18 全等与相似模型之十字模型（学生版）.docx

2）如图2,在正方形ABC。中,专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形，模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。D如图1,在正方形A8C。中，若E、尸分别是8C、CO上的点，Af1.1.BR则AE=BFo若E、F>G分别是BC、CD、AB上的点，AEIGF；则AE=GF93）如图3,在正方形ABCo中，若E、尸、G、”分别是BC、CD、A8、A。上的点，EH1.GFx则HE=GFo模型巧记：正方形内十字架模型，垂直定相等，相等不一定垂直.例1.（2223下广东课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至。边上的点Ef使。E=5,若折痕为PQ,则PQ的长为（）A.13B.14C.15D.16例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形ABCO中，AB=I2,点E,尸分别在边BC,8上，AE与8厂相交于点G,若BE=CF=5,则8G的长为例3.（2023安徽省芜湖市九年级期中）如I图，正方形A8CQ中，点E、尸、H分别是A8、BC.8的中点,CE.OF交于G,连接4G、HG.下列结论：®CE±DF；AG=Z）G；NCHG=NDAG；®2HG=AD.正确的有（）C. 3个D. 4个例4.（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图，在正方形4BC。中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接过点A作AFlZ）E,交BC于点尸，证明：DE=AF.（2）探究：如图，在正方形ABCO中，E,尸分别为边AB,Co上的点（点E,产不与正方形的顶点重合），连接所，作所的垂线分别交边AO,BC于点G,H,垂足为0.若E为48中点，DF=I,A8=4,求GH的长.（3）应用：如图，在正方形ABC。中，点E,尸分别在BC,CO上，BE=CF，BF,AE相交于点G.若AB=3,图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,则ABG的面积为,.,A8G的周长为.图图图模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图1,在矩形ABCO中，若正是AB上的点，5.DE1.AC,则竺二生.ACAB如图2,在矩形A88中，若石、尸分别是AB、CD上的点，且E/1.1.AC,则匕=生.ACAB如图3,在矩形ABeO中，若£、尸、M、N分别是A3、CD、AD.BC上的点，且EFJ_MM则与=4.例1.（2223下广西九年级期中）如图，把边长为48=21.BC=4且NB=45。的平行四边形ABCQ对折，使点8和O重合，求折痕MN的长.例2.（2223下河北九年级期中）如图，在矩形ABCZ）中，E、F、G、分别为4。、BC、48、CD边上的点，当瓦'1.G"时，证明：EF:GH=AB:BC.例3.（22-23贵港中考真题）已知：在矩形ABCO中，AB=6,AD=23,P是BC边上的一个动点，将矩形ABC。折叠，使点A与点尸重合，点0落在点G处，折痕为（1）如图1,当点尸与点C重合时,则线段硝=,EF=；（2）如图2,当点P与点B,C均不重合时，取E"的中点。，连接并延长Po与G尸的延长线交于点M,连接P尸，ME,MA.求证：四边形MEPf'是平行四边形：当tan/MAO=；时，求四边形MEP厂的面积.CD于息E,F,G”分别交A。，BC于点G,H.EF11BlM,N分别在边8C,8上，若生=匕求?GH15An=10,AMDN,点M,N分别在边8C,A8上，D1FCAEB图1模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）D等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1,已知等边AABC,BD=EC（或CD=AE）求证：力7=二百；（2）如图2,在满足（1）的条件下，点GHABV一的值；（3）如图3四边形A8C。中，0AC=9Oo,AB=AD1、DN'求加的值.DFNCD二7AEBaNB图2图3,则AO=BE,且AO和BE夹角为60。，ABC0例4.（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答如图1,矩形ABCo中，EFGHtM分别交48,ABDc2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如图2,在AABC中，AB=BC,ABlBC,。为BC中点,©BF1AD,4尸：FC=2:1,BDA=CDF,NAFB=NCFD,©ZAEC=135°R,（三）AE=-JlEC,以上七个结论中，可“知二得五”。：=>X3）直角三角形中的十字模型：如图3,在三角形ABe中，BC=kAB,AB1.BC,。为BC中点，BF±AD,则AB尸C=2：F,（相似）例1.（22-23成都市.八年级期中）如图，在等边aABC中，。、E分别是8C、AC上的点，SiBD=CE,AD结论是.与BE相交于点P.下列结论：AE=CO；AP=BE；N¾E=NA8E;NAPB=I20°,其中正确的（填序号）例2.（2223下淄博一模）如图，等边，ABC,点E,产分别在AC,8C边上，AE=CF1连接AF,BEt相交于点P.（1）求NB尸产的度数；（2）求证：BPBE=BFBC.例3.（2223下无锡阶段练习）如图，在边长为6的等边-AeC中，£）、上分别为边8C、AC上的点，AD与班相交于点尸，若BO=CE=2,则NAPE=°则AABP的周长为.例4.（2223下六安一模）如图1,等边以8C中，点。、后分别在8C、Ae上，RBD=CEt连接AZBE交于点E求证：ZAM=60;（2）如图2,连接C尸，若BD=；BC,判断CT与A。的位置关系并说明理B由；如图3,在（2）的条件下，点G在AE上，GF的延长线交80于从当AG=R7=5时，请直接写出线段厂”的长.图1图2图3例5.（2223上深圳期中）如图，在W,ABC中，ZABC=90。，84=8C=3,点。为BC边上的中点,连接AO,过点B作BE上AD于点E,延长应:交AC于点尸.则M的长为.例6.（2223下沧州二模）如图，在RtZABC中，NABC=90o,AB=BC,点。是线段A8上的一点，连接8,过点8作BG_1.8,分别交CO、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连接D/，下列结论错误的是（）C.当仄。、AO四点在同一个圆上时，DF=DBD,若黑，则S9S四例7.(2223广东期中)如图，在RtzAC8中，NACB=90。，AC=4,BC=3,点。为AC上一点，连接BO,E为AB上一点，CE工BD于点、F,当AD=CD时，求CE的长.例8.(22-23下深圳一模)如图，在RQABC中，AC=BCtNAC8=90。，点、D为BC边上的一点,连接AP,过点C作CE_1.AD于点尸，交AB于点E,连接OE.RF(1)若AE=28E,求证：AF=2CFi(2)如图，若AB=垃，DElBCt求弁的值.例9.（2223上长春阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】如图，在正方形ABCD中，点E、f分别是A8、AD上的两点，连接OE,CF,DE1.CF,则坐的值为.【类比探究】如图，在矩形ABC。中，AD=ItCD=4,点E是边AO上一点，连接CE,BD,且CEJ_8。，求段的值.【拓展延伸】如图，在册/WC中，NZAC3=90。，BD点。在BC边上，连结A。，过点C作CE_1.Az）于点E,CE的延长线交AB边于点尸.若AC=3,BC=4,QBF=-f则CO=.课后专项训练1. （2223下杭州一模）如图，在等边JABC的AC,BC边上各取一点M,N使AM=CN,AN,相交于点O.若AW=4,Mo=2,则BO的长是（）A.5B.6C.7D.8C.cos0CEP=D.HF2=EFCF2. （2023.湖北.九年级期末）如图，将边长为12Cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处,折痕为MN.若CE的长为7cm,则MN的长为（）D.无法求出3. （2023.南充市中考模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BE团AP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CH0BE于点G,交AB于点H,连接HF,下列结论正确的是（）4. （黑龙江省牡丹江市2021年中考数学真题试卷）如图，正方形ABC。的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.将正方形沿G尸折叠，使点A恰好与点E重合，连接AREF,GEt则四边形AGE尸的面积为（）A. 2iB. 25C. 6D. 55. （2223下东营中考模拟）如图,在Rt0ABC中,0ABC=9Oo,AB=Be,点D是线段AB上的一点，连结CD,过点B作BG团CD,分别交CD、CA于点E、F,与过点A且垂直于AB的直线相交于点G,连结DF,给出以下四个结论：契=空；若点D是AB的中点，则AF=变AB：当B、C、F、D四点在同一个圆上ABFC3其中正确的结论序号是（）时，DF=DB;若当=:，则SMBC=9sMMAD2C.D.6. （2223下江门模拟预测）如图，在R0A8C中，ACB=90o,AC=BC点Z）是线段BC上的一点，连接AO,过点。作CGaA。，分别交A£、AB于点G、E,与过点B且垂直于8。的直线相交于点R点。是BCRF的中点，连接则芸=；7. （2223K山西一模）如图，在R通48C中，BABC=90o,AB=BC=2,AE是BC边上的中线，过点8作AE的垂线8。，垂足为H,交AC于点。，则A。的长为8. （山东2022-2023学年九年级下学期期末数学试题）如图，正方形48Co中，点E、尸、H分别是A8、BC、CO的中点，CE、DF交于G,连接AG、HG.下列结论：AG=AO;AG0GH；13D4G=6O。；AGE=BCE.其中正确的有.9. （江西2023-2024学年九年级月考数学试题）在矩形纸片ABeQ中，A3=6,BC=8,将纸片折叠.如图1,若沿M对折，使点C恰好落在AO上得到点£求AE的长.如图2,若沿对角线Bz）折叠，使点C落在点尸处，BF与AD交于点E,求AE的长.如图3,若沿EF折叠，使点。与点A重合，求折痕所的长.10. （2023年成都市中考三模数学试题）已知正方形ABCQ的边长为6,动点瓦尸分别在边A&CD上运动，连接石尸.如图1,过8作8GJ_E产交边Ao于点G,交E尸于点i）若G为AO的中点，H为BG的中点,求AE的长;加探索线段AEDG,CF之间的数量关系，写出你的结论并证明.（2）如图2,将四边形EBb沿EF翻折得到四边形MCKIZ与相交于点P,调整点E和点F的位置使得线段BC始终经过顶点D.i）若点。到E户的距离OQ=M,求OP的长；0）点e到Ao的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由.图1图211.（四川省成都市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）【模型发现】如图1,在正方形ABCO中，E为边BC上一点（不与点8、C重合）,过点。作垂直于AE的一条宜线。尸，垂足为G,交AB于点产.小明发现可以通过证明：DAFABEAE=DF（不需证明）【模型探究】（1）如图2,在正方形ABC。中，P为边BC上一点（不与点8、C重合），M为线段CD上一点（不与C、O重合），过点M作MN_1.AP,垂足为G,交AB于点N,请直接写出DM与AN及线段Z）M、BN、Cp之间的数量关系.（2）如图3,在（1）的条件下，若垂足G恰好为AP的中点，连接8。，交MN于点H,连接P"并延长交边AO于点/,再连接BG,请探究线段8G、G”的数量关系；【拓展应用】（3）如图4,若正方形ABCD的边长为8,点M、N分别为边CD、AB上的点，过A作AGlMTV,已知AG=5,将正方形ABC。沿着MN翻折，BC的对应边BC恰好经过点A连接c,M交Ao于点。.过点Q作QR工MN,垂足为上求线段QR的长.（直接写出结论即可）BECBPCBPCBC图1图2图3图412.（成都市锦江区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）（1）问题探究：如图1,在正方形A8CQ,点、E,。分别在边BC,A6上，。_14后于点。，点G,尸分别在边CD、AB上，GPlAE.判断OQ与AE的数量关系：DQAEi推断：组的值为：:（无需证明）AE（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCO中，将矩形488沿G尸折叠，使点A落在5C边上AB3的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点、H,连接AE交G尸于点0.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用1：如图3,四边形ABC。中，NABC=90。，A=AD=W,BC=CD=5,DNAM,。,点N分别在边BC、A8上，求一的值.AMRFO=GF=?如，求b的长在（2）的条件下，连接C尸,（4）拓展应用2：如图2,13.（22-23下江苏九年级期中）平行四边形ABCQ中，BC=HAB,2产分别是边AO、。C上的点，AF±BE,G为垂足.（1）如图1,当=1,NABC=90。时，求证：AF=BE（3）如图3,当=1,sinZABC=,E为Ao的中点，直接写出喋的值.5BE图1图2图3（2）如图2,当=应，ZAfiC=90o,AB=2t求E户的最小值14.(2022年湖北中考模拟)知矩形AB(A中，不；=2,点E是BC边上一点，G尸_1.AE于点O,分别交ABGFAB.Co于点/、G.特例发现：如图1,若A=I,则大=；AE3 GF类比探究：如图2,若&=,请探究与的值，并写出探究过程；4 AE拓展应用：如图3,在(2)的条件下，将矩形48Co沿CF折叠，使点A恰好落在8C边上的点E处，得到四边形PE尸G,PE与CD交于点H,连接PC已知UmNCGp=g,GF=25,求PC的长15.(成都市锦江区2022-2023学年九年级下学期入学练习数学试题)(1)如图1,在正方形A88中,点E,尸分别是A&AO上的两点，连接。ECF,若DE上CF,则=的值为;CrCF(2)如图2,在矩形48Co中，AD=7,Co=4,点七是AD上的一点，连接。E,BDf若CEtBD,则二的值为:(3)如图3,在四边形48C。中，NA=N8=90。，点七为AB上一点，连接OE,过点C作。石的垂线交Eo的延长线于点G,交AO的延长线于点尸，求证：DEAB=CFADx(4)如图4,在R1.480中，ZBAD=90°,4)=18,将AABD沿3。翻折，点A落在点C处，得到点尸为线段A。上一动点，连接CA作DE上CF交AB于点E,垂足为点G,连接AG.设分=:，求CF3图1图2图3图416. （2023年广东省深圳市中考模拟数学试题）【问题解决】如图1,已知正方形ABCQ中，E,尸分别是8C,。力边上的点，AE与BF交于点G.当AE时，求证：AE=BF;【类比迁移】如图2,在菱形488中，E,尸分别是8C,S边上的点，AE与BF交于点G.若ZAEB=NBFc=W,求证：AE=BF.【拓展延伸】如图3,在四边形ABeQ中，E,尸分别是8C,C。边上的点，AE与BF交于点ARG.ZBAD=ZBCD=90。，AB=3,BC=4fBC=CD,若AE上BF,请求出一的值.BF图1图2图317. （2223下安徽模拟预测）如图1,在等边.ABC中，点O,E分别在边8C,AC上，且3。=CE,连接ARBE相交于点尸.求-A庄的度数；如图2,连接尸C,当A尸_1.R7时，求二的值；如图3,在（2）的条件下，将/8C沿48翻折，使点C落在点G处，连接G厂并延长交AB于点”，交BC于点I.当A5=6时，求W的长.18. （2223下深圳期中）课本再现如图1,在等边JABC中，E为边AC上一点，D为BC上一点,且M=CZ）,连接与BE相交于点尸.（1） Ao与BE的数量关系是,A。与虚构成的锐角夹角NBF。的度数是；深入探究（2）将图1中的A。延长至点G,使尸G=",连接BG,CG,如图2所示.求证：GA平分NBGC.（第一问的结论，本问可直接使用）。迁移应用（3）如图3,在等腰“IBC中，AB=AC,D,E分别是边BC,AC上的点，AO与成相交于点F.若NBAC=NBFD,且8/=3A凡求刍名值.19. （22-23下太原期末）综合与实践问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的数量关系.已知：在R/0ABC中，AC=BC,IMCB=90。，。是射线CB上的一个动点，连接A。，过点C作4。的垂线,垂足为点E,过点B作AC的平行线交CE的延长线于点F.独立思考：（1）如图1,当点。与点8重合时，小颖发现BF=AG请你帮她说明理由；如图2,当点。为BC中点时，直接写出线段8尸与AC的数量关系；合作交流：（3）如图3,当点。在线段CB上（不与。、B重合），请探究线段BF、8。与AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）.如图4,当点。在线段CB延长线上，请探究线段8尸、BO与AC之间的数量关系（要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由）.20. （2223下渝北阶段练习）/8C是等边三角形，点。、E分别在AC、BC上，且CD=8E,连接AE、8£）交于点M.如图1,求NAMD的度数；（2）如图2,以AB为边作等边ABN,连接MN,求证：AM+BM=MN；如图3,在（2）的条件下，延长AE、NS交于点尸，点G在线段AN上，且BF=NG,连接BG交MN于点“，若AFw6,MN=6J,直接写出需的值.（提示：可过点、G作GP工MN交NM于点、P,过点8作BQj于点Q,作1.AF于点R）