特色题型专练06 最值问题-四边形（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之最值问题四边形I一四边形I1.将军饮马（最小值）2.中位线最值三=3.两动一定I4.两定一定长1卜.两点最值I题型一、将军饮马（最小值）1 .如图，菱形ABCQ中，NBAZ）=60。,M是A8的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是1.则AB长为（）A.2B.1C.23D.3【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接BD,PD,MD,由菱形的性质得到AB=Ar>,AC垂直平分8。，PD=PB,故当P、。、M三点共线时，PM+PD最小，即此时PM+PB最小,则DM=B证明&ZHD是等边三角形,得到DMJ.AB,NAC）M=30。,求出AM=立。M=I,则AB=2A=2.3【详解】解：如图所示，连接BDPD,MD,由菱形的性质可得AB=Ar>AC垂直平分80,：.PD=PB'PM+PB=PM+PD,工当P、D、M三点共线时，PM+ED最小,即此时HW+依最小，DM=6YNBW=60。，二84。是等边三角形，TM是AB的中点，：DMJ.AB,ZAzW=30。，/7AM=XoM=1,3：,AB=IAM=2,故选；A.2.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点。是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，连接/%,PQ,则-PBQ周长的最小值是（）A.5B.6+1C.8D.5+l【答案】D【分析】本题考查了正方形的对称性，线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点B与点Z）是对称点，连接。Q，交ACr点P,此时，尸8。周长最小，结合边长为2的止方形ABC。中，点。是BC的中点，得到BQ=QC=g8C=l,BC=CO=2,/88=90。，根据勾股定理计算即可.【详解】.I边长为2的正方形48CD中，点。是BC的中点，BQ=QC=gBC=l,BC=8=2,8Co=90。，点B与点。是对称点，连接DQ,交ACf点P,此时8Q周长最小，：,DQ=yCQ2+CD2=5JJBQ周长的最小值是尸B+PQ+BQ=QQ+BQ=4+1,故选D.3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=r2+2x+3的图象与X轴交于点A,B,与），轴交于点C,点P在线段BC上，则尸A+尸。的最小值是一.AqBX【答案】5【分析】先求出C(0,3),8(3,0),A(TO),过点B、C分别作X轴、y轴的垂线，两线交于点7,连接尸丁，证明四边形是正方形，旦7(3,3),即有点。与点T关于直线BC对称，则有R4+PO=¾+PT,当A、P、T三点共线时¼+P最小，即E4+尸O最小，最小值为AT,问题随之得解.【详解】解：在y=-+2x+3中，当X=O时，y=3, C(0,3), OC=3；当，=0时，一f+2x+3=0,解得：再=T,占=3, 6(3,0),A(-l,0),O8=3,OA=I;过点8、C分别作X轴、y轴的垂线，两线交于点丁，连接尸丁，如图，.,.CTA-OC.BT1.OB, OB1.OC,OB=OC=3, 四边形087C是正方形，且T(3,3), 点。与点厂关于在线BC对称，PO=PT,.,.PA+PO=PA+PT,当A、尸、T三点共线时¼+P最小，即尸A+PO最小，最小值为AT,VA(-1,O),7(3,3),<4+PO的最小值AT=J(3+l)-+(3-0)2=5,故答案为：5.【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形OBTC是正方形，且7(3,3),得出点O与点T关于直线BC对称，是解题的关键.4.如图，在正方形ABa)中，E是AS上一点，BE=2,AE=3BE,则AO=,若是AC上一动点,则PB+PE的最小值是.【答案】810【分析】忏先根据题意就得AE、A5的值，再根据正方形的性质求得AD的值；连接OE,交AC于尸，连接BP,则此时P8+PE的值最小，由题意易知8、。关于AC对称，进而可得依=),所以PB+PE=PD+PE=DE,利用勾股定理解得OE的值，即可获得答案.【详解】解：.BE=2,AE=3BE,：AE=3BE=3x2=6,AB=AE+BE=6+2=St.四边形ABCO为正方形，：.AD=AB=8：如下图，连接OE,交AC于尸，连接BP,则此时P4+PE的值最小,四边形48Co是正方形，A。关于AC对称，：,PB=PD,：,PB+PE=PD+PE=DE,VAE=6,D=8,:DE=AD2÷AE2=82÷62=10*故依+P石的最小值是10.故答案为：8,10.【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键.题型二、中位线最值1 .如图，在菱形ABC。中，E,尸分别是边C。，BC上的动点，连结AE,EF,G,“分别为AE,叱的中点，连结GH.若N460。，Bc=4,则GH的最小值为（）【答案】C【分析】连接AF,利用三角形中位浅定理，可知G"二gA尸，求*AF的最小值即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示:四边形ABCZ)是菱形，.AB=BC=4,G,，分别为AE,E尸的中点，.GH是钻尸的中位线，.GH=-AF,2当A尸IBC时，AF最小，G”得到最小值,则ZAF8=90。，,ZB=60oZAF=90o-Z=30o,.BF=-AB=2iAF=yAB2-BF2=23,2.Gh=1.af=B2即G的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.2 .如图，在菱形ABCO中，E,尸分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,”分别为AE,石F的C.y【答案】D则;的最小值为（【分析】连接AF,利用三角形中位线定理，可知GH尸，求出AF的最小值即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示:四边形ABCO是菱形，.AB=BC=2BG,分别为AE,叱的中点，.G”是AAE尸的中位线，.GH=-AF,2当从产J1.BC时，AF最小，的得到最小值，则ZAfB=90。，,4=45°,.j5尸是等腰直角三角形，.AF=-A=-×23=6,22-Oo=,2即用的最小值为巫，2故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.3.如图，在YABCD中，ZC=120,AD=2AB=S,点H,G分别是边C。，BC上的动点，连接A”,HG,点E为A的中点，点尸为G”的中点，连接E厂，则痔的最大值与最小值的差为.【答案】3【分析】连接AG,AC,过A作AM_1.BC于M；由题意得/3=60。，则可求得AW,的长，从而由勾股定理求得AC；山三角形中位线定理得M=7AG,当G与。重合时，AG最长；当G与M重合时，AG最2短，从而可求得E户的最大值与最小值的差.【详解】解：如图，连接AG,AC,过4作AM_1.8C于M：则ZAMfi=ZAMC=90。；四边形ABCD是平行四边形，且NC=120,AB/CDtBC=AD=S：./3=180。-NC=60。；ZBAA/=90°-60°=30°：VAD=2AB=St：.A8=4,/.BM=-AB=2,2由勾股定理得：AM=JA-BM?=2J,MC=Be-BM=8-2=6,由勾股定理得AC=JAM2+mc?=J12+36=4>:；点E为A”的中点，点F为G的中点，：.EF=-AG;2当G与。重合时，AG最长且为4J,此时M=2J:当G与M重合时，AG最短且为2J,此时EF=6：JE/的最大值与最小值的差为2J-6=6故答案为：75.【点出】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理.连接AG利用三角形中位线定理是关键.4.如图，在菱形ABCO中，AB=8,/8=45。，E,尸分别是过CO,BC上的动点，连接AE,EF,G,”分别为AE,石尸的中点，连接G”，则GH的最小值为【答案】22【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知G"=A/，求出A尸的最小值，当AF_1.BC时，根报闻线段最短，即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示：四边形ABCO是菱形，：AB=BC=8>VG,分别为AE,E尸的中点，JGH是AAEF的中位线，：.GH=-AF,2当APJ1.BC时，AF最小，G”得到最小值,则ZAF=90°,VZB=45°,ZA8尸是等腰直角三角形，：,AF=A=-×8=42.22：GH=2&，即G的最小值为2五，【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.题型三、两动一定1 .已知矩形ABCQ中A6=6,NABO=60o,M,N分别是BDAo上的动点，则A+MV的最小值为（A.6B.6+65C.9D.12【答案】C【分析】作点A关于80的对称点4,交80卜点。，连接AM,AN,A。，先根据轴对称的性质可行AM=AM,从而可得A"+MN=AM+MN,再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当AN_1.AD时,AW取得最小值,AM+MV取得最小值，然后根据含30。角的直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得.【详解】解：如图，作点A关于8。的对称点4,交80于点0,连接AM,AMAD,由轴对称的性质得：AM=AM,A,O=AO,AA±BD,.AM+MN=A,M+MN,由两点之间线段最短得：当点A,M,N共线时，AM+MN取最小值，最小值为AN,由垂线段最短得：当AN_1.AD时，4N取得最小值，在矩形ABa）中，AB=6,NABO=60。，：ZADB=30°,BD=2,AB=12»AZ)=>JbD2-AB2=6>3»在RtAOz)中，AO=-AD=33,DO=yAD2-AO2=9,2.AA'=AO+A,O=2AO=6/又Sa.ad=-ADAfN=-AA,DO,22arAAQO6尺9qAD63故AM+MN的最小值为9.故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，利用两点之间线段最短和乖线段最短得出当ANJ_A。时，4N取得最小值是解题关I.2.如上图所示，矩形A8CO,A8=6,BC=6出,点E是边A。上的一个动点，点尸是对角线8。上一个动点，连接班，EFf则8E+E尸的最小值是()A.6B.63C.12D.123【答案】B【分析】作点B关于AD的对称点8'，过点6'作&点G,交A。丁点，即可得到比：+所的最小值为B'G，再解直角三角形即可解答.【详解】解：作点3关于AD的对称点过点B'作BfG1.BD于点G,交AD于点H,如图：当B',E,尸三点共线，且BTj。时，即点E在点“处，点尸在点G处时，8E+B产的值最小.,AB=6,BC=63,BU=12,BD=62+(63)2=12,.ZAOB=30o,ZABD+ZBB,G=ZABD+ZADB=9QPt.N三rG=ZAf>B=30°,.,G=-×3=6.2故选：B.【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线.加冷1C【答案】80-2/-2+84【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径,解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径.作3.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=S,点、E、F分别为A。、8边上的点，且E尸的长为4,点G为EF的中点、，点P为BC上一动点,则P4+PG的最小值为.点A关于BC的对称点从连接必，DG,DH,可知当“、/OG长即可.【详解】解：作点A关于BC的对称点从连接“P,DH,C%P/C!/z¢Zl/Z/×1 /ZH ；DH-DGSGHWHP+PG=PA+PG, 当、P、G、。共线时，PA+PG最小，VAB=4,AD=8, 8»DH=s2+82=8>/2»YE产的长为4,点G为E尸的中点，.GD=2,）、G、。共线时，¼+PG最小，求出；H,如图所示：8五-2AP+PG,故答案为：8直-24.如图，在正方形A8C。中，点E在边Ao上，AE=2,点P、。分别是直线A汰BC上的两个动点,将AAEQ沿EQ翻折,使点A落在点尸处,连接EEQ尸，PF,P。，若正方形的边长是6,则尸D+尸产的最小值是.【答案】410-2【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.作点。关于BC的对称点。¢,连接P。',EO',由轴对称可知，DP=D,PPD+PF=PD+PF,乂EF=AE=2,即可推出当E、F、P、。共线时，QD+PF定值最小，最小值为4加-2.【详解】解：如图，作点D关于BC的对称点。¢,连接PQ',E6,在Rt石DDZ中，；OE=AD-AE=6-2=4,DD=2DC=2,:EE/=ED2+DD,2=42÷122=410,由轴对称可知，DP=D'P：PD+PF=PU+PF,：EF=AE=2,当E、RP、Zy共线时，P。+P尸定值最小，最小值为4加-2,QD+尸尸的最小值是4加-2,故答案为：411)-2题型四、两定一定长1 .如图，NAQB=90。，OC=2,。为OC中点，长为1的线段石尸（点厂在点E的下方）在直线。3上移动，连接£>E,CF,则。E+CF的最小值为（）【答案】B【分析】如图，作点。关于OB的对称点T,作77?08,使得77?=EF,连接CR交OB尸，在尸。的延长线上，取点E,使得所=1,连接EDE,此时力E+B的值最小.【详解】解：如图，作点。关于OB的对称克丁，作收03,使得77?=防，连接CR交OB于F,在尸。的延长线匕取点E,使得所=1，连接ET.DE,此时。E+C/的值最小.RBRT=EF=I,RT/EF,四边形是平行四边形,.,.ET=FR，D,T关于OB对称，.".ED=ET，.DE=RFf.DE+CF=RF+FC=RC,此时CR的值最小，最小值=yN+CT?=F+3?=M，故选：B.【点睛】本题考查轴对称一最短问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造特殊四边形解决最短问题，属于中考常考题型.2 .如图，在边长为10的正方形ABCO对角线上有E,尸两个动点，且AB=应EF，点P是BC中点,连接AEfPFf则AE+PF最小值为（）A.55B.105C.52D.10【答案】A【分析】取CD的中点Q,连接PQ，E。，证明四边形PQEF为平行四边形，求出AE+PF=AE+EQ,最后用勾股定理求出最小值.【详解】解：取8的中点。连接PQ,EQ,如卜图所示: 正方形ABCZ）的边长为10,：,AB=BC=CD=AD=O,ZADC=90ot BO是正方形ABCO的对角线， BD=近AB=U底，尸。是ACBO的角平分线，：,PQ=及BD=52,PBD,V AB=-JlEF»AB=IO,EF=52,：,PQ=EFyV PQ/BD,即尸。EF,.四边形PQE户为平行四边形，；PF=EQ,V AE+PF=AE+EQ,当A、E、Q三点共线时，AE+Pb的值最小，最小值就是AQ的长，Y点。时CD的中点，：,DQ=*CD=5,由勾股定理得，AQ=yAD2+DQ2=55,故选：A.【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键.3.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=3,煎E,产分别是ABCD上的点，EFlAC,垂足为点。,连接EC,AF,则EC+AF的最小值为.【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，勾股定理，分别以小、EC为边作平行四边形ECH/，连接AH,过点尸作产G3C交AB于点G,根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可，根据题意正确作出辅助线是解题的关键.【详解】解：分别以EREC为边作平行四边形EC"F,连接A”，过点尸作尸GBC交A8于点G,则FG=BC=3,FH=EC,H：AB=6，BC=3,AC=yAB2+BC2=62+32=35，VAAOG=ACOF,ZAOG+ABAC=90o,NCO/+NGFE=90°,/BAC=NGFE/ZABC=NFGE=90。,：.FGESitABC,FGAB,9FEAC,36即乐=丽解得EF=CH=复"2四边形ECHF是平行四边形,EF/CHf.AC±EF,：.ZACU=90。，在RtAcH中，由勾股定理得:AH=Jac2+CH2=(35)2+竽吟AF+FH=AF+EC,EC+EA的最小值为与2故答案为：y4.如图，在矩形ABCz)中，AB=S,BC=6,点E在边BC上，CE=2,若点尸、。分别为边C力与AB上两个动点，线段始终满足与AE垂直且垂足为尸，则AP+QE的最小值为【答案】55【分析】过点。作Q"2C。于点”.利用相似三角形的性质求出尸=3,设BQ=X,则C77=,PZ)=5%,AP+QE="?+(5K)?+GT不，求A尸+QE的最小值,相当于在X轴上找一点M(X,0),使得点M到，(。，4),K(5,6)的距离和最小，作点J关于X轴的对称点儿连接KJ¢,则KT=必后=5有，IhMJ+MK=MJf+MKKJ,=55,可得结论.【详解】解：如图，过点、Q作QH上CDT点H.AD四边形ABC。是矩形,.AB=CD=S,AZ)=BC=6,NB=NC=N0=900,CE=2,.BE=BC-CE=6-24,QH±CDt./8=NQHP=乙QHC=90°,二.四边形BC"。是矩形，.BQ=CH,BC=QH=6,QH/BC,.ZAQH=NB=90。，AE1.QP,:.ZQAF+ZAQP=90o,ZAQP+ZHQP=90°,:./BAE=/HQP,.入ABESQHP,.ABBEQHPH'.847=而，.PH=3,设8Q=x,!JCH=X,DP=5-x,:.AP+QE=62+(5-x)2+42,欲求AP+QE的最小值，相当于在X轴上找一点M(X,0),使得点”到J(0,4),K(5,6)的距离和最小，如图1中，K/图1作点J关于X轴的对称点J',连接KM,K(5,6),J'(OT),.CJ,=52+1O2=55*MJ+MK=MJ+MKKJ=5小,.JM+MK的最小值为55,二.AP+QE的最小值为5召.故答案为：55.【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.题型五、两点最值1 .如图，矩形ABCQ中，AB=6,BC=Io,点七在边AO上，且4E=2,户为边48上的一个动点，连接EA过点石作EG_1.M交直线BC于点G,连接尸G,若尸是AG的中点，则拉尸的最小值为()A.B.6C.5D.210【答案】A【分析】先找出尸点的运动轨迹.作EGiJ.5。于G,连接AG1,BE交于点O,作EG21.EB交BC的延长线于G.当尸点与A点重合时，G点与GI点重合，此时尸点与O点重合.当F点与B点重合时，G点与G2点重合，此时P点与C点重合，因此P点的运动轨迹就是线段。C当。尸_1.OC时，OP的值最小.由3C尸C。,列比例式求出OP的长即可.解：四边形ABCQ是矩形，.ZBAD=ZABC=NBCD=ZADC=90°,且OC=AB=6,AD=BC=10.当点尸与点A重合时，作EGJ.BC于G，则四边形ABGE是矩形.连接4G”BE交于点0,则。点是Aa的中点，也是函的中点,此时，P点与0点重合.当尸点与8点重合时，作EG?_1.网交BC的延长线于6-ADBC,:./AEB=NEBG?.又NBAE=/BEG?=900,.ABEEG2B,.AEBEBE=yAB2+AE2=62÷22=210.2_210"2iBG1解得BG?=20.设区2的中点为么则叫=10,2点与C点重合，P点的运动轨迹是线段OC.当。尸_1.OC时，OP的值最小.0点是3E的中点，。点是BG?的中点,：,OC是4EG?的中位线.OCEG2f:.ZBOC=ZBEG2=90°t:./BoC=ZDPC.NOBC+NoCB=90o,NOCB+NPCD=90o,.NoBC=NPCD,;.QBCPCD,.OCBC'DPDC,BO=1.BE=M,BC=TO,2：.OC=yBC2-BO2=71O2-(i)2=3K).3IO10.=,DP6解得力尸=幽.5故选：A.【点睛】本题是一道矩形中的动点问题，难度较大.主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，综合性较强.解题的关键是要找出P点的运动轨迹.2 .如图，在矩形ABCO中，A8=2,8C=4,P是对角线AC上的动点，连接OP,将直线OP绕点尸顺时针旋转，使旋转角等于/QAC,且QG_1.PG,即NQPG=NQAC连接CG,则CG最小值为（）【答案】C【分析】作。"_1.AC于”，连接HG延长HG交CO于F,作“E_1.CZ）于“，证明二ADHS/DG,得/DHG=NDAP=定值,则点G在射线HF上运动，故当CGtHF时,CG的值最小,再证H/=FC=1,可知"E=CG,利用等积法求出HE的长即可.【详解】解：如图，作£>_1.AC于“，连接“G延长”G交CO于作HE1.CD于E,四边形ABC。为矩形，/.CD=AB=2,ZADC=90°,.DG1.PG,DH工AC,：,NDGP=NDHA=9(T,：.ADHSPfXJf.ADDH''1)PDGZADH=ZPDGf：.ZADP=ZHDGt：._ADPS1.DHG,/.NO"G=NMP=定值,，点G在射线H尸上运动，当CG_1.”/时，CG的值最小,四边形A8。是矩形，ZADC=90o,/.NADH+NHDF=骄，*：NZMH+NADh=90°,，NHDF=ZDAH=NDHF,/.FD=FH,VZFCH+ZCDH=90°,/FHC+NFHD=琳,：.NFHC=NFCH,：.FH=FC=DF=-CD=X,2在Rb4)C中，；ZADC=90o,AD=4,CD=2t由勾股定理得：AC=AD2+CD2=42+22=25,.nuADDC4×245AC255/.CH=CD2-DH2=-,5.DHCH4CD5:ZCFG=ZHFEyZCGF=NHEF=90o,CF=HF,.二CGFaHEF(AAS),4.CG=HE=-t4CG的最小值为故选：C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形得出点G的运动路径是解题的关键.3.如图，在矩形ABCQ中，AB=6,AD=4.点E是Ae上的动点，点尸是线段AE上的点，且£尸=3AF,DE,C尸相交于点P,则OP的最大值为,最小值为.D-C/I,EH答案生叵迈1175【分析】设AF=X,可得族=3x,AE=4x,由矩形性质可得A8CZ),PD-+'OE,由勾股定理可得£)E=J41.>2+AE2=4Jf+1,推出尸。一一得出PO=即可求得答案.【详解】解：设A7=X,VEF=3AF,/.EF=3x,.*.AE=AF+EF=x+3x=4x,Y四边形ABC。是矩形，AB=6,AO=4,推出C*7E求得1,令x+2=r,则=-2,x+2AB/CD,AB=CD=6,AD=BC=4,ZA=ZB=90o,PCDPFEtPDCD11lPD6=,即=fPEEFDE-PD3x：.PD=-DE,x+2在RtzADE中，DE=AD2+E2=42+(4x)2=4x2+l,°八8TTx+2令x+2=f,则X=，一2,1+，5V0<AE6,BP0<4x6,3.,.0<X一,2370</2-,J2<z,73.当时，即=时，PO取得最大值,最大值为：84呜寻g=平当时，即X=；时，PD取得最小值,最小值为：8A=竽；故答案为：殳叵，延.【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键.4.如图，正方形43CQ的边长为4,E是CO边上的一点，连接AE,过B点作斯J于点F,点G与尸关于CD对称，”为CG的中点，则A，的最小值为【答案】35-l-l+35【分析】将正方形ABa）沿着C。翻折得正方形ATrC。，连接AE,BG,以A夕为直径作。，连接CA并延长至M,使AM=AC,连接"G,根据三角形中位线定理可得4=（MG,当MG最小时，AH的值最小.由点G在以A"为直径的OO上运动，当且仅当M、G、。三点共线时，MG=Mo-OG=M0-2的值最小，过点。作ONAO,过点M作A8的平行线交ON于N,延长Z）A交MN于K,可证得aM4K均ACB（AAS）,四边形40NK是矩形，可得MN=6,ON=I2,再运用勾股定理即可求得答窠.【详解】解：将正方形48C。沿着8翻折得正方形AWcD,连接AE,BG,以A夕为直径作O,连接CA并延长至M,使AM=AC,连接MG,如图，/.AH=-MGf2当MG最小时，A”的值最小.VBFlAE,点G与尸关于。C对称，BG1.AE,即ZA'G3=90°,，点G在以A夕为直径的二）0上运动，当且仅当M、G、。三点共线时，MG=MO-OG=M0-2的值最小,过点。作ONAD,过点M作A8的平行线交QV于N,延长DA交MN于K,则NMKA=NV=90°,VZMAK=ZCAD=ZACB=45°,ZMKA=ZABC=90°,AM=AC,._M4KRACO(AAS),AK=12,：NZrKN=ZTV=ZDABf=90o,.四边形40NK是矩形，；ON=A!K=12,KN=A!O=2,：,MN=4+2=6,:MO=MN2+ON2=62÷122=65，G=65-2<>.A=(65-2)=35-l故答案为：3>/51【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性防，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，圆的性质等，涉及知识点较多，综合性较强，属于填空压轴题.题型六、平行线之间距离最短1.如图，在R1.ABC中，2B90?,AB=4,BC=3,点七在48上，以AC为对角线的所有,ADCE中,对角线OE的最小值是()【答案】B【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当Z)E"1.BA时，OE取最小值，则。E是,ABC的中位线，得出OE=gc8=1.5,即可得出答案.【详解】解：在RtaABC中，?B90?,.BC±AB.四边形ADCE是平行四边形，/.OD=OE»O=OC.当OEj_明时，线段OE最短,.DECB,.0E是一ABC的中位线，.'.OE=-CB=XS12ED=2OE=3.故选：B.【点睹】本题主要考查平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短.熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.2.如图，在RtAiABC中，/6=90。，BC=4,AC=5,点。在8C上，以AC为对角线的所有平行四边形ADeE中，OE的最小值是（）6【答案】AC.8D.10【分析】根据点到直线垂线段最短及平行线间距离处处相等，结合勾股定理即可得到答案.【详解】解：/3=90。，BC=4,AC=5,:ab=Jac2-BC2=3>,：四边形ADCE是平行四边形,：BC/AEf 当OE1.BC时，OE最小， ：/3=90。， 四边形A8DE是矩形，：DE=AB=3,故选A.【点睛】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短.3.如图，在Rt.ABC中，/8=90。，AC=10,8C=8,点力是线段BC上一动点，以AO,CD为邻边作ADCEf则对角线DE的最小值是【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，勾股定理；平行四边形AoeE的对角线的交点是AC的中点。，当OO_1.8C时，OD最小，即OE最小，根据三角形中位线定理即可求解.【详解】解：如图所示，设AeoE交于点。，平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点。,当OO_1.8C时，0。最小，即OE最小.在RtABC中，/8=90。，AC=10,BC=SAB=102-82=6ODlBC,BClABfOD/AB,又OC=OA,.0D是ABC的中位线,；.0D=WAB,:.DE=2OD=AB=6.故答案为：6.4.如图，三角形材料A8C,?890?,BC=4,AC=5,点D在边BC上,添加一块三角形材料ACE,加工成AOCE的材料，则4XE的对角线DE的最小值是.【分析】根据勾股定理求出AB=JAC2_B灰=3,易得CA£，则当OEJ_3C时，OE取最小值，根据平行线间的距离处处相等，即可得出OE=48=3.【详解】解：V?B90?,BC=4,AC=5,:B=AC2-BC2=3»四边形ADCE为平行四边形，CD/AEf当DE_1.BC时，OE取最小值，：?B90?,.*.DE=AB=3,故答案为：3.【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；平行四边形对边互相平行；平行线间的距离处处相等.题型七、斜中定值最值1 .如图，在平面直角坐标系中，正方形48C。的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4,则线段OC长的最大值是（）【答案】B2+25C.4应D.8【分析】取A8的中点E,连接OKCE,则8E=gA4,根据正方形的性质及勾股定理得出CE=2石,0E=AB=2t结合图形得出当点E在线段OC上时，线段OC的长最大，即可求解.【详解】解：如图，取A3的中点E,连接0区CE,则BE=Jab,.ZABC=9()°,AB=BC=4,则3£448=2,2在R1.CEB中，NCBE=90。,由勾股定理，得CE=JBCBE?=2小，Y在RtAoB中，/力。笈=90。，点E是斜边AB的中点，：.OE=-AB=2f2由图可知：OC0E+EC,当点E在线段OC上时，线段OC的长最大，最大值是OE+CE=2+2有，故选B.【点睛】题目主要考查正方形的性屈，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.2 .如图，己知NMON=90。，线段AB长为6,AB两端分别在。M、QN上滑动，以AB为边作正方形A8C。，对角线AC、8。相交于点P,连接0C.则OC的最大值为（）【答案】CC.3+35D.9【分析】取48的中点E,连接OE、CE,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得OE=M=*,再根据勾股定理求得CE=JBE，+CB=3有，即可根据“两点之间线段最短”得OC3+3后,则。C的最大值为3+3有，于是得到问题的答案.【详解】解：取AB的中点E,连接。E、CE,QzAOB=90。，线段AB长为6,.OE=BE=IA3=3,2四边形ABa）是正方形，/.ZCBE=90o,CB=AB=6,:.CE=BE2+CB2=32+62=35，OCWoE+CE,OC3+3j5，OC的最大值为3+36，故选：C.【点睛】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知