【《证明不等式的常用方法探析》15000字（论文）】.docx

证明不等式的常用方法研究摘要在不等式的证明中，从中学课程到大学课程，对学生来说一直都是一个难点，然而学会证明不等式却在中学和大学课程中甚至是基础数学中都占据重要地位，不等式也是数学领域中一个重要的工具之一.虽然专门研究不等式的理论直到17世纪后才开始有的，但是不等式的发展十分迅速，直至现在己经有一个较为完整的体系.关于不等式证明虽然只是其中的一个模块，但无论是在课程中还是在理论研究中都是一个重难点，且不等式的证明无系统方法.因此本文就不等式证明的方法进行总结.本文即介绍了数学归纳法和比较法等一些常用方法，也介绍了用所学的中值定理和函数单调性等性质证明不等式，同时还介绍了一些常用不等式.关键词：不等式；数学归纳法；比较法；中值定理目录第一章绪论21.1 不等式的背景21.2 选题意义31.3 研究内容3第二章不等式证明的基本方法42.1 初等方法42.2 导数法142.3 定积分法证明不等式152.4 利用累级数展开证明不等式16第三章利用函数证明不等式183.1 利用函数性质解不等式183.2 中值定理20第四章一些常用不等式264.1 均值不等式的应用264.2 柯西-施瓦茨不等式274.3 詹森不等式的应用28第四章总结30参考文献31第一章绪论1.1 不等式的背景数学自萌芽之日起，就表现出其能用于解决各种实际问题的能力.因此，数学的发展于社会的进步相互之间有这紧密的联系，这种联系是不可分割，相互影响的.一方面,社会中经济发展状况，政治文明状况等很多涉及到社会方面的因素都深深影响着数学的发展；另一方面，数学的发展是否完善,是否先进也影响着社会的发展与进步叫通常人们只认为数学只是理论知识，最多涉及到物质文明，因为无论是第一次工业革命，或是第二次工业革命，亦或第三次工业革命都是数学理论上的一次重大进步.但数学同样与精神文明有关，比如在画作中常需要构图以及我们生活中所常说的对称美，都与数学有着密切联系.在数学的学习过程中，不等式一定是其中的重点内容，同时还涉及到数学的其它分支，且与其联系紧密.因此有关不等式的问题常常能用多种方法解决，解决不等式的相关问题也经常涉及到数学各个分支的一些基础知识.有关不等式的理论是数学理论中不可或缺的一部分，而且和很多知识都有着十分紧密的关系.特别是在高中时期，不等式问题更是考察学生学习知识点的最佳问题类型，其在解题方法中具有多样性，能够考察学生运用知识的能力并加强学生学以致用的能力.在高中常用函数，基本不等式，求导等知识解决不等式问题的方法.所以本文详细介绍证明不等式的一些常用方法.对于学习高等数学，学习不等式证明是其中一个重要的学习内容.学习数学是为了解决人类生活上遇到的一些问题以提高生活品质，因为它在物理学，天文学，建筑学等很多方面都有着十分重要的作用，是这些与人类生活密切相关的学科学习的基础内容.但是在解决物理学，天文学，建筑学等中一些数学问题时，有时候有些方法并不能快速简单的解决问题，甚至有时有的理论也无法得到验证，所以在数学的学习中常常要求学者多加探索一些新的方法.在大学的主修课程一“数学分析“中，不等式的学习更为重要，既是学习数学分析的重点也是学习数学分析的难点，同时其中所学的很多知识都能用于解决不等式问题.就比如我们所学过的函数的凹凸性，泰勒公式，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等，都在解决不等式相关问题的领域占重要地位.1.2 选题意义在学习数学理论的过程中，不等式的证明一直在其中占据重要地位，是数学学习的一个重要内容，这在基础数学和高等数学中都得到很好的反映.众所周知，生活中的不等现象要比相等的现象更加多，但在数学研究领域中，不等式理论真正发展起来却在十七世纪以后，并迅速成为基础数学学习中的一个重要内容.回顾从小学到现在的数学学习历程，有关于证明不等式的问题往往是题型多变、证明方法多种多样且需要很强的技巧.每次在证明不等式之前，通常需要认真分析题目已知信息和所需要证明的不等式的结构特点以及其与所学知识之间的内在联系，最终才能够选择出适当的简明的证明方法.想要学会证明不等式，就要熟悉数学中有关于证法的内在推理思维，并且需要熟练掌握证明的有关技巧，步骤和语言说明以及特点，通过渗透问题的本质特征使得比较难的问题转变为更加简单的问题.证明不等式的方法有很多，却直到17世纪之后不等式才正式发展起来，因为不等式在生活中很常见，比如消费娱乐设计，运输方案设计等，所以不等式的证明在数学和生活中都占据重要地位.也是因此，探究不等式的证明方法也变得十分重要，多加学习不等式的证明方法对于中学生和大学生的数学相关课程学习都是非常重要的.1.3 研究内容本文采用文献方式，总结一些证明不等式的常用方法并给出适当例题来进行学习，本问的主要研究内容如下：(1)证明不等式的常用方法，并分类总结；(2)总结一些常用的不等式，并能够在不等式的证明中得以应用；(3)通过对所总结的不等式的证明方法的理论学习，在例题中得以应用.第二章不等式证明的基本方法2.1初等方法比较法：在平时生活学习中，面对不等的情况，一般最先想到的是比较法，即将不等式的两边作比较，这是证明不等式的一个比较简单的方法.数学中是比较严谨的，数学中比较法有两种：作差法和作商法.但在解决不等式问题时，应根据实际情况选择作差法和作商法.作差法常用于不等式中分式或者是多项式比较多的情况，而当不等式两边若是累，乘，除较多时建议采用作商法.作差法：在初高中数学中，学生们常用作差法去解决问题.作差法的主要步骤：1.不等式的两边进行作差；2.依据不等式的情况对不等式进行化简；3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于零还是小于零.在对不等式化简时有很多种方法，常用的就是配方法和差分法.例114已知a,b,c为互不相等的实数，证明小+炉+>Qb+be+ac.证明：(M+b2+c2)(ab+be+ac)=(2-2ab+b2)÷2+(b2-2bc+c2)÷2+(2-2ac+c2)÷2=(-bp+(b-c)2+(c)22因为/,c为互不相等的实数，所以(ab)2>Ot(bc)2>O,(-c)2>0.故而Ka-b)2+(b-c)2+(c)2>0所以(a2+b2+c2)(ab+be+c)>0则可得a2+b2+c2>ab+be+ac.作商法：作商法也是常用的证明不等式的方法，作商法的主要步骤:1.不等式的两边进行作商;2.依据不等式的情况对不等式进行化简；3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于1还是小于1.在对不等式化简时有很多种方法，常用的就是通分法和拆分法.在运用作商法的时候一定要特别注意分母不能为零.例2已知a>b>O,求证：aabb>abba.证明:霖=(-b%(b-)=)(。->)因为>b>0所以Qb>0,>1D故而令(3)>1因此有aabb>abba.分析法：分析法，亦称为逆推法，即从题目中所需证的不等式出发，通过分析转换从而找到该不等式成立所需要的条件，这就将证明不等式的问题转化为找不等式成立的条件.用分析法解决问题时，若最终能够从已知中获得不等式成立的条件，则可证得原不等式成立.在运用分析法解决问题时，要从结论出发，一步一步进行推导，使得每一步都是可逆的，最终找到不等式成立所需要的条件.例3网已知,b,cR+,Q+b+c=abc,证明不等式+华+aDc2+l+)2*11-b+cla+c1a+b1.1.12证明:H+k+丁2Q+1+5oo+Ca+ca+bo,oo111o0a2b2c2(-I-I)2a2b2c2(+-+-)2=abc(b+c)bc+(a+c)ac+(a+b)ab2(be+ac+ab)2Q(Q+b+c)(b2c+be2+a2c+ac2+a2b+ab2)2(bc+ac+ab)2<=>(a+b+c)(b2c+be2+a2b+ab2+a2c+ac2)2(a2j2+b2c2+a2c2)+4(Q+b+c)abc<=>bc(bc)2+ab(ajb)2+ac(ac)2+a2(bc)2+b2(ac)2+c2(ab)20通过己知a,b,cER+可得bc(bc)20,Qb(Qb)20,QC(Qc)20,a2(bc)20,b2(ac)20c2(a-b)20.则有bc(bc)2+ab(a.b)2+ac(ac)2+a2(bc)2÷b2(ac)2+c2(ab)20a+b111,+F+N反证法：在面对一些正面解决不了的问题时，可以从反面去思考，这就是反证法的由来.在数学中用反证法解决问题，首先是要假设所需要证明的命题是不成立的，即假设在原有的条件下，所得到的命题是不成立的，然后通过演绎推理得到与该假设完全矛盾的结果,从而证明这个假设是错误的，进而得到原命题是成立的，这就是反证法的证明思路.反证法能用于解决很多数学中的问题，从而让问题变得简单，在不等式的证明中同样可以应用反证法解决问题.例4已知f(X)=/+八+=证明:(1)1.(2),(3)1中至少有一个大于或等于;.证明:假设f(l),(2),f(3)都小于3VQ+b乙(1)9-<2a+b(2)19-<3+Z?2那么17<-T;由式子(1)(2)可得4<a<2;由式子(2)(3)两式可得6VQ<4;显然上述两种情况是相矛盾得，所以If(I)I、(2)I>f(3)中至少有一个大于或等变代换法：变量代换法也成为换元法，在使用变量代换方法时，要根据不等式的结构特点选择合适的变量代换方法，从而将不等式化为自己所熟知得不等式，或者是已经证明过得不等式，亦或是简单的不等式，从而证明给出的不等式.下面介绍证明不等式的常用两种变量代换法：三角代换法和代数代换法.三角代换法：三角代换是数学中解题的一种重要办法，尤其是在不等式的证明中，若所观察到的代数不等式可以与某些三角函数联系，或者是观察到题中代数不等式较为复杂无从下手,亦或是证明的过程较为复杂时，可以考虑进行三角代换，将代数不等式转化为三角不等式，从而能够利用三角函数的一些性质和所熟知的三角公式进行解题.但在应用三角代换法时，要求熟知三角函数的性质和三角公式.例5网若Q,b,c>0,a+b+c=abc,证明:E（l+吟（1+炉）_7(1+2)(l+2)(1+c2)4ABC证明:通过分析己知条件和不等式的结构，可做三角代换:a=cot-fb=cot-,c=cot,A+B+C=r.乙乙乙利用已知的两个恒等式:.oOA.B.B.A+BB+CA+C1+coIx=cscX',sin-+sin-+sin-4snsinsmF1.222222则可将所需证明的不等式化简为:ABBCACABCCSCCSC+CSCCSC+CSCCSC4+CSCCSCCSC222222222ABBA+BB+CA+C<=>sin+sin+sin4sin-sin-sinF1222222A+BB+CA+CABB<=>sin-sin-sin-sinsinsin-222222由AM-GM不等式得:A+BABABAABBsin-=sin-cos+cossin4sincossincos24444J4444(1)同理可得:A+Bsin-ABsinsin22ABsinsin22A+Bsin-乙(3)将(1)(2)(3)相乘可得：A+BB+CA+CABBsin-sin-sin-sinsinsin222222则可得到所需要证明的不等式：W(l+2)(l+b2)-(l+2)(l+b2)(l+c2)4.代数代换法：代数代换法一般是通过题目己知的代数等式，对所需要证明的不等式进行代换，从而化简所需证明的不等式，使得不等式更易于证明.常用的一些代换如下：xyz=1=(%,y,z)X='bcbc,ac,ab2不同);xy+yz+zx=1>-Iabz=,a+b+c=1y/ab+be+cb+be+caab+be+carxyyzzx】xy+zyz+xzx+y2bcX=I-7-(+b)(+C)2acx2+y2+z2+2xyz=1=«<y=17(+b)(b+C)2bb、z=1(c+b)(+c)a+bb+cc+axy+yz+zx=1=>%=-,y=：,z=abbcca111x=-,y=B，z=-(倒数代换).有时条件未必十分明了，下面罗列了一些特殊的条件代换.+b+c+abc=O,atbfcE1,11x1y1z=>a=-r-fb=,c=,xyz=lfxfy,zO;1+x1+y1+z(屋一3BA2)+(4-B)WXV+(岸-2AB)WX+xyz=OIlll=>1-1-=A+XA+yA+zBBBB=>X=A,y=-A,z=Afa+b+c=1.abc特别地，令1A=B=2=4abc=+b+c=l;A=B=I=2+%+y+z=xyz;A=2B=2=>4=xy+yz+zx+xyz.对于这一类型还有更一般的形式(令E=J,C=O=O即可)BDWyz2+C2y2z÷(AC+AD)WV+(AC+AD+Eyz-xyz+eyeeye(A2C+DA2+2E42)W%+3EA2一屋=O=1.Cy+Dz+ECz+Dx+ECx+Dy+EA+x+yA+z上述即为一些可能用于证明不等式的代换网.例6网假设,瓦c0且,b,c中没有两个同时为零的情况，求证：abc3b(a2+2h2)+c(b2+2c2)+(c2+22)ab+be+cd证明:作导数代换，令y=，Z=；则原不等式等价于abcx2y2Z2311>y(2z2+%2)z(2x2+y2)x(2y2+z2)x+y+z,由柯西不等式，有、y2>(x2+y2+Z2)22z(2x2+y2)y2z(2x2+y2)1则要证原不等式成立，只需证明(%2+y2+z2)23y2z(2x2+y2)x+y+z也即W(%s+2x3y2+x2y3+xy4)(2x4y+4x2y2z),利用AM-GM不等式有+y3z2)2y4z,("4+x2y3)W2xy2z2,则要证原不等式成立，只需证明Wx2y2(x+y)2xyz(xy+yz+zx)<>(x+y+z)(x2y2+y2z2+z2x2)3xyz(xy+yz+zx),再由柯西不等式有1(x÷y+z)(x2y2+y2z2+z2x2)-(x÷y+z)(xy+yz+zx)2,则要证原不等式成立，只需证明(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz,上式有AM-GM不等式可知显然成立.故原不等式成立，当且仅当Q=b=C时取等号，得证.增代换法:若题目假设条件有Qbc时，且所需要证明的不等式是关于变量,hc的不等式，则可以作代换=c+&,b=c+G(其中&31,lf%为增量)，通过该类变换化简不等式，称这种方法为“增量代换法”.再引进增量之后，后面所进行的推导往往都是等价的，这使得推导会变得更容易叫例7设以R+(Z=1,2,n),证明:g+磅+咀+弱%+a2+%1证明:设=。2+况，。2=03+2>，Qn-I=Qr+n-l+¾,则&+§2+.=0,al,a2,-l,anF1"十1a3即Ql(。2+况)2上(的+¾)2工,(卅+4-l)2,(即+品¥a2a3anaI/、X、废髭一1=(1+2+an)+2(0+¾+5n)+02a3anQl+。2+an>当且仅当&=S2=6n=0时，等号成立，即Ql=a2=an时，等号成立,得证.构造法:构造法就是通过构造一些函数，复数，恒等式等来替换原不等式中的部分结构，从而将题中不等式转换成自己所熟悉的不等式，或者是已经证明过的不等式，亦或是较为明显的不等式，进而使得原不等式更易于证明.例8,1°1设,b,c,dR+,b+be+cd+d=1,证明：11Fb+c+dc+d+ad+a+b上”.a+b+c3证明:令S=+b+c+d,令函数/(%)=则原不等式等价于a3b3C3H4sasbsc注意到式在0,s上为凸函数，且/在Gj停)处的切线方程为y=:s%-7144S2,故579/()1s-s同理可得575757f(b)Z而Sb-11s2,f-SC-而s2J(d)/d-而s4所以,、，、，、，、5,、79s2(+b+c+d)2f()÷f(b)+/(c)+/(d)-s(a+b+c+d)-4-s2=75=75IolzrIZIZ(Q+c)2+(b+d)?+22(+c)(b+d)+2=>12-122(b+be+cd+da)+21=12=3*所以原不等式成立，得证.数学归纳法：数学归纳法是数学中最重要的数学思维方法之一，数学归纳法就是需要通过列举部分示例，然后对其进行归纳得出结论.当已知条件较多时或者是规律极其明显时，可用数学归纳法来证明不等式成立.数学归纳法的形式有三种：第一数学归纳法，第二数学归纳法，反向数学归纳法.第一数学归纳法步骤：1.先证明当九=1时不等式成立;2.假设几-1时不等式成立;3.证明九时不等式成立.第二数学归纳法步骤：1.先证明当九=1时不等式成立；2.假设小于等于九-1时不等式成立；3.证明n时不等式成立.反向数学归纳法步骤：1.不等式对无数多个自然数几都成立;2.假设设n+1时不等式成立;3.证明九时不等式成立.三种数学归纳法都十分相似.例10"”证明:2n>2九+1(几N,n3)证明:当九=3时，23>2X3+1,原不等式显然成立；假设九=,2">2+1成立，则22k>2(2k+1),即2k+1>4/c+2=2/c+2+2/c>2(c+1)÷1.故九=/c+1时原不等式成立.综上所述V九3fnN都有2z>2n+1,得证.放缩法：在数学中，传递性是不等式的一个非常重要性质，可以利用不等式的传递性，增加项或者删减项，使得值发生变化，从而使得所得的式子和已知式子之间的关系更加明确,进而使得不等式的项获得简化，使得不等式的证明更加简单.放缩法有很多种，最常见的三种有：(1)增减放缩法：在不等式的某一边加上或者减去部分项，使不等式获得简化,明确证明思路；(2)拆项放缩法：拆项放缩法常用于数列不等式，主要是若在不等式中增加或者减少某些项能够使得其转换成一些数列或者是某些函数；(3)公式法：公式法就是用一些常见的或者是已知的不等式，对所需证明的不等式进行化简，放缩.常见的公式如下：(1)若t>0,A+t>A,A-t<A(2)n1<fn,2n>n+n-1,-n÷11>n1,Jn(JI+1)>n(n>0);(4)若,b,mR+,则誓；bb+mbb(5)l÷÷÷.<l+i+÷.(6)i+<+(-)+g-)+(-3=2-J;(7)+.-÷-+<1；n+ln+22nn+1n+1n+1n+1I1I1I1、IlIll1n1(8)1+->P+-I=-；n+1n+22n2n2n2n2n2wi+-+>+-+=例11证明：捺+髀+七<i(nN).证明:利用上述说明以及所学数学知识可知：1111k!一Ix2x3xXk1×2×2××2-2"T则有不等式左边，即11Illl1ln15+无+而=2+丞+豕+布=I-G)<向法：用向量法解决数学中的问题在大学数学专业中十分常见，若是在遇到无法用常规方法证明的不等式时，则可以观察题目已知信息和不等式的结构，尝试用向量的一些性质来证明不等式.向量中常用的可用于证明不等式的性质即为向量的模和向量的内积，但是这通常需要考验抽象思维能力，需要将代数不等式转化为向量，有时经常需要靠自己的经验来构造适当的向量.例12已知m>0,九>0,且mn,求证:(m+九)(机3+九3)>(2+九2)2证明:由已知Tn>0,n>0,设向量d=(ni,n),b=(滔,ii)，五与"的夹角为仇因为nn,所以ymyrym3yn0,则可得五与石不共线，0V夕<加故而有0j)2=(由BlCOSe)2<(同向)2,从而(ymyjm3+y/ny/n)2<(m+ri)(m3+n3),(Tn+n)(n3+n3)>(m2+n2)2.2.2导数法对于导数的一些基本性质，高中的教学应已经烂熟于心，而大学的数学分析让人更加深入了解导数.在不等式的证明中则可用到函数求导的特点来证明不等式.若函数y=f(%)在某个区间/内可导，则有：(1)/(%)严格单调递增()<=>,(x)0(%7),且在/的任何子区间上/O)不恒为0;(2)/(%)严格单调递减(/)=,(x)0(%7),且在/的任何子区间上/O)不恒为0.XyZ(1+5x)(4x+3y)(5y+6z)(z+18)在用导数法证明不等式时，不仅会涉及到导数的知识，同时也会涉及到函数的相关知识，下面例举用导数法证明不等式.例13,141已知,y,zR+,求证:证明:对函数f(t)=3+b)(ct+d)“eR+，Q'b、c、d>0,求导得：,(t)=p(t+b)(ct+d)t(2act+be+ad)=p(bd-act)其中P=(at+b)2(ct+d)T为正数.当严<禀时，/>0,则此时f单调递增；当尸>竟时，尸<0,则此时/单调递减.因此，fQ)在产=时取得最大值ac/时=1,yQCI(Vad+Vbc)2固定y,对的函数g(x)=(1+5x)(4x+3y)f用上面的结果(Q=5fb=l,c=4,d=3y)得X2-(15+2)同样，对Z的函数有(1+5%)(4%+3y)Z(5y+6z)(z+18)2'(5÷63)所以，由式(2)(3)并对y的函数再一次用上面的结果得：-2式左边U=1.1.nJ=,(15+2)2(5？+63)21.(i5y+2)(5+63)JS1202.3定积分法证明不等式在学习积分时，积分的应用十分广泛，同时定积分具有一些性质，可用于不等式的证明.下面是关于定积分的一些性质：(1)牛顿莱布尼茨公式：某个函数Fo)在区间口句上由连续导函数，则有F,(x)dx=F(b)F();(2)若/(%)二阶可导，且广(%)>0,则fWdx<(b-Q).Ja,用定积分法证明不等式其实就是将代数不等式转化为积分不等式，但是在选取函数以及积分的上下限时一定要注意，上限一定要大于下限，且不等式两边的积分限一定要相同.例14|151当X>0时，证明工<In(1+-)<-.丐v)x证明：(利用积分法)对x>0有：1111Cx(1f11Cx1-=IdtJnIl+-)=I-dt,=Izdt,xJoI#J。t+1+fJo(l+t)2对于积分变量，OVtV；有191<1+t<(l+-t)2t即111<7<1.(1+11)2t+1从而有1Cx1-dt<0(1+2O2沙x.2.4利用幕级数展开证明不等式慕级数在分析数学中有着举足轻重的地位，在不等式的证明中有着广泛的应用，下面列举一些常用的基级数展开式：r2n(l)e=l+J+r+(2)sinX=X-？+?+(T)n+2n-(2n-l)!X(-,+)X(一8,+8)YX21X4.cosX=11F2!4!2n+(T)"南+X44zcx11X.1,3O1353I(5) -y=1-HX2Xi+'i+x224246÷(一1)zz-11X13OI1353I(6) -7=1+-+xz+xi+''x224246,+(-1)l11-.n-11(211-l)!(2n)!n(2n-l)!(2n)!x(-1XW(-1.1x-1.1)(7)=l-x2+%4+-+(-l)nx2n+XW(-1,1)(8)1l-x2=l+ix2+-X4+-X6+24246(2n-l)!2n+.(2n)!X(一1,1)(1+x)a=1+xHF(-l)(ar+1)尢2n.a1-1<<OOX(1,1)XW(111T,1例15M对于所有的整数n>1,证明史(ITk*证明:当九>1时，由e”的累级数展开式知：en-=Ih1+>1H=.n12(nI)2n1n1n1>n从而有(-(1-*施-所以1/ln(TnVeD由式(1)(4)知所需证明的不等式成立，得证.1,、另由In(I+%)的累级数展开式知/11111IllIn(I一总二一三一左一市一而十.<一三一浜一荻，由此可得(1.1)11=enln(l-<而+帝).(2)当n2时，由？一”的察级数展开式知:e-(÷)=-(+-1.)+l(.<112nn1>2ne结合式(2)(3),有第三章利用函数证明不等式3.1利用函数性质解不等式单调性：函数的单调性是函数的基本性质，是学习函数的必学内容.因为函数的单调性是用来描述函数的增减性，即可以知道函数在不同的取值时两者的大小，因此可以利用函数的单调性来证明不等式.要通过函数的单调性解决不等式问题，首先需要仔细观察不等式两边式子的形式，从而构造合适的函数，继而可以应用到函数的单调性来证明不等式.但在构造合适的函数时，需要注意函数中变量的取值范围，同时值得注意的是只有在构造合适的函数时，才能简化不等式的证明，有时需要对原不等式进行变形才能发现合适的构造函数.例I1171证明当%>O时，(1+x)(i+6<e1+2,证明:在不等式两边同时取对数得：(l÷i)ln(l÷x)<l÷化简得：2(1+x)ln(l+x)<2x+%2.通过观察上式，构造辅助函数/(x)=2x+X22(1+x)ln(l+%),(x0),求一阶导得：f,(x)=2x2ln(l+x),求二阶导得：2xM=->o(>0).通过函数性质，因为尸'(%)>0,所以(均在区间(0,+8)上严格单调递增，从而广(%)>r(O)=0(%>0),进而/(%)在0,+8)上严格单调增加又因为/(x)在0,+8)上连续且严格单调增加，故/(%)>/(O)=0(%>0),即2x+X2-2(1+x)ln(l+%)>0,从而X+X2>2(1+x)ln(l+x),故(1+X)(I+<e1+x>O).函数极值:函数极值是指函数在某个区间内取得的极大值或者是极小值，最终可以得到该区间内函数的最大值和最小值，因此函数极值可用于证明形如/。1/2,一)%的不等式.在实际应用中，可以将先原不等式化简，然后将其看作函数，最终找到其在某个区间的极值.用函数极值证明不等式的关键是找到所要取极值的区间.例网证明3P7=yr2JO2xfldx14I-FV.J02x2%+17凹凸性：已知函数有关于凹凸性的定义如下：定义11191设f为定义在区间/上的函数，若对/上的任意两点与，&和任意实数入(0,1)总有/(x1+(1-)X2)(x1)+(1-)(%2)z则称/为/上的凸函数.反之，如果总有/(x1+(1-)x2)(x1)÷(1-)(%2),-x+17证明:令/(%)=2x2-x+l,则/(%)=:：一1.ZX+1那么在区间(Ot)内，/(%)有唯一的驻点X=；.当OVX<时，,(x)<0;当(V%V1时，,()<0.根据函数的极值性质可知，FG)=J为Fa)的一个极小值，且为最小值.而f(o)=IjQ)=1.故当O%;时，F2x2-%+11.278从而则称/为/上的凹函数.通过凹函数和凸函数的定义知道，凹函数和凸函数本来就是通过不等式来定义的,自然能用于不等式的证明.同时，在数学分析中也可以了解到，凹函数和凸函数的变形有很多种，这表示在不等式的证明中可以灵活利用凹凸函数的各种变形来化简不等式,从而使证明过程更加简单，最终得到所需要证明的结果.例3"9(詹森(JenSen)不等式)若/为,b上凸函数,则对任意阳a,bfi>0(i=1.2,n)N%;It=1,有f(%A项)F=H(X)证明:应用数学归纳法.当几=2时，由凸函数的定义可知显然成立.设九=k时命题成立，即对任意xl,%2,，3e,b及%>O,i=l,2,tfkli=1ai=1,都有f(匕M匕七勺).现设，*3W,b及4>O(i=l,2,n),1.1i=1.令Qi=1；,i=1,2,，k,WJil1ai=1.l-+由数学归纳法假设可推得：f(lxl+2x2+÷kxk+k+lxk+l)=/-4+1)AjXi+入2%2+,+4加1一+l+lxk+l(1一+戊2%2+aliXk)+4+J(4+1)=(I-+1)a1(x1)+a2f(x2)+Jg)+k+1f(xk+1)=(1-k+1)Ai1-+l/(%2)+十fg)+4+1/(%k+l)k+1=WH®)1=1由数学归纳法可知，对任何正整数7l(2),凸函数/总有/nnf祇wi=l/i=l3.2中值定理微分中值定理：定理(罗尔中值定理)若函数/满足如下条件:(i)/在闭区间30上连续；(ii)/*在开区间(a,b)上可导；(Hi)f3)=f(b),则在(Q,b)上至少存在一点f,使得尸(f)=0.定理2(拉格朗日中值定理)若函数f满足如下条件:/在闭区间3句上连续；(ii)/在开区间(”)上可导，则在(a,6)上至少存在一点f,使得定理J网(柯西中值定理)设函数/和g满足/在闭区间口句上连续；(ii)f在开区间(Q,b)上可导；(iii)/(%)和“(%)不同时为零;(iv)g()g(b),则存在f(,b),使得r(O=/W-/(g)g'(f)-g(b)-g()'微分中值定理在数学的很多方面都有应用，在不等式中要运用微分中值定理的一般步骤为：(1)首先需要观察不等式的两边构造适当的辅助函数；(2)其次要确定微分中值定理中的区间(,b);(3)最后可以利用微分中值定理中的r(f)进行放缩.例4期当X0时函数/(%)可导，且(G)为不增函数，又f(O)=OiO,i=2,n,求证(E11=xi)il(%i)证明:利用数学归纳法当几=1时显然不等式成立.当n=2时，若%,W均为0或者某一个为0时，显然有f(与+x2)=/(x1)+/(x2)在%1,%2均大于0时，不妨设乂2在0,%上应用拉格朗日中值定理得:/(Xi)/(Xi)-/(0)XiX1-O在%2，与+Q上再用拉格朗日中值定理得:/01+不)Xl=/62)，七(%2，%1+%2)，=/01+%2)f(%2)%1+X2-M显然A必由题知f'(G)广延2)，所以/Ql+&)-/(%2)</(%)XlfOi+2)f(1)+/(%2)假设当九=时不等式成立，即kk/(W%i)W8)i=li=l取显然，k+1=0的情况不用证明显然成立，故只需考虑4+1>0的情况.取U=f+逐i，由前面已证的结论有fQ+xk+1)/(u)+/(xk+),由归纳假设即可得/nn/y%jY(%i).i=l)i=l例5l2°,设>0求证ISinXl<靖一1.证明:设f(t)=sint,g(t)=etftE0,x由柯西中值定理得：g(%)-g(0)"(f)*(即sinxcosfere<,因为靖一1>0,>1>0,所以sinx_ICOSflex1/<1.即sinx<ex-1.积分中值定理：定理4网(积分第一中值定理)若函数/(%)与g(x)在闭区间口句上连续，Jag(X)在口句上不变号，则在口句上不变号，则在a,b上至少存在一点f,使得fMgMdx=/(Ofg()d.JaJa注:该定理中g(x)在区间,b是可积的，且不变号，结论仍然成立.定理卬(积分第二中值定理)若函数/(%)在区间口句上非负单调递减，g(x)为可积函数，则存在f口切使得fMgMdx=f(b)gMdx.