特色题型专练09 三大运动-旋转（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之三大运动旋转几何篇题型一、与三角形结合1.如图,在RtZXABC中，NAC8=90。，ZA=60o,AC=3,将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到,此时点“恰好在AB边上，连接83'，则38'的长为（）B,A,A.6B.32C.33D.3【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角直角三角形性质等知识；由旋转的性质及已知得丽是等边三角形，由含30度角百.角三角形性质及勾股定理即可求解.【详解】解：T3ABC绕点C按逆时针方向旋转得到AB=A,B,CB=CB,1AC=AC=3, ZAC4'=N8C8'=60o,AB=6, CB夕是等边三角形，：,NCB9=60。，.NA=60。，ZABC=30°, ZABB,=90o,：由勾股定理得BBf=yAfB,2-AB2=33-故选：C.2 .如图，在CABe中，ZeAC=138°,将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ZUEC,若点"刚好落在BC边上，且A8'=C?,则NC的度数为（）A.16oB.15oC.14oD.13°【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键.由旋转的性质可得NC=Nc',AB=ABr,由等腰三角形的性质可得NC=NcAB',ZB=ZABfB,由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.【详解】解：Bt=CB,/.ZC=ZCAB.ZAB,B=ZC+ZC4B,=2ZC,将,ABC绕点A按逆时针方向旋转得到AB,C,ZC=ZC,AB=ABt,.NB=ZAB'B=2NC,QZB÷ZC+ZG4B=180°,.3ZC=180o-138o,ZC=14°,ZC=ZC=14°,故选：C.3 .如图Rt/)所中，Nz)EF=90o,M是斜边。”的中点，将DEF绕点尸按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的£处，点。落在W处，若DE=2历,EF=46则巫'的长为.【答案】y/6.4【分析】本题利用勾股定理算出叱，根据直角三角形性质得到OM=EM=尸M=To尸=5,利用等腰三角形性质推出ZMEF=ZMFE,利用旋转的性质和等腰三角形性质得到N庄E=NFEE,证明MEFs4feE,根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题.【详解】解：ZZ)EF=90o,DE=2厉,EF=4,.DF=yDE2+EF2=10>.M是斜边。尸的中点，DM=EM=FM=1.DF=5,2?MEF?MFE,由旋转的性质可知，EF=EfF,.FEE=AFEE,:.ZMEF=FEE=ZMFE=ZJEE:aMEFSdFEE,MEEF.4.=fEFEE,.J三=些，解得E£=些42EE5故答案为：y.【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形性质、旋转的性质、等腰三角形性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题.4 .如图，已知-ABC中，AC=3、BC=4、AB=5,将；ABC绕点C旋转，使点A落在边AB上的点D处，此时点8落在点E,OE与BC相交于点尸，则CF长为.【分析】由勾股定理的逆定理可求NAC8=90。，由旋转的性质可得Co=AC=3,BC=CE=4,ZACB=DCE=90of由相似三角形的性质分别求出。尸，C尸的长，即可求解.【详解】解：.AC=3、BC=4、A=5,.AC2+BC2=AB2.Z4CB=90o,如图，过点C作CNJ.AB于N,T.AN=>JAC2-CN2=1J9-=IT.将JBC绕点C旋转,.CD=AC=3tBC=CE=4,ZACB=NDCE=90。,9AN=DN=BD=q,.B=NE,ZDFB=ZCFEfAbdFsAECF,BDDFBF"'CECFEF,7:.MDF4-C产,7CF5-DFDF1.ICF-20teU-CF=75-DF-20100Cr=39解得：_,故答案为：.【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，证明相似三角形是解题的关键.5.综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转与翻折”为主题开展数学活动.情境导入：在RtZA8C中，AC=BC,NC=90。，点。为直线AC上一点，连接80,将80绕点5逆时针旋转90。至8£,连接AE交直线BC于点尸.活动一：图形的旋转:（1）当点。在线段AC上时，如图1,小明为探究AF与EF的关系，给出了如图的思路：根据思路，可知:A尸与瓦'的数量关系是:（2）当点力在线段AC上时，如图2,（1）的结论是否成立？请说明理由;活动二：图形的翻折:（3）如图3,当AC=6,8=C尸=2时，M为直线AB上一动点，连接用W,作AEFB关于直线RW的对称图形得到当线段Cr最小时，直接写出4Z）B'E的面积.【答案】（1）AF=EF;（2）仍然成立，理由见解析；（3）12叵.5【分析】（1）由“AAS”可证aACHg8CO,可得AH=BE,可证四边形A"E8是平行四边形，可得结论;（2）由“AAS”可证MCH且Z8CO,可得A/=8石，可证四边形A"EB是平行四边形，可得结论:（3）先确定点灯的位置，由勾股定理分别求出的长，QN的长，由面积和差关系可求解.交BC的延长线于点H,连接EH,SlZAHF=NEBF,将BD绕点、3逆时针旋转90。至BE,.BD=BE,NEBD=90。=ZACB,:.ZCBD+NEBF=90°=NCBD+NBDC,:.ZEBF=/BDC=ZAHF,又AC=BC,ZACH=ABCD=90°,.ACHBCD(AAS)t,AH=BE，四边形AHEB是平行四边形，.-.AF=EF,故答案为：AF=EF;(2)仍然成立，理由如下：过点A作A以BE,交BC的延长线于点“，连接后”，将BD绕点、8逆时针旋转90。至BE,.BD=BE,NEBD=90。=ZACB,.ZCBD+ZEBF=90°=ZCBD+ZBDC,.AEBF=ABDC=ZAHf,又AC=BC,ZACH=NBCD=900,.ACHBCD(AAS),:.AH=BE.四边形AHEB是平行四边形,:.AF=EF;(3)z瓦E关于直线历W的对称图形为:.EF=EF、4BFE=/EFB,BF=HF,，点E在以点尸为圆心，E尸为半径的圆上运动，当点E在尸。的延长线上时，CE有最小值，此时，点8'在AF上，如图3,过点。作。V2.AF于N,过点尸作尸Q1.AB于Q,AC=6,CD=CF=2,NAC8=90。，.BF=AD=4,FD=22»AB=62»ABC=45o,FQ1.AB,：.FQ=BQ=2近,:.AQ=4y2,AF=yQF2+AQ1=210，.EF=E'F=2i.DN2=FDr-FN2=AD2-AN2,8-FV2=I6-(2U)-FN)2,.FN=胆5.DN=巫,5DME的面积=SEB1.SEFD-SBDF=S八一S上和一S/"尸=gx4x6一/x2JU2-gx4x=12,.h9E的面积为12-上普.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.6.在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点。与sA8C的顶点C重合，式无尸在绕点C的旋转过程中，边DE、。尸始终与BC的边AB分别交于M、N两点.(I)老师提了一个问题：试证明AM2+8v2=mv2.小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到CA=CB且NAC8=90。，可将ZkBOV绕点C顺时针旋转90。至AAeM位置，连结MN若能证明BN、MN分别等于Rt44WM的另两边则可以解决问题.请帮小丽继续完成证明过程.证明：将ZkBCW绕点C顺时针旋转90。至.,ACM位置，连结MN'如图2,小昆另取一块与JIBC相同的三角板,放在二A8G位置,边CE与边AG相交于点H,连NH、NG.小昆猜想：ZCTVH=900,请帮他给出证明；图2中始终与CN相等的线段有_；请探索AN、BN、A”之间的数量关系，并直接写出结论：【答案】(1)见解析(2)见解析；NG,NH；AN-BN=历AH【分析】(1)由“SAS”可证CNM-CNM,可得MM=MN,根据直角三角形中运用勾股定理AM2+AN,2=MN'2,即可得结论；(2)证明A,C,M”四点共圆即可解题；证明-N80JVBG,得到CN=NG,然后根据等角对等边得到CN=N”即可得到结论连接CG,推导aHGCsNBC,则可得至UGH=及BN，然后根据AB=4G即可证明结论.【详解】(1)由旋转可知：AN'=BN,CN'=CN,NCAN'=NB,/BCN=ZACN',VZFCF=45o,NACB=90。，：.ZACM+NBCN=45。,：ZAeM+NACM=45。，即NN'CM=NNCM,又：CM=CM,.CN'MWaCNM(SAS),：,MN'=MN,.NeAM=NB=45。，.N,AM=NCAM+NCW=90o,AM+AN,2=MN'2,又：AN'=BN,MN'=MN.*.AM2+BN2=MN2(2)证明：VZGAB=ZMCN=45°,ZAMH=ACMNt：ZAHC=ZANc,A,C,M”四点共圆，/.NCAH+NCNH=180°,/NCAH=90°,：.NCNH=90。；解：四边形AaG是正方形，：BC=BG,NBC=ZNBG=45°,VBN=BN,：.-NBC竺NBGg网,:.CN=NG,由可知NCM7=90。，又丁NHCN=45。，：.NHCN=NCHN=45°,：CN=NH.故答案为：NH、NG；连接CG,V/HCF=ZBCG=45。,，NBCN=NGC”,又VNCBN=NCGH=45°,：.HGCS.NRC,，里=空=KBNBC：.GH=BN，.AB=Cag=母(AH+GH)=近AH+垃GH,AN+BN=>2AH+2BN，：,AN-BN二屈AH.故答案为：AN-BN=®AH.【点睹】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.题型二、与四边形结合1.如图，将边长为Idm正方形ABCD绕点。按顺时针方向旋转45。后得到正方形OEFG,边EF、BC相交于点H,则四边形CDE”的面积为().22D.(2+l)dm2【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点C、D、尸共线是解答本题的关键.【详解】解：如图，连接H).：,ZEDF=45°. 正方形A8C。绕点。按顺时针方向旋转45。后得到止方形DEFG,：ZEDC=45°, 点C。、产共线，且。/=在dm，.CF=C=2-l(dm), 四边形CDEH的面积为=SEDF-SHCF=×Ixl-x(VJ-I)2=-V-l(dm2).故选C.2.如图，四边形ABC。是正方形，尸在正方形外且AP=3；将CBP逆时针旋转至ABQ,使旋转后CB的对应边与A8重合.连接AP、PQ,已知尸Q=,4Q=JT,则正方形ABCO的面积为()3A.l-32B.10-32C.9-2应D.9+2【答案】B【分析】本题考查求线段长，谁旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，过3作跳AP于E,如图所示，由旋转性质及勾股定理和勾股定理的逆定理求出相关线段及角度，在RuAEB中，利用勾股定理求出AB2=o-3即可得到答案，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解决问题的关键.【详解】解：过氏作BE/APFE,如图所示：将aCBP逆时针旋转至ABQ,使旋转后。的对应边与AB重合,；.PB=BQ,PBQ=9Q0,在RtZSPBQ中，NBPQ=45。,p=2,则PB=BQ=I,在AAPQ中，AP=3,PQ=近,AQ=JFT,则AP?+=4。2,由勾股定理的逆定理可知APQ为直角三角形，.ZAP。=90。，则NBPE=45。，6在等腰Rt依石中，PB=I,则PE=BE="，2.AE=AP-PE=3-,2在RtAEB中，4E=3-立，BE=立，则由勾股定理可得4?2=4必+8岁/也+£-变=10-3近，222)2J二.正方形ABCD的面积为10-3立，故选：B.3.如图Rt。所中，ZDEF=900,M是斜边。尸的中点，将山£下绕点尸按顺时针方向旋转，点、E落在EM延长线上的E'处，点D落在。C处，若OE=2iT,EF=41.则EE的长为.Z)D,EEF32【答案】y/6.4【分析】本题利川勾股定理算出DF,根据直角三角形性质得到DM=EM=FM=DF=5,利用等腰三角形性质推出ZMEF=ZMFE,利用旋转的性质和等腰三角形性质得到N庄E=NFEE,证明.MEFseE,根据相似三角形的性质建立等式求解，即可解题.【详解】解：ZDEF=90o,DE=2>11,EF=42.DF=JDE2+EF?=10,M是斜边。尸的中点，：.DM=EM=FM=1.DF=5,2?MEF?MFE,由旋转的性质可知，EF=EF,"FEE=/FEE,:.AMEF=NFEE=AMFE=4FEE,:4MEFSFEE,.ME=EF'EF-EE7'542俎“，327=-TTT，frt-<fEE=F,42EE5故答案为：y.【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形性质、旋转的性质、等腰三角形性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题.4.如图，已知°A8C中，AC=3、BC=4,A8=5,将.ABC绕点C旋转，使点A落在边A8上的点力处，此时点8落在点七，OE与8。相交于点尸，则C尸长为.【分析】由勾股定理的逆定理可求NAC8=90。，由旋转的性质可得CO=AC=3,BC=CE=4,ZACB=NDCE=90°,由相似三角形的性质分别求出。/，Cr的长，即可求解.【详解】解：AC=3.Be=4、AB=5,:.AC2+BC2=AB2.Z4C8=90o,如图，过点C作C7V_1.AB于N,将OABC绕点C旋转，.CD=AC=3tBC=CE=4,ZACB=NDCE=骄,9.AN=DN=?.BD=fZ.B=Z.E>NDFB=NCFE>:ABDFsAECF,.BDDFBF,ce=cf='ef'DF1CF204-CF=75-DF-20100CF=解得：3935DF=-397-5-4故答案为：.【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性质，证明相似三角形是解题的关键.5.已知正方形ABC。与正方形A/G,正方形ARp绕点A旋转一周.图3备用图(1)如图1,连接5G、DE,很明显ZsABg,从而我们可以得出U的值为BG(2)如图2,连接5G、CF,求名的值；BG(3)当正方形AE"G旋转至图3位置时，连接CRBE,分别取b、8E的中点M、N,连接MN,试探究:MN与BE的关系,并说明理由;(4)连接BE、BF,分别取8E、8户的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段QV扫过的面积.【答案】(1)a4)E,1(2)0(3)BE=2MN,MN±BE(4)911【分析】(I)利用正方形的性质、旋转的性质可得AB=AD,Af=AG,ZAAG=ZZN正，可得ZXABG丝ZXAOE,根据全等三角形的性质可得芸=7=1.BGADCFr-(2)通过证明ACAFS二BAG,可得=BG(3)连接ME,过C点作CHEF,交直线ME卜点:H,连接BH,设C尸与AD交于点P,CF1.jAG交于点R,证明CMH学八FME,得CH=EF.HM=EM,AE=CH,根据C"E/AG得Nb=N或A,证明ZBCH=BCF+ZHCF=ZAPR+ZARC,根据NDAG+ZAPR+AARC=180。,NBAE+ZDAG=180°得ZBAE=ZBCh,利用BC=A氏CU=AE,证明48C"gZ8AE,可得BH=BE,NCBH=NABE,ZHBE=NCBA=90°,根据MH=M石，煎N姥BE的中点可得BH=2MN,MNBH,最终可得BE=2MN,MNIBE.(4)取AB中点。，连接OM。,A尸，根据AE=6,三角形中位线定理可得4尸=6五,。=3五，ON=3,点。在以点。为圆心，3底为半径的网上运动，点N在以0为圆心，3为半径的圆上运动，可得线段。N扫过的面积为11(3J)2-兀x(3)2=911.【详解】(1)解：根据正方形的性质、旋转的性质可得人B=ARAE=AG,ZBAG=DAEABGADEDEAB,.=1BGAD(2)解：如图，连接AF、ACAFAG四边形ABC。和四边形AEFG都是正方形.AC=AB，AF=-JlAG，=ZGAF=45o,ZBAD=90°rNCAF=NBAGAB.CFBAGBGAB(3)解：如图，连接M石，过C点作CH所，交直线ME于点“，连接8”，设CF与AD交于点P,CF与AG交于点R,ZFCh=ZCFE点M是C尸的中点CM=MF又.4CMH=/FME:ACMHdFME(ASA):.CH=EF,ME=HM.AE=CHCH/EF,AG/EF.-.CH/AG.AHCF=Z.CRAADBC.BCF=ZAPR:.BCH=4BCF+4HCF=ZAPR+ZARCZDAG÷APR+ZARC=180o,ZBAE+ZDAG=180°.ZBAE=ZBCH又BC=ABXH=AEgZ8AE(SAS).BH=BE,/CBH=NABE.ZHBE=ZCBA=90°MH=ME,点N是鹿的中点:.BH=2MN,MNBH.BE=2MN,MNIBE(4)解：如图，取AB中点0,连接OMoQ,AFAE=6:.4F=62点N是BE的中点，点。是成的中点，点0是AB的中点.OQ=-AF=3y2,ON=-AE=322点Q在以点。为圆心，3底为半径的圆上运动，点N在以。为圆心，3为半径的圆上运动，线段QN扫过的面积=兀(3>)-11×32=911【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位线定理、正方形的性质等，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想是解题的关键.6.如图，P是正方形ABa)内一点，将KWP绕点B顺时针方向旋转90。得到ACBQ.图3位置关系是.(1)观察猜想：如图1，线段AP与CQ的数量关系是.(2)探窕实践：如图2,连接尸C,若¼=1,PB=2,PC=3,求NA尸8的度数.(3)拓展延伸：如图3,A,P,。三点在一条直线上，若8C=5,BP=2日请求出AQ的长度.【答案】(I)A尸=CQ，AP1.CQ(2)NAP8=135。(3)2T±2【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键.(1)延长AP交BeQC分别于点尸,七，根据旋转的性质以及正方形的性质可得NABC=90。，则AP=CQ,/BAP=NBCQ,进而根据三角形内角和定理，可得NCM=NAB/=90。，即可得出APlCQi(2)连接PQ,由旋转性质可得：BP=BQ=2,/尸8。=90。，勾股定理求得P。，勾股定理的逆定理证明PQC是直角三角形，即NPQC=90。，进而即可求解；(3)当点户在正方形ABcD内时，作_1.AQ于.勾股定理求得A/7,根据AQ=A77+。"，当点P在正方形ABCD外时，根据AQ=A"-Q”即可求解.【详解】(1)解：如图所示，延长AP交BCQC分别于点Q将AABP绕点5顺时针方向旋转90。得到ACBQ,四边形ABC。是正方形,二.ABPqACBQ,ZABC=90°,AP=CQt/BAP=NBCQ,又丁ZAFB=4CFE,：.NCEF=ZABF=90。,.AP1.CQ.(2)连接PQ由旋转性质可得：BP=BQ=2,ZPBQ=90°,：,PQ=yBP2+BQ2=22+22=22，/BPQ=NBQP=45?,由ZiABPgZsCBQ得：.AP=CQ=I,ZAPB=NCQB,VPQ2+C2=(2:+12=32=PC2,：,APQC是直角三角形，即NpQC=90。，ZAPB=NCQB=NBQP+NPQC=45o+90o=l35°；(3)当点P在正方形ABCD内时，作_1.AQ于.则A8=8C=5,QBP=BQ,ZPBQ=90°,PQ=yBP2+BQ2=(22)2+(22)2=4,BHlAQf:.PH=QH=BH=:PQ=2,在RlZXABH中，AB=5,BH=2,ah=Jab2-bh2=52-22=2T».AQ=AH+QH=y2+2,当点尸在正方形ABa)外时，作8_1.AQ于H.同理可得：AH="，AQ=AH-QH=-JlX-I.综上所述，满足条件的AQ的值为0T±2题型三、与圆结合1 .如图1,在。中，圆心角NAOB=60。.点P从点B出发，绕着点O以每秒30。的速度在圆周上逆时针旋转到点A.在旋转过程中，线段AP的长度y(CM)与旋转时间f(C的函数关系如图2所示，则下列说法正A.e=8B.c-b=4C.+d=6D.C(3,4)【答案】B【分析】此题考查了动点的的函数图象、垂径定理、解宜角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.根据点P的位置和AP的长度，分别画出图形，结合函数图象给出的信息，逐项进行求解即可作出判断.【详解】解：当/=与兰-=10时，点P与点4重合，此时AP=O,由图象可知，e=10,故选项A错误，不符合题意；由图象可知，当1=0时，y=2cm,此时点尸与点8重合，即AP=AB=2cm,：JOB是等边三角形，.04=O3=2cm,即O的半径为2cm,当y=2J时，即A6=A曰=25cm,过点。作Oo_1.AA于点。，则AO=OA=3AA=JyCm,如图,：.AOD=/DOH=60o,即NAoA=120o,同理可得，NAoK=I20°,此时，360°-120°-60°30°=6或，=1200-60°30°由图象可知，b=2,c=6,c-b=4,故选B正确；当y=20时，即AE=AA=2j左m,如图,P).AO1+OPl2=AOr+。62=22÷22=8=A2=A2,.ZAOPt=ZAOP2=90°,此时，90°-60°30°=1或Z=180o÷90°-60°30。由图象可知，a=l,d=7,Ja+d=8,故选选项C错误，当点尸旋转到AP=4cm,即心是直径，丁取最大值时，如图,B11l1800-60°.M/=4,则由图象可知，点C的坐标为（4,4）,故选项D错误,故选：B.2 .如图，RtZXABC中，NAC8=90。，Nc48=30。，BC=2,0,“分别为边A8,AC的中点，将C绕点8逆时针旋转120°到VABG的位置，则整个旋转过程中线段o所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）【分析】本题连接B”，6一根据题意分析整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形8必”与小扇形800的面积之差，利用旋转的性质得到扇形的圆心角，再根据勾股定理，以及线段中点的性质算出AB、AC.CHt推出5”,利用扇形面积公式求解，即可解题.【详解】解：连接5”,0、”分别为边A8,AC的中点，将JIBC绕点8逆时针旋转120。到VA/G的位置,.OBHOBH,ZACB=90。，NCAB=30。，BC=2,.AB=2BC=4fAC=>AB2-BC2=23”为边AC的中点，.CH=1.AC=6,2BH=>bC2+CH2=7»二阴影部分面积=202BC2)=120咆-4)=冗360360故选：C.【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、线段中点的性质、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题.3 .如图，tlC和4A8'C是两个完全重合的直角三角板，ZB=30o,斜边长为Ioem.三角板A5'C绕直角顶点C顺时针旋转，当点4落在AB边上时，CA旋转所构成的扇形的弧长为cm.【分析】本题考查了弧长公式、含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的判定与性质.根据RtZXABC中的30。角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知AAAC是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA旋转所构成的扇形的弧长，熟知旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等。【详解】解：Y在RtZVlBC中，ZB=30o,AB=IOcm,.AC=AB=5cm,2根据旋转的性质知，A,C=ACfA,C=AC=AB=5cm,2点A'是斜边A8的中点，.AA,=-AB=5cm,2.AA,=A,C=AC,.A,CA=60°,CA旋转所构成的扇形的弧长为：6°x5=ycm,故答案为：y.4 .如图，在矩形A8C。中，AB=UlBC=Sf以8为直径作)0.将矩形ABCO绕点C旋转，使所得矩形A7T8'的边4*与Oo相切，切点为E,边CZy与。O相交于点/，则ZyF的长为.BC【答案】2【分析】连接Eo并延长交8'于点G,连接OF,过点。作O_1.*C,根据切线的性质及旋转的性质可以得到四边形四边形O"CG均为矩形，结合A8、BC、。的半径及勾股定理可以求出C”及O”的长度，再利用等腰三角形的性质即可确定C/及ZyF的长度；【详解】解：如图，连接Eo并延长交Cz)'于点G,连接O尸，过点。作O_1.6C,边4岁与相切,.,.GE±A,B,.co为:。的直径，.*.OE=OF=OC=5fY四边形O即我、四边形OHCG均为矩形，B,H=OE=5,则S=85=3,在RIOHC中,OH=CG=>OC2-CH2=4,*：OC=OFROGlCiy,CF=2CG=8,即：W=CDr-CF=10-8=2故答案为：2【点睛】本题考查了切线的性质定理，旋转的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握等腰三角形、矩形的性质，理解切线的性质定理是解决本题的关键.5.“启智”数学兴趣小组对图形的旋转展开进一步探究，总结了一些方法和规律，请你完成相关问题.（画如图1,-ABC是边长为2的等边三角形.将点A绕点C顺时针旋转一周，点A的对应点为点A,请在图1中画出点4的运动路径，当点A不与A、B重合时，可得NAAB=。或°；将边AB绕点C顺时针旋转一周，请在图1中画出线段AB扫过的区域（用阴影表示,画出必要的辅助线），并求出该区域的面积.（2）以静制动:如图2,BC中，AB=AC=5,BC=6,将IaABC绕点C旋转得4A'"C,点P是线段49上一个动点,点M是AC的中点.线段?M的最小值是,最大值是;点P到直线BC的距离为，当PB=PC时，求的取值范围.【答案】30,150；兀2.4；8.5人3石【分析】（1）根据题意以。为圆心，CA为半径作圆，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补,即可求解；过点C作CD于点。，勾股定理求得C。，进而根据题意，可得线段48扫过的区域为圆环的面积，根据圆的面积公式，即可求解；（2）过点AC分别走8C,48的垂线，垂足分别为瓦。，勾股定理求得AE,等面积法求得8,进而根据题意，尸与8'重合，且C在线段M8'上时，M尸取的最大值；当_1.ATr时，且A仇48重合时，PM取的最小值，结合图形，即可求解；分别以8,C8为半径，以C为圆心作圆，过BC作3C的垂直平分线，交S为半径的圆于点尸，交CB为半径的圆于点G,当点P在尸点时，最小，当点P在G点时，力最大，勾股定理，即可求解.【详解】（1）解：如图所示，当4在优弧AB上时，N/VV8=；NAa=30。,当A”在AB上时，NAA"3=18O-NAA'3=150。，故答案为：30,150.如图所示，过点。作Co_1.A8于点。，48C的边长为2,则A£>=08=1,CD=JaC2-AD2=线段A8扫过的区域为兀x22-11x（jY=兀；（2）解：依题意，过点AC分别走8CA8的垂线，垂足分别为E。,XABC中，AB=AC=5,BC=6,/.BE=EC=3,AE=4AC2-EC2=ATSabc-gBC×AE=gABXCD,.fBC×AE4x624AB55P是线段AE上一个动点，点M是AC的中点，则CM=(AC=g22尸与"重合，且C在线段MB'上时，取的最大值；如图所示,ASs此时，W=BC+C=-÷6=8.52当叱_1.A笈时，且A8,A'8'重合时，?M取的最小值，此时如图所示,PM是二AZ)C的中位线，A(Af)25如图所示,分别以CRCB为半径，以C为圆心作圆,过BC作BC的垂直平分线，交8为半径的圆于点F,交CB为半径的圆于点G,尸是AF上一点，PB=PC当点P在尸点时，最小，当点尸在G点时，最大,VCE=-BC=3,CF=CD-,CG=CB=625,EF=JCF-CE-=->EG=yCG2CE1=6232=35/3<33.【点睛】本题考查了圆周角定理，旋转的性质，圆内接四边形对角互补，一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.6.如图，点8在数轴上对应的数是T,以原点O为圆心、08的长为半径作优弧A8,使点A在原点的左(0S期形八08二：点P是优弧AB上任意一点，则NPZ汨的最大值为；在(2)的条件下，当NPDB最大,且NAoP<180。时，固定。尸。的形状和大小，以原点0为旋转中心,顺时针旋转()°360o).连接CP,AD,在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明理由；直接写出在旋转过程中，点C到PO所在直线的距离d的取值范围.40【答案】(1)方乃(2)30°2d6【分析】(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中，当PO与Oo相切时，NPOB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3)如图2中，连接A8,AC.证明C0PsA0Q,即可解决问题；如图3,当AOPD中点P旋转至点8时，点C到Po所在直线距离最小为2,如图4,当中点P旋转至点。时，点C到P。所在直线距离最大为6,即可得到取值范围.【详解】(1)解：TtanNAOB=J, ZAO3=60。， 居”=嘴=苧(大于半圆的扇形)，40故答案为：y11.(2)解：如图1中，当PO与CO相切时，NP1.W的值最大. po是。的切线，：OPA.PD,：.NoPD=时,OP41 SinZPDO=-=-=-,OD82 ZPDB=30°,同法当OP与。相切时，ZBDP=30°, NPZM的最大值为30。.故答案为：30°.(3)解：结论：AD=IPC.理由：如图2中，连接AB,AC. ：OA=OB,NAoB=60°,：.JiOB是等边三角形，,.BC=OC,JAClOB, ：NAOC=NPoP=60。， ZCOP=AOD, .A0_0*OCOP:.COPAODy.ADAO. -2,PCOC：.AD=2PC.如图3,当。尸。中，点尸旋转至点B时，点C到P。所在直线距离最小为2；如图4,当AO/”中，点尸旋转至点。时，点C到Po所在直线距离最大为6； 在旋转过程中，点。到尸。所在直线的距离的取值范围为2d46.【点睛】本题考查了求扇形的面积，切线的性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定与性质，图形的性质等知识，综合性较强，难度较大，熟知相关知识，根据题意画图，并添加辅助线是解题关键.题型四、与相似有关1.如图，O与OAB的边AB相切于点8.将OAB绕点8按顺时针方向旋转并以点8为位似中心，按一定比例缩小得到AEAB,且点A,E落在。上.若AB=2小,A8=4,则。的半径为（）A.5B.2.5C.叵D.32【答案】A【分析】本题考查的是位似变换、翻折变换、勾股定理、切线的性质.根据切线的性质得到OB_1.AB,根据旋转变换、位似变换的性质得到。AB与42A8的相似比为由，NA'83'=90。，