2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3 第一课时 余弦定理 学案.docx

6.4.3余弦定理、正弦定理新课程标准解读核心素养1 .借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系逻辑推理2 .掌握余弦定理、正弦定理数学运算3 .能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题数学建模第一课时余弦定理基础落实高效学习0-知识梳理读教材此情境导入.利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.问题例如，如图所示，A,3分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C,然后使用测量仪得出AC,BC以及dC8的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？/新知初探,知识点一余弦定理文字三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹表述角的余弦的积的两倍公式H=户+/2bccosA,=c2+/2CaCOS3,=a2+-24bcos表达C排;.b2+c2-a2nc2+a2-b21.a2÷b2-C2推论CoSA=,cosB=,cosC=2bc2ca2ab知识点二解三角形一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边,b,C叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.自做一做1 .AC,角A,B,C所对的边分别为,b,ct若/+/Vc2,则是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.宜角三角形D.钝角三角形解析：D因为02+vc2,由余弦定理可得CoSC=之冷”VO,又由Ce(O,11),2ab所以Ce(p11),所以AABC是钝角三角形.故选D.2 .在A4BC中，已知。=9,=23,C=150°,则C=()A.39B.83C.102D.73解析：D由余弦定理得：c=j92÷(23)2-2x9x25xcos150°=117=71故选D.3 .ABC,角A,B,C所对的边分别为,b,c,若=l,Z>=7,c=3,则8解析：由余弦定理的推论，得CoSB=吐手龙=当W=一当又0。VBVl8()。，：.B=150°.答案：150°.G题型突破析典例口-技法归纳活学活用t-js题型一已知两边及一角解三角形【例1(1)在A48C中，已知b=60cm,c=605cm,A=y,则。=cm；(2)在中，若A8=I,AC=5f且COSC=卷，贝JBC=.解析(1)由余弦定理得：a=J02÷(603)2-2×60×603×cos=J4×6O2-3×6O2=6O(cm).(2)由余弦定理得：(遍)2=52+叱-2X5XBCX专所以8C29BC+20=0,解得BC=4或5.答案(1)60(2)4或5通性通法已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解;(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.Gr跟踪训练1.SEABC,角A,B,C的对边分别为小b,c,若=3,b=2,cos(A+B)=1,则C=()A.4B.15C.3D.17解析：DcosC=-cos(÷B)=-9.又由余弦定理得C2×26×(6+23)VC(0,11),/.C=-.nanIT7IT.B=11-A-C=11-=一412d=-=-rr=-6'12*4,=O?+匕22"COSC=9+42×3×2×(-)=17,所以c=17.故选D.32.在AABC中,角A,B,C的对边分别为mb,c,已知b=503,C=150,5=30°,则a=.解析：在C中，Z?=50V3,c=150,8=30°,由余弦定理得=02+c2-2ccos8,(503)2=2÷1502-2×150×y,a2-1503÷15000=0,(-1003)(a-5O3)=0,解得a=1005或=5O3.答案：1005或5()3题型二已知三角形的三边解三角形【例2】在"BC中，已知a=2S,Zj=6÷23,c=43,求A,B,C的大小.解由余弦定理的推论，得COSA=匕232。2(6+2，(46)2-(2后)22bc2×43×(6+23)VA(0,11),AA=-,6az+b2-c2cosC=2ab(2而？+(6+20)2-(4I)2夜通性通法已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.口跟踪训练1 .在AABC中，a,ZbC分别是角A,B,C的对边，若&一吩=d一五be,则A=()A.135oB.60°或120°C.45oD.135°或45°解析：Ca2-b2=c1-V2bc,由余弦定理的推论得COSA=立自丝=,故4=45°.2bc2故选C.2 .½C,已知：力：c=2：(3÷1),求各内角的度数.解：由。：匕：c=2：6:(3+l),令a=2k,b=W,C=(3+l)k(>0).由余弦定理的推论，得COSA=-T->=：+乎：1；二4=4,A=45o.ZbC2×6×(3+l)2ndi+c2b24+(3+l)2-61.n“ocosB=7=B=60.2ac2×2×(3+l)2C=180o-A-B=180o-45o-60o=75o.题型三判断三角形的形状【例3】(1)在中，(÷j÷c)(a+h-c')=3ahK2cosAsinB=sinC,试判断三角形的形状；(2)在AABC中，若cos8+cosC=力+c,试判断该三角形的形状.解(1)VA+B+C=180o,/.sinC=sin(A÷B).V2cosAsinB=sinC,2cosAsinB=SinAcosB+cosAsinB,；sinAcos8cosAsin8=0,sin(AB)=0.V0o<A<180o,0o<B<180o,一180。VA-BV180°,A-B=0o,即A=A又(4+6+c)(÷Z>-e)=3ab,：4+a一d=ab,.*.cosC=.V0o<C<180o,C=60o,.ZkA8C为等边三角形.(2)由4cos3+cosC=6+c,结合余弦定理得土-卜°。=6+c,即2ac2abfl2+c2i,2÷2"c2=b÷c,整理，得"+c)(t2-2-c2)=0.2c2bVZ>÷cO,2=Z>2+c2,故AA5C是直角三角形.通性通法判断三角形形状的方法(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：ABC为直角三角形o/=/+/或或b2=a2+c2;AABC为锐角三角形u>+b2>d,且且d+/；(3)ABC为钝角三角形Oa2+匕2<或匕2+c2vq2或c2a2<,2;若sin2A=sin25,则A=B或A+B=/.Gr跟踪训练在AABC中，A=60°,cr=bc,则ZA8C一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形解析：D在AABC中，因为A=60°,cr=be,所以由余弦定理可得，a2=b1+c2-2bccosA="+2be,所以匕C=户+/be,即(力-c)2=0,所以b=c,结合A=60°可得一定是等边三角形.随堂检测,1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是一右则该三角形的第三条边长为()A.52B.213C.16D.4解析：B设第三条边长为X,则f=52+32-2X5X3X(-)=52,x=213.2 .在AABC中，角A,B,。对应的边分别为小b,c,已知=3,b=4,c=57,则“8C的最大内角为（）A.120oB.90oC.150oD.60o解析：AVc>a,c>，角C最大.由余弦定理，得c2=/+/2bcosC,即37=9+16-24cosC,cosC=-,V0o<C<180o,JC=120°.故选A.3 .在AABC中，若。=3,c=7,C=60°,则边长力=（）A.5B.8C.5或一8D.-5或8解析：B由余弦定理得，=/+-24bcosC,即49=9+从-3b,所以（b8）Cb÷5）=0.因为8>0,所以。=8.4 .已知AABC中，角A,B,C的对边分别为0,4c,若a=10,b=15,C=60°,则COSB=解析：由余弦定理得，c2=2+2-2cosC=IO2+152-2×10×15Xcos60°=175,c=57.*.cosB=2+c2-2-102+175-152-72ac2×10×5714,答案:今