05 对角化与Jordan标准形.docx

第五讲对角化与Jordall标准形一、正规则阵1 .实对称矩阵与厄米特(Hermite)矩阵实对称矩阵：实矩阵A,Ar=A;实反对称矩阵：实矩阵A，Ar=-A;厄米特(Hermite)矩阵：复矩阵A,Ah=A;反厄米特(Hermite)矩阵：复矩阵A,Ah=-A.2 .正交矩阵和酉矩阵正交矩阵:实矩阵A，AA=AA=I(A-1=Ar);酉矩阵：复矩阵A，AhA=AAh=I(AT=A3 .正交相像变换和酉相像变换设尸为正交矩阵，A为实矩阵，称PTA尸为对A的正交相像变换；设尸为酉矩阵，A为复矩阵，称PTAP为对A的酉相像变换。4 .正规则阵实矩阵A,若满意ATA=AAI则A称为实正规则阵；复矩阵A,若满意A"A=44”,则A称为复正规则阵。注1：实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规则阵；注2：厄米特矩阵、反厄米特矩阵、酉矩阵均为复正规则阵。5 .相像矩阵的性质相像矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。【证】det(2-尸TAP)=detP1(2Z-A)P=det(P1)det(2Z-A)det(P)=det(P1)det(P)det(2/-A)=det(2Z-A)、酉对角化1. SChllr定理:（1）设AC"的特征值为4,4,1."，则存在酉AU1AU=UhAU=4,（2）设ARX'的特征值为4,%1.,4,且i三R（i=l,2,1.,w）,则存在正交矩阵。，使21*1.*1 T2OMQ-1AQ=QrAQ=2.O*_.【证】只证（1）结论，（2）的证明类似.对矩阵A的阶数施行数学归纳法.当=1时，结论明显成立.假定对阶矩阵结论成立.下面证明对阶矩阵结论也成立设占是A的属于特征值4的特征向:即%，将入扩充为C”的一组标准正交基令q=%u21.wh,则即Ul为酉矩阵.对A进行酉相像变换:U：AUl=MUHAw1u21.%=(%"A%)其第1列元素:u-u>4tUUyIJ1.夕J1.J1.J1.，J1.4(i=l)=<，0(=2,3,1.n)AU1=4*1.*0MA1相像矩阵具有相同的特征值，因此，对于1阶矩阵4,其特征值为4,1."",依据归纳法假设，存在4*一1阶酉矩阵S,使得S"AS=o*._42_记1.=1°，U=UIU2,OS则U"U=/,即U是酉矩阵，且UTAU=UhAU=(UAU1)U2*OMOu2=*M*,证毕什么样的矩阵能够通过酉相像变换成为对角阵呢?2.定理:（1）设AC"X",则A酉相像于对角矩阵的充要条件是：A为正规则阵；（2）设A/T",且A的特征值都是实数，则A正交相像于对角矩阵的充要条件是：A为正规则阵。【证】只证（1）结论，（2）的证明类似.必要性：设存在酉矩阵U,使得UhAU=A（对角矩阵）,则有A=UAUh,Ah=UAUhAhA=UUhUUh=UUh=UAUhUAUh=AAh即A为正规则阵.充分性：设A为正规则阵,即4。=44",由SChlIr定理，存在酉矩阵U,使得A'121.tinUhAU=41.t2n=AOM.其中4,4,1./是4的特征值。要证0=0因为h=UhAAhUAhA=UhAhAUAhA=AAh9所以h=h.又AhA=2112*1.* 2f+tl2121.MMO* *1.*M2÷kn2+l+-m2h=A2+k1212+l+zm2*M*1.22+232l+21122lMO*1.*MIA,I2由对角元素相等可得=o,"A-所以U"AU=4O.%证毕推论：实对称矩阵正交相像于对角矩阵.说明：不能酉对角化的矩阵仍有可能采纳其它可逆变换将其对角化，例如AAAA,A不是正规则阵；但A)=1,3,两个特征值互异，可以相像变换对角化。可见，A可以对角化，但不能酉对角化。不能对角化的矩阵肯定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式JOrdan标准形。三、JordaIl标准形1. Jordan标准形概念定义形如"11),()_JsW.的矩阵，称为Jordall标准形，其中(i=l,2,1.,s),4c1il-mi×mi称为”阶Jordan块矩阵2. Jordan标准形的存在定理定理每个阶复矩阵A都与一个Jordan标准形相像，这个Jordan标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是被A唯一确定的.即J1W22)其中"4）=i14(i=l,2,1.,s)Ja)4,4,1.,4为A的特征值，可以是多重的.说明：4（4）中的特征值全为4,但是对于不同的力,3有可能4=%,即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。2.多项式矩阵（又称为矩阵）（1）多项式矩阵的定义形如ai2(九)a22(")Man(%)%(几)MaIn（，）a2n（，）Man,X的矩阵称为多项式矩阵或；I-矩阵，其中矩阵元素%«）为4的多项式。（2）多项式矩阵的初等变换如下的变更称为多项式矩阵的初等变换：互换两行（列）；以非零常数乘以某行（列）；留意：这里不能乘以4的多项式或零，这样有可能变更原来矩阵的秩和属性将某行（列）乘以4的多项式加到另一行（列）.初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下使其形式变得简洁。（3）多项式矩阵的标准形式采纳初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：4o4(4)oo0其中，多项式4（2）是首一多项式（首项系数为1.即最高次项的系数为D，且d1()d2(2)9d2()d3()91.,%(4)4即4是4+。)的因式。说明:多项式矩阵的标准形式不随所采纳的初等变换而变更，故称4(几)为不变因子。不变因子也可采纳如下方法求得：设“（八）为4（八）的全部，阶子式的最大公因式，则4。=1,称"(X)为，阶行列式因子。将每个不变因子4。)化为不行约因式的乘积，这些不行约因式称为A（八）的初等因子，全体初等因子称为初等因子组。3 .数字矩阵的不变因子与初等因子对于阶数字矩阵A,称-A的不变因子为A的不变因子，称A的初等因子为A的初等因子。4 .Jordan标准形的求法(1)求出特征矩阵(4/-4)的初等因子组，设为("4户，(户,l,("4户；(2)写出各JordaIl块矩阵(一个初等因子对应一个Jordan块矩阵)41一(2-A)zw,（八）=21I-l-JJniX机j(i=l,2,s)(3)合成JOrdaIl标准形：,AU2)J=O_A（八）.26的Jordan标准形.41-1例1：求矩阵A=3-32-2解：对特征矩阵运用初等变换可以得到OO2(2-2)从而A的不变因子为初等因子组为4(4)=1,d2()=,J2(I)=2(2-2)2相应的Jordan块为，。，0JordaIl标准形为OO-1例2：求矩阵A=-414+1解：AI-A=4O0"OO.O2_10"30的Jordan标准形02_-10-2-3002-211OOO1OOO(2-2)(2-l)A的不变因子为d1()=d2()=1,d3()=(-2)(2-1)2初等因子组为丸一2,(I)2相应的Jordan块为rI112,1"200"Jordan标准形为011.0011234-123例3：求矩阵A=的JOrdall标准形.12123452-1-2-3解：lA=121先求行列式因子D4(2)=det(2-A)=(-1)4；因为；l/-A有三阶子式2342-1-2-3=-4(2+1)且D3(2)D4(2),OX12所以2(=从而2(=A(4)=,不变因子为J1(2)=J2(2)=J3(2)=1,J4(2)=U-1)4初等因子为(4-1)411'Jordan标准形为J=.15.Jordon标准形相像变换矩阵的求法A:J=P1AP称非奇异矩阵?为Jordon标准形相像变换矩阵.上面给出了矩阵A的Jordon标准形的求法，但是没有给出求所须要非奇异矩阵尸的方法.由于求P牵扯到比较困难的计算问题，因此，作为了解，仅以例题的形式给出P的计算方法.-110"例1.求矩阵A=-430的JOrdaII标准形及相102像变换矩阵P.解：由上面的例2,有"200"A-J=Oll001再求相像变换矩阵：设所求矩阵为尸，则PTAP=J,对于尸按列分块记为尸=巧户2/3，于是有AP=Axnx25x3=Ax1,Ax2,Ax320O-PJ=xpx29x3Oil=2x1,%2，“2+”3从而可得Axi=2x1?Ax2=x2,Ax3=x2+x3整理以后可得三个线性方程组:(2Z-A)x1=0;(Z-A)X2=O;(7-A)x3=-x2.解上面的三个方程组得特征向量4及广义特征向量/依次为X1=(0,0",X2=(1,2-l)r,X3=(0,1-l)r,故所求相像变换矩阵为010"P=021,111200从而有P1AP=011001例2求矩阵A=33-286-5的Jordan标准形及相像变换矩阵P.解：首先用初等变换法求其JOrdall标准形:l-A=2-30-834+16202+5从而A的不变因子为4(4)=1,d2()=+l,d3(2)=+l)2;初等因子组为2+1,(2+I)2;00(2+I)2从而A的JOrdall标准形为J=-100再求相像变换矩阵:设所求矩阵为P,贝IIPTAP=J,对于P按列分块记为尸=6户2，£，于是有AP=Axnx25x3=AxnAx2,-10000-1从而可得Ax1=-x1,Ax2=-x2,Ax3=x2-X3整理以后可得三个线性方程组(Z+A)x1=0；(1+A)X2=0;(/+A)x3=X2.前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系:a1=0,1,02=-2,0,Ir可以取XI=%,但是不能简洁地取=%，这是因为假如今选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于火,的随意线性组合都是前两个方程组的解，所以应当取x2=k1a1+k2a29使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，简洁计算其系数矩阵的秩为1,从而应当使得增广矩阵/+A,2的秩也为1,即O8-Ik1O6Jl1O-4k2-4/+A,X2J=3-2简洁看出只需令I=3,网=-2就会使得上述矩阵的秩为1,于是x2=31-22=4,3,-2r.再由第三个方程解出一个特解为“3=1,。，O7-故所求相像变换矩阵为041P=xpx2x3=130,0-20-100从而有P1AP=0-1100-1126例3.求方阵A=-103的JordaIl标准形及114相像变换矩阵P.解：首先用初等变换法求其JOrdan标准形:所以A的不变因子为4(4)=1,J2（八）=2-1,J3（八）=(2-I)2;初等因子为4-1,U-D2;100从而A的JOrdall标准形为J=OllOOl再求相像变换矩阵：设所求矩阵为尸，贝IlPTAp=J,对于尸按列分块记为P=xnx2,x3,于是有AP=Axnx29x3=Ax1,Ax2,Ax3从而可得Ax1=xnAx2=X2,Ax3=x2+X3,整理以后可得三个线性方程组(Z-A)X1=O,(Z-A)X2=O,(1A)X§=-%.前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系:a1=-1,1,0%=艮0,可以取占二%,但是不能简洁地取为=%，这是因为假如马选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无由于%,%的随意线性组合都是前两个方程组的解，所以应当取x2=klal+k2a2,使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，简洁计算其系数矩阵的秩为1,从而应当使得增广矩阵的秩也为1,即2口-4-2=1126k、-3k)13k13k?简洁看只要匕=就会使得上述增广矩阵的秩为1.yt令ki=k2=9于是9=%+a2=2,1,1再由第三个方程解出一个特解为=2,O,l-122那么所求相像变换矩阵为P=110011"100"从而有PiAP=011.001