2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-4 第二课时 向量数量积的运算 学案.docx

6.2.4第二课时向量数量积的运算G知识梳理.读教材A基础落实高效学习Ib情境导入.通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律即2(a)=()a,分配律即(2+)a=aA-aQ,;R).问题(1)向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法分配律？(2)平方差公式、完全平方公式在向量运算中是否成立？(3)向量的模、两向量的类角如何计算？啦新知初探C知识点向量数量积的运算律1.向量数量积的运算律(1)ab=ba(交换律)；(2)(觞)b=2(b)=。(劝)(结合律)；(3)(+b)c=c+bc(分配律).2.向量数量积的常用结论(1)(±5)2=Ia±bI2=II2±2abIbI2=a1±2ab+b2(2) a1-lr=(+b)(ab)=a2-b2(3) (+b)2+(a-b)2=2(II2+II2)；(4) 2÷2=0<=>=ZF-0.提醒(1)向量的数量积不满足消除律：若a,b,C均为非零向量，J1.ac=bcf但得不到。=力；(2)(ab)ca(be),因为。力，加c是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量C共线，a-(be)与向量。共线，因此，(A)c=a(bc)在一般情况下不成立.你想一想1 .向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算结果是向量.2 .已知非零向量,b,。与b的夹角为仇若bVO,则夕是钝角对吗？提示：不对.若O=11时，ab<O.自做一做1.已知Ial=2,II=3,则（20-3b）（2+3b）=.解析：（2a-3b）（2+3ZO=42-92=4×4-9×9=-65.答案：一653 .已知Ial=1.IbI=2,且（0+b）与。垂直，则。与b的夹角是.解析：:（+b）=2+b=O.b=-a?=-.设Q与方的夹角为4/.cos=.ab.IabI=7=一争又。eA.R=卓答案：）4 .已知向量用的夹角为60。，a=2,"1=1,则la+2bI=.解析：法一Ia-2bI=J（a+2b）2=ya2+4ab+4b2=22+4×2×1×cos60o+4×I2=12=23.法二（数形结合法）由Ial=I2bI=2知，以。与2b为邻边可作出边长为2的菱形OAC3,如图，则Ia+2bI=IOCI.又zAO5=60°,所以Ia2bI=23.答案：23技法归纳活学活用宙题型突破析典例题型一数量积求解的综合问题【例1】（1）已知Ial=2,IbI=3,。与b的夹角为120°,则（2°6）（+3b)=(2)如图所示，在平行四边形ABCO中，已知A8=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,解析(1)(20-b)(+38)=2a25ab3b2=2IaI2+5IaIbcos120o3IbI2=8-15-27=-34.(2)由方=3而，得加=工况=工近，AP=ADDP=AD+-ABiBP=APAB=AD444+工南一四=而一三方.因为Q前=2,所以(而十三荏)-(AD-AB)=2,即而一4444工而通一三押=2.又标=25,存=64,所以而而=22.216答案(1)-34(2)22通性通法薮豪康叁的百合问题一般涉及两类(1)求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；(2)涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解.Gr跟踪训练1 .已知Ial=5,II=4,。与b的夹角为120°,则(。-26)(+b)=.解析：ab=IaIIbIcos=5×4×cos120°=10.(-2Z>)(ajrb)=a2-ab2b2=IaI2-IaIIbI-cos120o-2IbI2=25-(-10)-2×42=3.答案：32 .在边长为1的正三角形ABC中，设配=2前，CA=3CE,则而屁=.解析：由已知得而(而+冠),AE=ACtBE=BA+AE=AC-ABtADBE(AS+XC)(-½C-F)=-×(-AC2-AB2-ABAC)=-×(三-l-os60o)3233233=-14答案：一；4题型二向量模的计算【例2】已知Ial=2,I力I=1,向量的夹角为60°,那么Ia4bI=()A.2B.23C.6D.12解析VIa-4bI2=2-8÷16r2=22-8×2×l×cos60o+16×l2=12,Ia-4bI=23.答案B通性通法求向量的模的基本思路aa=a2=II?或Ial=H不是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.口跟踪训练已知向量,6满足IaI=1,IbI=2,a(a2b)=0,则Ia-bI=()A.6B.4C.6D.5解析：CV(a2b)=0,.*.a2-2=0.Vlal=1,IbI=2,=,.*.a+bI=Ja2÷2ab+b2=1+1+4=6.P型三!向量的夹角与垂直角度一：求两向量的夹角例3已知向量,方满足Ial=I方I=1及I3a2bI=7,求,的夹角.解设。与的夹角为仇由题意得(3-2b)2=7,9II2÷4II2-12=7,又Ial=I方I=1,=,/.alIbIcos即cos=-.2又，0,11,b的夹角为去通性通法求两向量夹角的方法求向量的夹角，主要是利用公式cosJ=7限r求出夹角的余弦值，从而求得夹角.IabI可以直接求出ab的值及ll,IbI的值，然后代入求解，也可以寻找ll,Ibl,ab三者之间的关系再求解.角度二：利用数量积解决向量的垂直问题【例4】已知Ial=2,IbI=1,向量o,b的夹角为60。，c=+5b,d=ma-2b.求实数m为何值时，C与d垂直.解由已知得ab=2×1Xcos600=1.若Cj_d,则cd=0.cd=(+5力)(.nm2b)=zm«2+(.5m2)ab-0b2=4m-5n-2-10=9n-12=0,m=-.3故当相=9时，C与d垂直.通性通法向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是。_1.BOa为=0,利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题.口跟踪训练已知向量,b,且Ial=1,IbI=2,(+2b)_1.(3ab),求向量。与夹角的大小.解：设与。的夹角为仇由已知得(0+2b)(3。一)=3°2+50)-2=3+10CoSG-8=0,所以CoSe=也又0°6W180°,所以e=60°,即与的夹角为60°.因随堂检测.1 .若e”62是夹角为g的单位向量，且=2e+e2,b=-3÷22则5=()A.lB.-4解析：C由已知，得ee2=IeIIeIcos=,.ab=(2e+e?)(3e+2e2)=-6IeIl2÷2Ie2I2÷ee2=-p故选C.2 .若两个单位向量,b的夹角为拳则I4+58I=()A.lB.13C.21D.7解析：C因为(4+5b)2=I62+40÷25Z>2=16×l2÷40×1×1Xcosy+25×I2=21,所以I4+5bI=T.故选C.3 .已知非零向量m,n满足4I机I=3II,M与夹角的余弦值为若nl.(+)，则实数t=()A.4B.-4C.-D.-4 4解析：B由题意知，7=3'J=I所以m,l=7II2=12,因为(rm÷11)ImlInlinI3444=0,所以fn+"2=0,即j2+"2=0,所以，=4.44.已知向量”，力满足(+2)(5a-4)=0,且Ial=Ibl=1,则。与力的夹角=.解析：V(+2)(5-4)=0,Ial=IbI=1,6b8+5=0,即b=最又"b=IIIbIcos=cost.*.cos=-.,*三0,11,.=-.23答案：g