2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3 第二课时 正弦定理 学案.docx
6.4.3第二课时正弦定理G知识梳理读教材-基础落实高效学习.一Ib情境导入.如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点8之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了NABC与AC8的大小.A问题你能借助这三个量，求出AB的长度吗？Ia新知初探C知识点正弦定理文字在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等语言符号abc3=-=-s7（A43C中角A,BtC的对边分别为,b,C）语snASinBSinC提醒正弦定理的变形形式：若R为AABC外接圆的半径，则=2RsinA"=2Rsin8,c=2RsinC;SinA.sinB=/.SinC=京sinA：sin8：SinC="：c;=2R.si11j4+sin+sinCbSinB白想一想如图，在RtAABC中，SInJ4提示：三二七=M=CsnASinBSinC日做一做1.在AABC中，下列等式总能成立的是（）A.cosC=ccosAB.Z?sinC=csinACobsinC=bcsinBD.sinC=CSinA解析：D由正弦定理易知，选项D正确.2 .在AABC中，=15,6=10,A=60°,则sin5=()A争仔33C.-D.-22解析：A由三=白，故意=黑，解得SinB=故选A.SllMSlnB在SmB323 .在ZM8C中，若A=60°,8=45°,eC=32,则AC=()A.43B.23C.3D.y解析：B由正弦定理刍=*，得耳=/，所以AC=噜f=2lSinASlnBsn60sm45322.G题型突破析典例-技法归纳活学活用1.-,题型一已知两角及一边解三角形【例1】在AABC中，已知=8,8=60°,C=75°,求A,c.解A=180o-(B-I-C)=180o-(60o÷75o)=45°._C俎asinC_8×sin75.，C.QsnASinCSinAsn458它±逅=-1=4(3+l).T所以A=45°,c=4(3+l).通性通法已知两角及一边解三角形的一般步骤三角形内角和定理求第三个角一p正弦定理求另外两条边的长度?0.跟踪训练在AABC中，B=拳C=也。=5,则此三角形的最大边长为.解析：8=与,C=g8=也8所对的边最大，）=七，"=喏=二366snAsnSinA士253.答案：53题型斗已知两边及一边的对角解三角形【例2】在AABC中，已知=5,b=,B=45o,解此三角形.解由正弦定理-=七，知SinA=竺饕=£,snASinBb2 ：b<a,.A=60°或120°,当A=60°时，C=180°-A-8=75°,.bsinC2sin75o6+2 SinBsin4502'当A=120°时，C=180o-A-B=15°,bsinC2sinl506-2 SinBsin4502'故当A=60°时，C=75°,C=皴色；当A=120°时，C=15o,c="2Z国珠题探究（变条件）若本例中“8=45°”变为“A=60°”其他条件不变，解此三角形.解：由正弦定理号=段，知SinB=竺吆=9，SmASinBa2 ：b<a,，8=45°,C=75o,bsinC2×sin75o6÷2.c. SinBsin45o2'通性通法已知两边及一边的对角解三角形的步骤根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值x先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角<xI根据正弦定理求第三条边的长度口跟踪训练1.在A4BC中,角A,B,C所对的边分别是,b,c,若=4,b=3,SinAq则8=()A:B.三63C罩冷D.黑号2解析：A由题意可得SinB=处竺=蒙=；,则8=5或8=9.因为6Vm所以BVA,4266所以B=?故选A.62.ABC,若a=6,7=63,A=30o,则8=()A.60oB.60°或120°C.60°或150oD.120o解析：BaVb=AV8n8>3(,由正弦定理可知号二号，,sin8=竺吆二"歪="SInASinBa62.B(30o,180o),.B=60°或120°.故选B.题型聿断三角形的形状【例3】(1)若acosB=jcosA,则"BC是三角形；(2)若cosA=bcosB,则是三角形.解析(1)由正弦定理号=白，得W=当.又acosB=AosA,所以W=毁，所以当sm4s1n8bSinBbcosBSinB=£2,所以sinAcos8=sin8cosA,三PsinAcosBsinBcosA=O,故Sin(A8)=cosB0.因为A,B是三角形内角，所以4-3=0,则A=B,故AABC是等腰三角形.(2)由正弦定理啖=白，得W=%.又就OSA=反os&所以W=W，所以当=W，SInASinBbsnBbcosSInBCoSyl所以sinAcosA=sinBcosBf所以2sinAcosA=2sinBcosB9即sin2A=sin25.因为A,8为三角形内角，所以2A=2B或2A+2B=11,得A=B或A+8=,故ZlC是等腰三角形或直角三角形.答案(1)等腰(2)等腰或直角通性通法利用正弦定理判断三角形形状的方法(1)化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a=b,/+序=c2),进而确定三角形的形状.(3,跟踪训练已知在AABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，若空!=?=驷£,则4ABC是abc()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的直角三角形cosB=sinB,fcA=B解析：C已知竺d=等=电£,由正弦定理可得CoSA=SinA,abc=：,C=三则AABC是等腰直角三角形.故选C.42因随堂检测,1.在中，4=5,b=3,则吗=()SinBa1bIc7d5解析：A根据正弦定理，畸H胃2 .已知aA8C的内角A,B,C的对边分别为,b,c.若4=60°,=5,则4ABC外接圆半径等于()A.2B.3CyDJ解析：D设AABC外接圆半径为R,根据正弦定理可得2R=-4=磊=4=2,所以SinAsn6032R=I,即AABC外接圆半径为1.故选D.3 .在AABC中，A=105o,C=45o,AB=4,则AC=()A.lB.2C.22D.23解析：C由题意可得B=I8(-A-C=3(,由正弦定理与=等募，因此，AC=苧sn30osn45°22=2故选C.4 .在锐角AABd若=2,b=3,A=,则cos8=6解析：由正弦定理号二七，得sin8=吧M=写W，又AABC为锐角三角形，所以CoSSlnASInBa24B=/1sin2=/1.7164答案：¥4角兆11=维微虑的个数问题1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.怎样判断解的个数呢？具体方法如下：(1)代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若心b,则A2B,从而B为锐角，有一解.若a<b,则A<B,由正弦定理得sinB=-fasinB>1.即VbsinA,无解；sin8=1,即=bsinA,一解；SinBV1,即加inA<a<b,两解.(2)几何法：在AABC中，已知小6和4,以点C为圆心，以边长为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：分类A为锐角A为钝角或直角关系式a=bsinAbsinA<a>ba<bab解的个数一解两解一解一解【例】不解三角形，判断下列三角形解的个数:(1)。=5,b=4,A=120°(2) =9,b=10,A=60o;(3) h=72fc=50,C=135°.解SinB=4in120。=：竺鼻所以三角形有一解.a522(2) sinB=-sin60o=-×-=-,而更V也VI.a92929所以当8为锐角时，满足SinB=W的角5的取值范围是60°VBV90°.满足A+BV180°当B为钝角时，满足SinB=竽的角B的取值范围是90°VBV120°,也满足A+3V180°.故三角形有两解.(3) sin8=竺叱=3SinCsinC=竺C502所以845°,所以8+0180。，故三角形无解.方法总结1.在ABC中，OVsinBWl,故7=工，,。=匹空，加inA.这是已知StnBStnAsi?IBSITIBa,b,A解三角形时，判断三角形解的个数(1或2)的前提.2.解三角形时，可以先求出SinB的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数.口跟踪训练1BC,内角A,B,C所对的边分别为,b,c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A.=30,h=50,A=36°Ba=50,b=3O,A=36°C.=3O,b=60,A=30oD.=30,8=20。，A=136°解析：AA选项，加inA=50sin36°V,又aV力，所以三角形有两个解；B选项，bain4=30sin36°V4,大a>b,所以三角形有一个解；C选项，bsnA=60sin30o=30=t?,所以三角形有一个解；D选项，可得C=24°,所以三角形有一个解，故选A.2 .在“3C中，>=43,c=2,C=30°,那么此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.解的个数不确定解析：C法一由正弦定理和已知条件，得需=温;，sinB=5.5>l,此三角形无解.法二Vc=2,bsinC=23,c<bsinC,故此三角形无解.法三作ZACD=30°,AC=Z>=43,以A为圆心，A8=c=2为半径画圆（图略），该圆与CO无交点，则此三角形无解.3 .在中，已知角4,B,C所对的边分别为a,b,c,a=fb=2,6=45°,若三角形有两个解，则X的取值范围是（）A>2B,x<2C.2<x<22D.2<x<23解析：C由题意知则>2,又由SinA=空粤=宅VI,可得V2,，工的取D2值范围是2VV2l故选C.
