18.1.2平行四边形的判定及三角形的中位线例题精析及练习.docx

思维导图平行四边形的判定及三角形的中位线例题精析及练习两组对角分别相等一两组对边分别平行平行四边形的判定一一组对边平行且相等一两组对边分别相等J对角线互相平分三角形的中位线二连接三角形两边中点的线段T性质HZ平行于第三边并且等于第三边的一半重难点分析重点分析：I.平行四边形的判定方法大致分为三类：（1）根据边判断；（2）根据角判断；（3）根据对角线判断.具体选择方法如下表：已知条件选择的判定方法边两组对边分别平行定义两组对边分别相等判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）一组对边平行且相等判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）角两组对角分别相等判定定理（两组对角分别相等的四边形是谢亍四边形）对角线互相平分判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）2 .三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.3 .三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.难点分析：1.在证明一个四边形是平行四边形时，如果已知一组对边平行，可以证明这组对边相等或另一组对边平行；如果已知一组对边相等，可以证明这组对边平行或另一组对边相等.4 .三角形的中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别.5 .一个三角形中共有三条中位线，它们可以重新围成一个新的三角形，并且新的三角形的周长是原三角形周长的一半.6 .利用三角形的中位线既可以证明两条直线平行（位置关系），又可以证明线段的相等或倍分关系.例题精析例1顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形，从ABCD；BC=AD;NA=NC;NB=ND四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（）.A.5种B.4种C3种D.1种思路点拨根据平行四边形的判定定理可得出答案.解题过程当选择时,.AB"CD,.NA+ND=18()o,NB+NC=180。.NA=NC,.NB=ND.根据两组对角分别相等的四边形是平行1四边形可判定四边形ABCD为平行四边形.当选择时，同理可证得四边形ABCD为平行四边形.当选择时，直接根据两期寸角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形.方法归纳本题主要考直平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.易错误区一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形.例2如图，已知ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EFDG,且EF=DG.思路点拨连接DE,FG,由BD与CE为ABC的中线利用中位线定理得到DE与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到DE与FG平行且相等，进而得到四边形DEFG为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证.解题过程如图.连接DE,FG.VBD.CE是ABC的中线.，D,E分别是AC,AB的中点二DEIlBC,DE=BC.4同理可得FGHBC,FG=BC,:.DEHFG,DE=FG.二四邮乡DEFG是曲亍四翊幺二EFDG,且EF=DG.方法归纳本题考杳三角形的中位线定理以及平行四边形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解本题的关键.易错误区三角形的中位线定理既可以判断线段之间的位置关系又可以判断线段的数量关系,因此本题可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定平行四边形，正确选择判定定理很重要.例3如图.已知四边形ABCD为平行四边形、BE_1.AC于点E,DF_1.AC于点F.求证:AE=CF.若M.N分别为边AD.BC上的点且DM=BN,求证：四边形MENF是平行四边形.思路点拨(1)由平行四边形的性质可得AB=CD.ABCD.l4AAS,pilEABEgACDF,从而可得AE=CF.(2)由“SAS”可证AME乌ZCNE从而可得ME=NF,NAEM=NCFN,进而可得MENF,即可证四边形MENF是平行四边形.：.ZBAC=ZDCA.VBE±AC,DF±AC,ZAEB=ZCFD=90o./.ABECDF(AAS).AE=CF.(2);四边形ABCD是格亍四4O8C,40=BC.:.1.DAC=1.BCA.VDM=BN,，AM=CN.又,AE=CF,/.AMECNF(SAS).ME=NF,ZAEM=ZCFN.：.ZMEF=ZNFE.*.ME/NF.四边形MENF是平行四边形.方法归纳本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是解答本题的关键.易错误区证明四边形是平行四边形可以用一组对边平行且相等证明，但要注意“一组对边平行而另一组对边相等的四例4如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,BEAC,DE交AC的延长线于点F,交BE于点E.AB边形不一定是平行四边形”，证明过程要注意推理完整，定理要用正确.求证:DF=FE.若AC=2CF.ZADC=60o,AC±DC.<BE的长.在的条件下.求四边形ABED的面积.思路点拨(1)延长DC交BE于点M,证明CF为八DME的中位线即可.在RtADC中利用勾股定理求解即可(3)求四边形ABED的面积,可分解为求ACD,ACB.MBCDME的面积,然后求四个三角形的面积之和即可.解题过程如图,延长DC交BE于点M.VBE7AC,ABDC,四边形ABMC是平行四边形.ACM=AB=DC,BPC为DM的中点.又BEAC,.,.CF为DME的中位线.DF=FE.(2)由(1)得CF是DME的中位线.ME=2CF.又/AC=2CF,四邮乡ABMC是平亍四边形,，ME=AC=BM.XVAC±DC,ZADC=60o,AD=a,三RIAADC中,OC=EO=/4C=VAD2-DC2=.BE=BM+ME=2AC=3,(3)由平行四边形的性质易证ACDCABBMC,S四硼ABED=3Sacd+SMmq由可知Sacd=ACCD=13132-Xa×-a=az.2228又在DME中,/DME=/DCF=90。,DM=2CD=a,ME=AC=3,SDME=-MEDM=j×a×a=2.SgSlS黜为t=3scd+S皿E=方法归纳本题结合三角形的有关知识综合考杳了平行四边形的性质与判定，解题的关键是理解中位线的定义，会用勾股定理求解直角三角形，会计算一些简单的四边形的面积.易错误区本题中根据的亍四边形的判定与性质说明C是DM的中点是关键步骤，要详细叙述.探究提升例已知两个共有一个顶点的等腰直角三角形ABC、等腰直角三角形CEF,/ABC=/CEF=90。.连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.如图1,当CB与CE在同一条直线上时,求证:MBCF.(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长.如图2.当NBCE=45。时,求证:BM=ME.思路点拨证明两直线平行，可借助三角形的中位线定理或者平行线的判定定理(2)根据三角形的中位线定理以及等腰直角三角形的性质求解(3)根据三角形的中位线定理及全等三角形的判定与性质可证.解题过程(【)证法一:如图3,延长AB交CF于点D,则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，.,.AB=BC=BD./.B为线段AD的中点.又M为线段AF的中点，二.BM为AADF的中位线.BMCF.证法二：如图4,延长BM交EF于点D.,.ZABC=ZCEF=90o,：,AB±CE,EF±CE.AB/EF.*.NBAM=NDFM.TM是AF的中点,AM=MF.(BAM=Z-DFM,在ABM和FDM中,.AM=FM,UAMB=乙FMD,ABMFDM(ASA).AB=DF.VBE=CE-BC,DE=EF-DF,BE=DE.：.BDE0腰三三角形.:,乙EBM=45°=乙ECF.：.MBCF.(2)如图5,分别延长FE与CA交于点G,同时延长AB交CF于点D,则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形.：.EF=GE=CE=2a,CG=CF=2a.*.E为FG中点.又.M为AF中点,ME=aG.CG=CF=22,CA=CD=>2a,AG=DF=>2a.又由(1)中证明可知BM=IDF,BM=ME=×2a=ya.证法一如图6.延长AB交CE于点D.连接DF,则易知ABCBCD均为等腰直角三角形，/.AB=BC=BD,AC=CD.*.B为AD中点.又为AF中点.8M=0F.延长FE.CB交于点G,连接AG,则易知.CEF与CEG均为等腰直角三角形,CE=EF=EG,CF=CG,E为FG中点.又TM为AF中点,.ME=34G.在AACG和ADCF中,.Qcg之鼠名45。,/.ACG5DCF(SAS).DF=AG./.BM=ME.证法二:如图7.延长BM交CF于点D,连接BE,DE.：NBCE=45°,NACD=I35°.BAC+1.ACF=45°+135°=180°.ABCF.ZBAM=ZDFm.又,.M是AF的中点.*.AM=FM.(BAM=CDFM,在ABM和FDM中,.AM=FM,AMB="MD,.,.ABM5FDM(ASA).,.AB=DF5BM=DM.,.AB=BC=DE在ABCE和ADFE中,.ucd瑟245。,BCEDFE(SAS).BE=DE,ZBEC=ZDEf./.ZBED=ZBEC+ZCED=NDEF+ZCED=ZCEF=90o.BDE是等腰直角三角形.又.BM=DM,：.BM=ME=FD,PBM=ME.方法归纳本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点.易错误区本题中有多个等腰直角三角形，还有多对相等的边以及相等的角，因此解法灵活多样，解答本题的关键是通过作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形.同学们要多做此类题培养发散性思维，把多种知识点融会贯通.专项训练拓展训练A组I.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）.A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边相等，一组邻角相等C一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，一组对角相等2 .在四边形ABCD中,对角线ACfBD相交于点O,给出下列四组条件：ABCD,ADBC;AB=CD,AD=BC;Ao=CO,BO=DO;ABCD,AD=BC其中一定能判定这个四边形是平行四边形的翱牛共有（）.A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在BC上,DE是NAEF的平分线,若/C=80。厕NEFB的度数是（）.4.如图在ABC中,M是BC边的中点,AN平分NBACtBN1ANJ于点N,若AB=8,MN=2,则AC的长为（）.A.8B.10C.I2D.145 .如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E,F在BD上.要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的f条件是.（填一个即可）6 .如图,D,E分别为ABC的边AC,BC的中点.将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处.若CDE=48。.则NAPD=.7 .如图在ABC中,/ABC=90AB=8,BC=6若DE是ABC的中位线,延长DE交ABC的外角ZACM的平分线于点F,贝I线段D（第7题）8 .如图,在四边形ABCD中48=DC,E是AB边上一点，CE=AB,1.A+1.ADC=180o,DF18C,垂足为F,交CE于点G.连接DE,EF.四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.求证:1.AED=90°-DCE.若E是AB边的中点.求证:乙EFB=DEF.9 .如图在ABC中,AB=AC,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,BE,F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.(2)若A=90。”求证:FG_1.FH.若A=80。,求NGFH的度数（第9题）10 .如图,在ABCD中,对角线ACBD相交于点OEF是对角线AC上的两点.下列条件中，不一定能判定四边形DEBF是平行四边形的是().A.OE=OFB.DE=BFC.ZADE=ZCBFD.ZABE=ZCDF11.如图.A.B为定点,定直线I/AB,P是1上一动点MN分别为PATB的中点,下列各值:线段MN的长;APAB的周长:APMN的面积;直线MN,AB之间的距离；/APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是（）.A.(2)B.C.D.(4)(三)（第11题）（第12题）（第13题）12 .如图.EF是ABC的中位线.O是EF上一点.且满足（OE=20/以ABC的面积与AOC的面积之比为（）.A.2:lB.3:2C.5:3D.3:l13 .如图.在四边形BCDE中,BC1CD,DE14814瓦,垂足分别为CDABeAC,M,N,F分别为AB,AE,BE的中点.连接MN.MF,NF.当BC=4,DE=5,NFMN=45。时,BE的长为.14 .如图.在等边三角形ABC中,D,E两点分别在边BC,AC上.BD=CE以AD为边作等边三角形ADF,连接BE,EF,CF.（I）求证:ACEF是等边三角形.求证：四边形BDFE是平行四边形.若AE=2,EF=4.求四边形BDFE的面积.（第14题）15 .如图1.在四边形ABCD中,AB=CDEF分别是BC,AD的中点,连接EF并延长，分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则乙BME=“NE（不需证明）.（温馨提示：连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理，证明HE=HE从而NHFE=NHEf,再利用召,可证彳导BME=ZCNE）如图2.在四边形ADBC中.AB与CD相交于点O.AB=CO,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF.分别交DC.AB于点M,N.判断OMN的形状，请直接写出结论.如图3.在ABC中.AOAB点D在AC上MB=CDtE,F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若/-EFC=60。,连接GD,判断AGD的形状并证明.（第15题）走进重高1.【舟山】如图在ABC中,AB=AC=8点EEG分别在边AB,BC,AC上.EFAC,GFAB厕四边形AEFG的周长是（）.A.32B.24C.16（第1题）2 .【铜仁】如图,D是ABC内一点,BD"1.CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为（）.A.12B.14C.24D.213 .【临沂】如图，在正六边形ABCDEF中，M,N是对角线BE上的两点添力吓列条件中的T：BM=EN;NFAN=/CDM;AM=DN;NAMB=NDNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是（填序号）.4 .如图在QABCD中,AE平分NBAD交BC边于点E,EFAE交CD边于点F,延长BA至I点G,使AG=CF,若.BC=14,DF=6,FG=6,则AE=.5 .【巴中】如图在。ABCD中过点B作8MIAC于点E,交CD于点M,过点D作DNlAC于点F,交AB于点N.（1）求证：四边形BMDN是平行四边形.已知AF=I2,EM=5,求AN的长.（第5题）高分夺冠1.如图在ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN,EM若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm厕图中涂色部分的面积为（）.A.Icm2B.1.5cm2C.2cm2D.3cm2（第1题）（第2题）2 .【武汉】如图,在ABC,ACB=60。,AC=1,D是边B的中点,E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长，则DE的长是一3 .如图在ABC中,48=2AC,AF=）8,D,E分别为AB,BC的中点,EF与CA的延长线交于点G,求证:AF=AG.4（第3题）4 .如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=M0,分别过C,D两点作边BC,AD的垂线，设两条垂线的交点为P.求证：乙PAD=乙PBC.