四边形的难题111.docx
例1已知：如图4-26所示，ZXABC中，AB=AC,NBAo90°,D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE_1.直线AB于点E,PF_1.直线AC于点F.求证:DE±DF并且相等.分析如图4-26,由已知AD1.CD并且相等，而求证是DE1.DF并且相等，所以应该有aADEgACDF.反之，如果证明了这两个三角形全等，问题也就解决T.在AADE和aCDF中，只要证明了AD=CD,AE=CF及NEAD=NFCD就可以了,但这三个相等关系都容易证明.证明如图4-26所示,AD=CD.由已知条件可知AEPF为矩形,所以AE=PF.而由于NPCF=45°,NCPF=45°,所以NPCF=NCPF,所以PF=CF,这就有AE=CF.最后ZEAD=135o=ZFCD,所以DECDF.于是NEDF=NAD090°,从而有DE_1.DF并且相等.例2已知：如图4-27,ABCD为矩形，CEJ_BD于点E,NBAD的平分线与直线CE相交于点F.求证：CA=CF.分析一如图4-27所示，由于CA,CF是aCAF的两边，因此要证明CA=CF,可试证NCFA=NCAF.由于CF_1.BD,因此作AG_1.BD于点G,则AGCF,从而NCFA=ZFAG.于是问题转化为证明NFAG=NCAF.但己知AF是NBAD的平分线，因此问题又转化为证明NBAG=NCAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了.证法一如图4-27所示，作AG_1.BD于点G,NBAG与NABD互余，ZCAD=NADB与NABD互余，所以ZCAD-ZBAG.而AF平分NBAD,所以ZCAF=ZFAg.由于AGCF,所以ZCFa=ZFAG,从而ZCFA=ZCAf.所以CA=CF.分析二证明NCFA=NCAF还可以考虑用计算的方法进行.设NCAD=NBDA=,则ZACE=90o-ZC0D=90o-2a.而ZCAF=ZDAF-ZCAD=45o-a.所以NCFA=45°-a.从而ZCFA=ZCAf.问题解决了.证明从略.4菱形例1已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB,BC的垂线，与AB,BC,CD,AD分别相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH为矩形.A图444分析证明四边形EFGH为矩形有几个方法.而己知EFGH的对角线都通过AC,BD的交点0,并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形.由于OE1B,OHlAD,所以立即看出OE=OH.这样EFGH明显是矩形了.证明如图4-44所示，由于OA平分NA,并且OE_1.AB,OH±AD,由角平分线的性质知道OE=OH.同理，OE=OF,OF=OG,OG=OH.所以EFGH的对角线EG,FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形.例2已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED=DA,并且ZCED=2ZAEB.求证：四边形ABCD为菱形.图445分析在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD,因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了.在ABCD中，已知AD=BC,因此只要证明了ADBC问题就解决了.由于NCED=2NAEB,从而在NAEB内部作射线EF,使NAEF=NAED,同时也就有NBEF=ZBEC.而由于ED=DA,所以NEAD=NAED,从而NAEF=NEAD,这就有A1)EF.至此，问题已经解决了.证明如图4-45所示，由于NCED=2NAEB,所以NAEB=NAED+NBEC.因此可在NAEB内部作射线EF,使NAEF=NAED,ZBEF=ZBEC.而由于ED=DA,所以NAED=NEAD.从而NAEF=NEAD.这样ADEF.同理BCEF,从而ADBC.既然ADBC,又已知AD=BC,所以四边形ABCD为平行四边形.而AB=BC,所以ABCD为菱形.§5正方形例1已知：如图4-55所示,E是正方形ABCD内一点，且NEAB=NEBA=15°.求证：ACDE为等边三角形.分析一在ACDE中，显然CE二DE,所以只要证明了CD=DE问题就解决了.但直接证明CD=DE有困难，因此可改证DA=DEDA,DE是aDAE的两条边，因此可证明NDEA=NDAE.而证明这两个角相等也有困难，所以考虑加辅助线利用全等三角形证明.由于NADE应该是30°,而NDAE=75°,所以在aDAE内取点F,使NFDA=NFAD=15°,这就容易证明4FDAgZFDE,问题得到解决.证法一如图4-55A.,在aDAE内部取点F,使NFDA=NFAD=15°,连结线段EF.在AAEF中，ZFAE=60o,AE=AF（为什么？），所以AAEF为等边三角形,所以AF=EF.又NAFD=I50°,NEFD=3600-ZEFA-ZAFD=360o-60°-150°=150°,从而NAFD=NEFD.在AFDA和AFDE中，FD=FD,AF=EF,ZAFD=ZEFD,所以aFDAgZFDE.从而DA=DE.于是DE=DA=CD,同理CE=CD,所以ACDE为等边三角形.分析二本例也可以用一种间接的方法证明.如图4-55B.,先在正方形内作一等边三角形CDE',只要证明了aCDE和aCDE'重合就可以了.而要证这两个三角形重合，只需证明E与E'重合，要证明这两个点重合，只需证明射线AE与射线AE'重合，射线BE与射线BE'重合，要证明这两组射线分别重合，只需证明NBAE'=NABE'=15°.但这很容易.证法二如图4-55B.,在正方形ABCD内作等边三角形CDE',连结线段AE',BE'.在ADAE'中，NE'DA=90o-60°=30.XDA=DEz,所以/DAE，=1(180#30。)=75。，从而NBAE,二90°-75°=15°,从而射线AE与射线AE'重合.同理，射线BE与射线BE'重合，于是E与E'重合.这样，ACDE与aCDE'重合，所以aCDE是等边三角形.点评证法二的方法如下：当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时，可先作出具有该性质的图形，然后证明所作的图形与原图形重合，即是同一图形.因而原图形具有该性质.这种间接的证明方法叫做同一法.例2已知：如图4-56A.,直线1通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC,E为1上一点，EC=AC,并且EC与边AD相交于点F.求证：AE=AF.分析如图4-56A.,AE,AF是aAEF的两边，因此要证明AE=AF,可考虑证明NAEF=NAFE.由已知条件EOAC,如果求出NACE的大小显然问题就解决了.在初等几何中见到的特殊角常是30°,45°,60°的角.从直观上看，ZACE可能是30°角,作EH_1.ACT点H.文睬发现EH=EC,我们的猜想就是对的.由于1#AC,所以1上每个点到AC上引的垂线段都相等，所以EH等于对角线BD的一半DO,即EH=JEa从而NAeE=30*,问题得到解决.证明如图4-56,作Do_1.AC于点0,作EH_1.AC于点H,则EH=DO=AC=EC,所以ACE=3(.C4在AACE中，ZACE=30o,EC=AC,所以NCEA=75°,ZCAE=75o.而NCAD=45°,所以NEAF=30°,所以NAFE=75°.这样，ZAEF=ZAFE(=75°),从而AE=AF.点评本例中，点E与A位于BD同侧.如图4-56B.,点E与A位于BD异侧，直线EC与DA的延长线交于点F,这时仍有AE=AF.请读者自己证明.例3已知：如图4-57,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上的一点,并且NEAF=45。.求证：ZXAEF的高线AH=AB.分析如图4-57,AH,AB分别是aAHE和aABE的边，这两个三角形应该全等.证明了它们全等，也就证明了AH=AB.这两个三角形都是直角三角形，并且有一条公共边，证明它们全等还缺少一个条件.应注意NEAF=45°恰是直角的一半，所以NFAD+NBAE=45°是直角的一半.如果把aFAD绕顶点A旋转90°到aKAB的位置，那么新得到的aAEK和AAEF就各有一个45°角，很容易证明这两个三角形全等，进一步就有4AHEgZABE,问题得到解决.证明如图4-57,延长CB到K,令BK=DF.连结线段AK,则aABKgZADF,所以NBAkNDAF,从而NEAK=NEAB+NBAK=45°=ZEAF.在AEAF和AEAK中，E=AE,AF=AK,ZEAF=ZEAK,所以AEAFgZEAK,所以NAEF二NAEK.在aAHE和aABE中，ZAEh=ZAEB,ZEHA=NEBA=直角，AE为公共边，所以AAHEgAABE,从而AH二AB.
