=，对应y=0直，故上一自一的I=史署，故答案为题型03向最值取值范围问题©W®处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.11. （多选）（2024浙江宁波二模）若平面向量b,鼐足=1,同=1,同=3且dN=BN,则（）A.怔+B+4的最小值为2B.怔+3+日的最大值为5C.一族+4的最小值为2D.-5+4的最大值为ViZ【答案】BD【分析】由向量五方汾向间的关系,判断Ia+B+4的最大值和最小值；由（G-WI1.通过区-同的最值，计算M-3+4的最值.【详解】当向量。4方向相同，与汾向相反时，满足d,此时I五+b+引有最小值同一（|五I+b）=1,A选项错误；当向量G,b,彷向相同时,满足dc=Sc,此时I五+b+引有最大值闷+h+c=5,B选项正确；d-c=b-c,有（五5）c=0,即Rb）1.c,则IdK+/=JIG-K2÷c2f向量匕B方向相同时，B-同的最小值为0,怔-B+4的最小值为3,C选项错误;向量匕B方向相反时，B-同的最大值为2,a-b+己的最大值为11,D选项正确.故选：BD12. （23-24高三下上海浦东新期中）正三棱推S-48C中，底面边长48=2,侧棱4S=3,向量,，族满足G（+AC）=dB,（b+i4C）=bAS,则Id-司的最大值为.【答案】4【分析】利用向量运算化简变形，设d=而石=由，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可.【详解】已知正三棱锥S-ABC,则AS=BS=CS=3,且AB=BC=CA=I,由G.(五+彳?)=五.通化简得小=aCB,b(b+AC)=b而化简得京=B.通.设d=丽花=而，代入苏=aCB,b2=bCSl分别化简得耐MB=Ol且而-NS=O,故点M在以BC为直径的球面上，半径Tl=MC=1；点N在以SC为直径的球面上，半径七/CS号分别取线段8C、SC的中点E、F,则£T=BS=故Id_同max=IMNlmaX=IE用+q+七二|+1+|=今故答案为：4【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在.13. (2023河南郑州模拟预测)已知48。中lAB=AC=2>2,AB+BCmin=2(R),宿=,P=sin2AB+cos2AC,ae,则而的取值范围为（）A.殍节B.,三C俘用D.*【答案】D【分析】根据已知可得力到BC的距离为2QABC为等腰直角三角形，若D,E为8C的两个四等分点，N为8C中点，P在线段DE上运动，AN=2,数形结合求I而I的取值范围.【详解】由I希+4前Imin=2QR），结合向量加法法则知：4到BC的距离为2,又AB=AC=2y2,则BC=4,所以45+AC2=BC2,故448C为等腰直角三角形，由而=sin2AB+cos2AC,则siM+cos2=1,所以P,B,C共线,又aF*,则sin2,cos2日勺，若O,E为BC的两个四等分点，N为BC中点,如下图示，所以P遐段DEg动，4N=2,BD=IlBE=3l由图：若MP1BC,则MP4N,又宿=I,此时BP=IBN=；1,3,故上述情况I而ImE=lAN=I易知ME=MP2+（BE-8P）2=J1+.=亨,由图知：P与E重合时,MPma=ME=亨，综上，I研的取值范围为生用.故选：D14. （2022浙江台州二模）已知平面向量瓦同,备,I瓦I=2=3=l,<1,¾）=60°.若对区间或1内的三个任意的实数；Ii,小，居都有&也+e2+3e3+备则向量瓦与备夹角的最大值的余弦值为()ABCD6666【答案】A【分析】建立直角坐标系,设出相关向量,通过分析与位置,寻求临界值.【详解】设C(COS6,Sine).如图,不妨设友=OA=(1,0),与=而=G净怎=CO=(-cost-sin0).设M为AB的中点,G为OC的中点产为BD的中点,E为AD的中点.则MC),6©必。亭山。).I(e1+e2÷¾)=而+OM=GM1e1+2e2+3e3=H+0P=而,点P在平行四边形EDFM内(含边界).由题知I而II丽I恒成立为了使®，9最大,则思考&,磅为钝角,即思考C点在第一或第四象限.思考临界值即P与M重合,G与”重合,且GM不能充当直角三角形斜边,否则可以改变”的位置，使得I两I<IGM所以加？1元,即(：一Bcos,-sin0)(cos0,sin。)=0373-COSe-cos20+Sine-sin20=0.4242即日(当CoS6+TsinJ)=l,BPyCs(0-)=1.所以cos(6-¾=.OJ所以COSe=COSKe_7)+=cos(87)cos7-sin(8-7),sin76666663V3613÷V6=TXT+TX2=-6-所以向量区与行夹角的最大值的余弦值为-呼O故选:A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用已知条件转化出&所在的位置.15. (2024上海徐汇二模)如图所示，已知A4BC满足8C=B1AC=3ABlP为AABC所在平面内一点.定义点集O=pAP=3AB+AC,r.若存在点POD,使得对任意PD,满足|而|瓯|恒成立,则I福I的最大值为.【答案】3【分析】延长力B到M满足1M=3AB,取/1。的靠近4的三等分点N,连接MN,由向量共线定理得P,M,N三点共线，从而MPol表示的边MN上的高，利用正弦定理求得AAMN的面积的最大值，从而可得结论.【详解】延长48到M满足/IM=3ABl取/IC的靠近A的三等分点N,连接MN,如图，AP=3AB+i4C=34S+(l-)y=AAM+(1-)AN,所以P,MN三点共线，又存在点POD,使得对任意PD,满足I祠I福I恒成立,则APO的长表示4到直线MN的距离,即AMN的边MN上的高，设历Pol=h,由IACl=3伊8|得IACl=AM,AB=4N,乙4公用，因此4BCANM,所以IMNl=IBCl=8,4MN中,设乙4NM=l由正弦定理得学=吗=吗/M4N记为角4,Sl11SinMSInA所以Sine=3sinMfAM=,AN8sinMSinA所以Smbc=SAMN=24M4Nsin4=32SineSinM96sin2MSinASin(M+6)96sin2M96sin2M96sinMSinMCOSe+cosMsin6SinMCoS8+3CoSMSinMcos0+3cosM若。不是钝角，则S&ABC=96sinM96sinMl-sin+3l-sin2Ml-9sin2M+>9-9sin2jW又sin。=3sinf1,所以SinM即0<SinM|,96Sin2M，则t9，S/=Hi，它是减函数，所以£=9时,(S"8c)max=8企，若。是钝角，则SdABC-96sinM96sinM371-sin2M-l-sin2V9-9sin2M->l-9sin2M，96Jsin2MJsin2M设£=，则t9，S.Be=3混:诉,3tz9-tzT令f=3i,1.，则/，=看一册=，,(t)=O=£=10,9tV10时，/(£)<0J(C)递减J>9时/(£)>0,/(£)递增,所以£=10时/(Omin=8,(SAABe)=121综上Rabc)=12，此时hmax2SaMNIMNl【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出P点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据乙INM是否为钝角分类讨论，才能正确求解(本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便)题型04向量与不等式结合16. (2024安徽芜湖二模)若实数X,y满足M+y2=25,则50+8%+6y+，50+8%-6y的最大值为【答案】610【分析】利用向量不等式并结合X的范围求最值.【详解】设G=(,y),S=(1,1),则d-b=x+ydb=2x2+y2t当且仅当X=y0等号成立故，50+8%+6y+j50+8x-6yV2V16x+100f又/+/=25,所以国5,所以I16x+100216×5+100=610r当且仅当=5,y=0等号成立.故答案为：6T【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量不等式求最值，关键是两次运用不等式且保证等号成立.17. (2022浙江湖州模拟预测)已知平面向量&是满足向随I=1,若3G-(b+c)abcl则-彦+2户+产的最小值是.【答案】21-1【分析】利用绝对值三角不等式|3司-(b+c)3d-(b+c),及三角函数的有界性可进行化简分析.【详解】设Vdfb>=a,<b,c>=,由3d-(石+。|=|五山随|,根据三角不等式，有3(b+c)3(b+c)=db同=同向CoSQl.同=IaCOSald,得2G+可，故一五2+2b2+c2-5+c2+2b2+c2=b2+c2-c=；向2+?c2-同同COS02向2，同2_1=112.故答案为：罕.18. (2024高三全国专题练习)已知(=b=2,c=l,(-c)(b-c)=0,则Id-同的取值范围是()A.6-6+lB.1,iC.7-l,7÷lD.i,i【答案】C【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由CA1CB想到构造矩形4CB。，运用极化恒等式推导出结论I就+1赤=oc2+od2,求得I而|,最后用三角形三边关系定理得到ICDl的范围，转化即得.如图，设G=万5,3=砺，不=无，点。在圆%2+,2=1上，点4,8在圆/+V=4上，则d/=石5,B不=而，由0-c)(b-c)=0可得：CAlCB,作却AC8,贝!Jd-b=OA-S=BA.下证：I西2+I网2=I词2+阪/设48,CD交于点P,连接OP,因工5=OP+瓦?,则OA2=OP2+PA2+20?PA,同理可得：而2=而2+而2+2而丽，两式左右分别相加得：OA2+0B2=2OP2+Va2+PB2=2OP2+BA2=2（OP2+竽）=2（OP2+竽），=2（安）2+（笋）2=OC2+OD2.即|引2+向=c2+0D,故|0。|=4+4-1=7.又I画-网0D<0C+CD,因画=BA=d-b,0C=l即|&一后一171+|一瓦，故有B-N7-l,7+l.故选:C.【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.19. （2024天津二模）在力BC中lAM=2MB,P是MC的中点，延长AP交BC于点。.设而=alAC=b.则而可用,菠示为,若AD=6,cqsBAC=JJ48C面积的最大值为.【答案】加=/+尹，y【分析】根据几何关系，表示向量而；设方=4而，再利用平面向量基本定理表示而，即可求解入，再根据AD=6,以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解.【详解】由点P是MC的中点，则而=X宿+硝=X浑+而）=1d+/;设丽=AADfBD=BC,贝丽=X阮+两）制国_荏_砌=b-,BP=AP-ABAAD-AB=（D-BA）-AB,=BCAB）-AB=（AC-AB+AB）-ABl=AC+(1)AB=b+(A1)d,所以所以而=涧,gPAD=4P=+b,所以&+翔=32+b2+=2+52+dS,2××+×aS=aS,即哈同6,即间臂，当?a=I同时，即同=5=当时等号成立,所以AABC面积的最大值为)×sinBAC=IX等Xg=KZIDZIo3O故答案为：4P=gd+/；葛.5Zo20. (2024上海长宁二模)已知平面向量d1,满足：a=b=IU,同=2,若0-益)仁一B)=0,则怔-目的最小值为.【答案】2【分析】先利用dE=：(怔+同'一Id-同。和(a+b)Z+(d-B)”=40证明28-d-3'4J40ab,再解不等式得到28-a-b24,从而有Id-b2,再验证G=(3,1),b=(3,-1),c=(2,0)时B一同=2,即得到IG-同的最小值是2.【详解】由于db=(d2+S2+2dS)-(a2+b2-2dB)=；(五+-(G-犷)=(d+5|2-ID且(G+b)2+(d-b)2=(a2+52+2ab)+(a2+S2-2a-S)=2(a2+%=2(10+10)=40,故有O=¢-五)(不-B)=c2(d+b)c+dbc2a÷c+db=42a+b+db=4-2+S+j(+b)2-(-加力=4-2d+b+j(40-2(-S)2)=4-2J40-a-讦+；(40-2Id-BO=14-2140-d-b2-j-5|2,所以28-区-b24J40-d-b2,记28-R-同?=%,则有%4x÷12,从而-12xOaEx216(x+12),BP-12x0或8x24.总之有X24,故28-a-b224,即忙一可2.存在益=(3,1),S=(3,-l),e=(2,0)时条件满足，且此时Id-同=2,所以B-同的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于Ia-同的最小值问题，我们先证明I益-同2,再给出一个使得怔-同=2的例子，即可说明怔-司的最小值是2,论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.题型05向新定义问题ewe新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键21. （2023福建泉州模拟预测）人脸识SU,是基于人的脸部特征信息进行身份识的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设A(Xvyi),8(必,、2),则曼哈顿距离d(48)=x1-x2+Iyi-711/余弦距离e(4B)=I-Cos(AF),其中s(AtB)=cos(0A,0B)(O为坐标原点).已知M(2,l),d(M,N)=1,则e(M,N)的最大值近似等于()(参考数据：21.41,52.24.)A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948【答案】B【分析】根据题意分析可得N在正方形48CD的边上运动，结合图象分析（丽,丽）的最大值，即可得结果.【详解】设N(%y),由题意可得：d(M,N)=2-x+|1-y=1,即IX2+yIl=1,可知比一2+y-Il=I表示正方形ABCO,其中A(2,0),8(3,1),C(2,2),0(1,1),即点N在正方形48CD的边上运动，因为两=(2,1)而=(%y),由图可知:当CoS(M/N)=cos<0M,加>取到最小值，即<0%,加>最大，点N有如下两种可能:点N为点A,则而=(2,0),可得COS(M,N)=cos