16 全等与相似模型-半角模型（学生版）.docx

专题16全等与相似模型半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转一一证全等一一得到相关结论。【模型展示】1）正方形半角模型结论：BCEDCG;（2）CGF；七尸=BE+。尸；AAE尸的周长二244；CE、C尸分别平分NBEr和NEfTX2）等腰直角三角形半角模型条件：AABC是等腰直角三角形，NoAE=45。；结论：48AogaCAG;（g）DAEGAE;NECG=90。；DE?=BD2+EC2；3）等边三角形半角模型（120。60。型）条件：AABC是等边三角形，Zk8DC是等腰三角形，且BD=CD,ZBDC=120o,NEDF=60。；结论：ABDEWACDG；AEDF必GDF：EF=BE+FC；AAE户的周长=2A8;DE、。户分别平分NBE尸和NER7。4）等边三角形半角模型（60。30。型）条件：AABC是等边三角形，ZEAZ>30o;结论：48DAg2C7¾AOAEg物E；NEer=I20。；®DE2=-BD+EC)2+2YBD5）半角模型（20型）条件：ZBAC=2a,AB=AC,DAE=a；结论：ABAO2CABAEAOgZXEAP;NEc户=180。-加。例1.（2022黑龙江九年级阶段练习）己知四边形48C。是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BCCO于M,N.如图1,当M,N分别在边BGCO上时，求证：BM+DN=MN如图2,当M,N分别在边8C,CO的延长线上时，请直接写出线段BM,DN,MN之间的数量关系一如图3,直线AN与BC交于P点，MN=10,CN=6,MC=8,求Cp的长.例2.（2022北京四中九年级期中）如图，在0A8C中，0ACB=9Oo,CA=CB,点P在线段AB上，作射线Cp（OyaACPV45。），射线CP绕点C逆时针旋转45。，得到射线CQ,过点4作AOSCP于点。，交CQ于点、E,连接（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段A。，DE,4E之间的数量关系，并证明.例3.（2022秋江苏扬州八年级校考阶段练习）如图，在等边.三角形A8C中，在AC边上取两点M、M使/MBN=39.若AM=m，MN=x,CN=n,则以乂八为边长的三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C,钝角三角形D.随Kd的值而定例4.（2022广东深圳八年级期末）如图，MBC中，囹BAC=I20。，AB=AC,点。为BC边上点.点、E为线段CQ上一点，且CE=2,48=4有，DAE=60°,则OE的长为.例5.（2022广东广州二模）如图，点。为等边C外一点，ZfiZX:=120o,BD=CDf点、M,N分别在AB和AC上，NMZw=60。且A=9,AN=4,MN=St贝kABC的边长为.例6.（2023春江苏八年级专题练习）（1）如图，在四边形ABCO中，AB=AD,4=ZD=90。，E,（2）如图，在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分别是边8C,8上的点，且ZEaf=Izbad,（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E,尸分别是边BC,CO所在直线上的点，且EAfBAD.请画出图形（除图外），并直接写出线段石产，BE,FD之间的数量关系.例6.（2023.山东八年级期中）综合与实践（1）如图1,在正方形A3CZ）中，点M、N分别在A。、CD±,f若0"N=45则MN,AM,CN的数量关系为（2）如图2,在四边形ABCO中，BCAD,AB=BC,0A+0C=180°,点M、N分别在A。、CO上，若团MBN=yABC,试探索线段AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明.（3）如图3,在四边形4BCO中，AB=BC,团48C+0AQC=18O。，点M、N分别在CO的延长线上，若（WBN=T0A8C,试探究线段MN、AM、CN的数量关系为.模型2.半角模型（相似模型）【常见模型及结论】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）条件：已知，如图，在正方形A8CD中，MAF的两边分别交8C、CD边于M、/V两点，且团。=45。ApApFF1.结论：如图1,4AMNsAFE且一=2.（思路提示：/ANM=/AEF,ZAMN=/AFE）；AMANMN结论：如图2,ZiMANsAMDA,ANAMsANBA;结论：如图3,连接AC,则aAMBsaAR7,AANDSAAEC.且"=丝=应;AMAB图3图4结论：如图4,ABMESAAMNS丛DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型图1图2条件：如图1,已知NBAC=90°,ZABC=ZACB=ZDAE=45q;结论:AABEsADAEs/DCAx®=xAB-AC=BECD(AB2=BECD)BEAEAC(2)含60°半角模型条件：如图1,已知NBAC=I20°,ZADE=DAE=o;结论：ABOsCAEsc8A；丝=笠=丝；Ao.AE=8DCEBDAEAB(DE2=BDCE)例1.（2023山东济南九年级期中）如图，在正方形ABCo中，点E、尸分别是BC、DC边上的两点，且ZEAF=45%AE.AF分别交8。于M,N.下列结论：AE=BMDW；AF平分NZ）尸E；其中正确的结论是（）AMAE=AN-AFiBE+DF=垃MN.A.B.C.D.例2.（2023山西晋城校联考模拟预测）如图，在矩形A8C。中，AD=9,AB=6,E,尸分别为，CD边上的点.若ZEAF=45。，AE=3小,则。尸的长为.例3.（2023秋江苏泰州九年级统考期末）如图，已知aABC中，=90o,AC=BC,点D、E在边A±,CE2=BEDE.（l）<iiE:/OC£=45。；当4C=3,A>=2瓦）时，求。E的长.例4.（2023江苏无锡九年级期中）如图，在8C中，AB=AC=4币,NBAal20。，点。、E都在边8C上，NZ四=60。.若BD=2CE,则OE的长为.例5.（2023秋江苏泰州九年级校考期末）（1）如图1.D、七为等边中BC边所在直线上两点，ZZME=120°,求证：4ABDs4E3（2）VAOE中，NDAE=I20。，请用不含刻度的直尺和圆规在。E上求作两点8、C,点8在点C的左侧，使得；ABC为等边三角形；（3）在（1）的条件下，”为BC边上一点，过作族Ar）交AB延长线于点尸，”GAE交AC延长线于点G,若AB=6,BD=a,NHAE=60。，求黑的值.（用含有。的代数式表示）例6.（2023江西吉安统考一模）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.折一折：将正方形纸片ABCZ）折叠，使边A8、AO都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1.转一转：将图1中的EA尸绕点4旋转，使它的两边分别交边BC、C。于点尸、Q,连接PQ,如图2.（2）线段BP、PQ、OQ之间的数量关系为；（3）连接正方形对角线8。，若图2中的NPA。的边AP、A。分别交对角线8。于点M、点N.如图3,则察=;BM剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线30剪开，如图4.（4）求证：BM2+DN?=MN?.例7.(2023湖北武汉校考模拟预测)在矩形48C。中，AD=nAB,AEAF=a(0o<<z<90°),点、E、F分别是边BC、CD上的点,过点尸作FG欣，交直线AE于点G.如图1：若Ao=6,H=l,=45o,BE=2,则所=,SAEF=;(2)如图2：若=2,=45o,过点尸作歹G8C,交AE于点G,过E作由AB,交AF于点H,求证：FG=IEH-,如图3：若=2,8E=,DF=布过点、F作FGBC,交AE于点、G,FG=52,直接写出tana的值.课后专项训练1. （2022成都市八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCo中，对角线AC,BQ交于点0,E在B。上，连接CE,作好词CE交AB于点凡交4C于点G,连接CF交8。于点凡延长CE交AD于点M,连接尸M,则下列结论：点E至J48,BC的距离相等；MCE=45。；回。MC=MMG若。M=2,3则BF=正确的有（）个.4AMDBCA.1B.2C.3D.42. （2022广东深圳统考一模）如图，正方形ABC。中，E是BC的中点，尸在Co上，CF=IDF,连接4区A尸与对角线8。交于点M,N,连接MEEM给出结论：NE4产=45。；AN1.EN；tanNAW=3;DN:MN:BM=近:布.邪.其中正确的是（）BECA.B,C.D.3. 如图，在矩形纸片ABCO中，点、E、尸分别在矩形的边A8、AO上，将矩形纸片沿C七、b折叠，点B落在H处，点。落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=6,AO=4,BE=2,则DF的长是（）A.2B,-C.述D.3424. （2022春广东河源八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形A3C。内作ZEAF=45。，AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EA将AAW7绕点A顺时针旋转90。得到“8G,若BE=2,则族的长GBEC5. （2023浙江绍兴校联考三模）矩形A3Cf中，A3=6,AD=12,连接30,E,尸分别在边BC,C。上,连接AE,AF分别交BD于点M，N,若ZEAF=45。，5E=3,则ON的长为.6. （2023成都市九年级专题练习）如图，在R/SA8C中，AB=AC,。、E是斜边BC上两点，且血AE=45。，BECD将（MOC绕点4顺时针旋转90。后，得到aAF8,连接E尸，下列结论：0AED画AEa生二架；IMBC的面积等于四边形A五B。的面积；BE2+DC2=DE2;BE=EF-DC；其中正确的选项是（填序号）BEDCAO37. （2023上海宝山校考一模）如图，在SABC中，AB=AC,点D、E在边BC上，0DAE=B=3Oo,且=-,AE2那么空的值是.BDE1.8. （2022江苏南京九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1,在正方形ABC。中，若E,尸分别是8,BC边上的点，MAF=45。，则我们常会想到：把MOE绕点A顺时针旋转90。得到0A8G.易证AE¾,得出线段8凡DE,Er之间的数量关系为：（2）类比探究：如图2,在等边EABC中，D,E为BC边上的点，ElDAE=30。，BD=3tEC=4,求线段OE的长；（3）拓展应用：如图3,在0A8C中，AB=ACt姐AC=I50。，点O,E在BC边上，0DAE=75若OE是等腰酎。石的腰长，请直接写出8。：CE的值.9. （2022湖北卜堰中考真题）【阅读材料】如图，四边形A88中，AB=AD,N8+NO=180。，点E,尸分别在8C,8上，若NBAD=2NEAF,则EF=BE+D厂.【解决问题】如图，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形AB8.己知S=CB=100m,No=60。，ZABC=120o,ZBCD=150°,道路A。，AB上分别有景点M,N,且DM=100m,B7V=5（3-l）m,若在M,N之间修一条直路，则路线MN的长比路线M->AN的长少m（结果取整数，参考数据：31.7）.10. (2022山东青岛九年级期中)【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型"【模型探究】(1)如图1,在正方形ABCO中，E、尸分别是A8、BC边上的点，且蛇。尸=45。，探究图中线段EEAE,尸C之间的数量关系.【模型应用】(2)如图2,如果四边形48C。中，AB=AD,BBAD=BCD=90°,团EA尸=45。，且8C=7,DC=13,CF=S,求BE的长.【拓展提高】(3)如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,MBC与0A。C互补，点E、尸分别在射线C8、DC上，eaf=1.wad.当bc=4,dc=i,CF=I时，.CE尸的周长等于.2(4)如图4,正方形ABCO中，AMN的顶点M、N分别在BC、Co边上，AMMMRAH=AB,连接8。分别交AM、AN于点E、F,若MH=2,NH=3,DF=2&，求EF的长.(5)如图5,已知菱形ABCO中,(3B=60°,点E、尸分别是边BC,Co上的动点(不与端点重合),且团EAF=60°.连接8。分别与边AE、4产交于“、N,当国04尸=15。时，求证：MN2+DN2=BM2.图4C图511. （2022江西九江一模）如图（1）,在四边形ABC。中，ZB+ZD=180o,A6=A。，以点A为顶点作NEAF,ZEAF=BADt连接E足观察猜想如图（2）,当NAW=NB=ND=90。时，四边形ABCO是（填特殊四边形的名称）；BE,DF,即之间的数量关系为.类比探究如图（1）,线段BEDF,E产之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.（3）解决问题如图（3）,在二ABC中，NBAe=90。，AB=AC=4,点O,E均在边BC上，且ZZME=45o,若6O=,求OE的长.（S1）（图2）（图3）12. （2023福建泉州统考二模）（1）如图1,在正方形A8C。中，E,产分别为。C,8C边上的点，且满足ZE4F=45。，连接石厂，则。E,BF,E尸之间的数量关系为.（2）如图2,将RtZ48C沿斜边翻折得到zMDC,E,尸分别为。C,8C边上的点，且NEAF=BND,试猜想力E,BF,E尸之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）将两个全等的等腰直角和*AFG按如图3所示摆放在一起，A为公共顶点，Z4C=AGF=90o,AFtAG与边8C的交点分别为。，E,求证：DE2=BD2+CE2.图113. （2023陕西西安九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰ABC中，AB=AC,点Q、E为底边BC上的两个动点（不与3、。重合），且NfME=Nfi.（1）请在图中找出一个与AABE相似的三角形，这个三角形是；（2）若NBAC=90。，分别过点O、E作A3、Ae的垂线，垂足分别为尸、Gf且。尸、EG的反向延长线交于点M,若44=1,求四边形ARWG的面积；问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库其中W=40米，4）=30米，现计划在仓库的内部的E、产两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点尸在边DC上.设计要求NE4产=45。且CE=B,则CE的长应为多少米？14. （2023陕西汉中九年级统考期末）如图，.ABC中，NBAC=I20o,AB=AC,点。为BC边上一点.(1)如图1,若AO=AM,ZDAM=120°.求证：BD=CM;若NCM。=90。，求而的值.如图2,点E为线段CO上一点，且CE=4,AB=6J,NDAE=60°,求OE的长.15. （2023辽宁沈阳九年级统考期末）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形45C和AFG摆放在一起，A为公共顶点，WAC=EIG=90。，BC=6,若MBC固定不动，将0A产G绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点。，E（点D不与点8重合，点E不与点C重合）求证：E2=DEBEi求3E8的值;3【拓展探究】如图2,在财吹中，加=9。，点D,E在边BC上'时的E=3。，且皿二仁DF请直接写出芸的值.t>C16. （2022秋广东九年级校考期中）如图，在正方形ABCO中，点N、M分别在边8C、8上，连接AM、AN、MM团MAN=45。,将0AMO绕点A顺时针旋转90°,点。与点B重合,得到朋8£易证：0AMWE0AN日从而得DM+BN=MN.【实践探究】（1）在图条件下，若CN=6,CM=8,则正方形ABcD的边长是.（2汝口图，点M、N分别在边。>、AB上，且BN=OM.点、E、尸分别在BM、DN上,团EA尸=45。，连接EF,猜想三条线段环、BE、。尸之间满足的数量关系，并说明理由.（3）【拓展应用I】如图，在矩形ABCo中，AB=6,AO=8,点M、N分别在边。C、BC上,连接AM,ANt已知团MAN=45。，BN=2t求OM的长.17. （2023浙江杭州九年级期中）已知正方形ABCO的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、OC的延长线交于点E、F,连接所.设CE=,CF=6（1）如图1,当/石4尸被对角线AC平分时，求、匕的值；（2）当AAEF是直角三角形时，求。、6的值;（3）如图3,探索NEA厂绕点A旋转的过程中，ACfiF的面积是否发生变化？请说明理由.18. （2023内蒙古赤峰统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图，把一个含有45。角的三角尺放在正方形A8C。中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45。角的两边CM,CN始终与正方形的边A。，AB所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得ACMN.【探究一】如图，把VCZ）M绕点C逆时针旋转90。得到一C4”，同时得到点H在直线A5上.求证：NaW=NCM/；【探究二】在图中，连接8。，分别交CM,CN于点、E,F.求证：CEFSACNM、【探究三】把三角尺旋转到如图所示位置，直线80与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连接AC交8。于点。，求g的值.图图图